立体几何中的向量方法习题课.ppt

1如图 3-5，已知两条异面直线所成的角为， 在直线 a、b 上分别取 E、F，已知 AE=m，AF=n， EF=l，求公垂线 A A的长 d. EFEAA AAF 解：22()EFEAA AAF 2222()EAA AAFEA A AEA AFA A AF 当当E,F在公垂线同一侧时取负号在公垂线同一侧时取负号当当d等于等于0是即为是即为“余弦定理余弦定理”,AAEA AAAF =（或（或），），AFEA, 22222lEAA AAFEA AF 2222cosmdnmn 2222cosdlmnmn nabCDABCD为为a,b的公垂线的公垂线则则|nABnCD A，B分别在直线分别在直线a,b上上已知已知a,b是异面直线，是异面直线，n为为 的的法向量法向量异面直线间的距离异面直线间的距离 即即 间的距离可转化为向量间的距离可转化为向量 在在n上的射影长，上的射影长，21,llCD111101.4,2,90 ,ABCABCAAABCACBCBCAEABCEAB例已知：直三棱柱的侧棱底面中为的中点。求与的距离。zxyABCC1).4 , 2 , 0(),0 , 0 , 2(),0 , 1 , 1 (),0 , 0 , 0(,1BAECxyzC则解：如图建立坐标系),4 , 2 , 2(),0 , 1 , 1 (1BAEC则的公垂线的方向向量为设).,(,1zyxnBAEC001BAnECn即即04220zyxyx取x=1,则y=-1,z=1,所以) 1 , 1, 1 ( n).0,0, 1 (,ACAC在两直线上各取点.332|1nACndBAEC的距离与EA1B1xyzABCDE2、如图，四面体、如图，四面体DABC中，中，AB，BC，BD两两垂直，两两垂直，且且AB=BC=2，点，点E是是AC中点；异面直线中点；异面直线AD与与BE所成所成角为角为 ，且，且 ，求四面体，求四面体DABC的体积。的体积。10cos103、在如图的实验装置中，正方形框架的边长都是、在如图的实验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面且平面ABCD与平面与平面ABEF互相垂直。活动弹子互相垂直。活动弹子M，N分别在正方形对角线分别在正方形对角线AC和和BF上移动，且上移动，且CM和和BN的的长度保持相等，记长度保持相等，记CM=BN= （1）求）求MN的长；的长；（2）a 为何值时？为何值时？MN的长最小？的长最小？（3）当）当MN的长最小时，的长最小时，求面求面MNA与面与面MNB所成所成二面角的余弦值。二面角的余弦值。(02).aaABCDEFMNa 4、如图、如图6，在棱长为，在棱长为 的正方体的正方体 中，中， 分别是棱分别是棱AB,BC上的动点，且上的动点，且 。 （1）求证：）求证： ； （2）当三棱锥）当三棱锥 的体积取最大值时，求二的体积取最大值时，求二面角面角 的正切值。的正切值。CBAOOABC BFAE ECFA BEFB BEFB FE、OCBAOAB CEF图图6OCBAOAB CEF图图65、如图，平行六面体、如图，平行六面体 中，底面中，底面ABCD是边长是边长为为a的正方形，侧棱的正方形，侧棱 的长为的长为b ,且且求求（1） 的长；的长； （2）直线）直线 与与AC夹角的余弦值。夹角的余弦值。ABCDA B C D AA0120 .A ABA AD ACBDABCDABCD