平面向量数量积的坐标表示.ppt
上虞中学上虞中学 谢金怀谢金怀一、复习一、复习abOAaBb1.概念概念:(1)夹角夹角: (2)数量积的定义数量积的定义:注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量.00:a规定cos|baba其中：其中：, 0a0b0,范围是的夹角和是baab.（0 ）当当 = 0时，两向量同向；当时，两向量同向；当 = 时，两向量反向时，两向量反向.当当 = 时，两向量垂直，记作时，两向量垂直，记作22.几何意义几何意义:OAaBbBabBAOcosbabacos|b.cos 的乘积的方向上的投影数量在与的长度等于数量积babaabacosb3.性质性质: 设设 ， 都是都是非零非零向量，向量， 是与是与 方向相同的方向相同的单位向量，单位向量， 是是 与与 的夹角的夹角,则则 (1) e a = a e=| a |cos .(3)当当a与与b同向时同向时,a b=|a|b|;当当a与与b反向时反向时,ab=-|a|b|.特别地特别地,a a (或写成或写成 a 2)=| a |2或或| a |=a a .(4)cos =( a b )/(|a|b|).向量向量a与与b共线共线 | a b |=| a | b |a b =| a | b |cos (2)ab a b =0.(5)| a b | a | b |.用于计算向量的夹角a b a e b e 4、数量积的运算律：、数量积的运算律：交换律：交换律：abba对数乘的结合律：对数乘的结合律：)()()(bababa分配律：分配律：cbcacba )(注意：注意：数量积不满足结合律数量积不满足结合律)()( :cbacba即从力的做功来从力的做功来看若力增大看若力增大n倍倍则 功 增 大则 功 增 大 n 倍倍两个力在两个力在同一物体同一物体上所做的上所做的功等于合功等于合力所做的力所做的功功引例： 已知：A(2，1)，B(3，2)，C(1，4)， 求证：ABC是直角三角形.分析：先画图，ABCOxy 从图中可知，A应为90，为证明A90，只需证明 AB AC0.问题：已知两个非零向量1122( , ),( , )ax y bx yaba b 怎样用和的坐标表示呢？ AB(3 2，2 1)(1，1), AC( 1 2，4 1)( 3，3),OA(x1，y1) B(x2，y2)yx如图，我们先看x轴上的单位向量 和轴y上的单位向量 容易知道，ijij1,1,0i ij ji jj i ab二、新课问题：已知两个非零向量1122( , ),( , )ax y bx y怎样用 和 的坐标表示 呢？aba b 解：1122,ax iy j bx iy j 1122() ()a bx iy jx iy j 12122112x x i ix y i jx y i jy y j j 1212x xy y这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即1212a bx xy y 已知：A(2，1)，B(3，2)，C(1，4)，求证：ABC是直角三角形. ABAC.证明： AB(3 2，2 1)(1，1), AC( 1 2，4 1)( 3，3), AB AC1( 3)130, ABC是直角三角形.数量积的主要性质的坐标表示数量积的主要性质的坐标表示：是两个非零向量设ba,01baba内积为零是判定两向量垂直的充要条件0,21212211yyxxbayxbyxa则设非零向量 babababababa,;,.2反向时与当向量同向时与当aaaaaa或特别地2,用于计算向量的模22,yxayxa则设 .cos.3baba2222212121212211cos,yxyxyyxxyxbyxa则设用于计算向量的夹角 .,2212212211yyxxayxyxa那么点的坐标分别为的有向线段的起点和终如果表示向量这就是平面内两点间的距离公式例 1 已知 (1，3 )， ( 2，23 ),（1）求 ；（2）求 与 的夹角. 60.aba b a b ab0180又解：（1）（2）22|1( 3)2a 22|22 34b 41cos2 42|a ba b 1232 34 例 2：已知 (5, 0)， (3.2, 2.4), 求证：( ) .证明：abbbaab b 2253.20 2.43.22.4 0abb2bba例3 已知 ，当k为何值时，（1） 与 垂直？（2） 与 平行？ 1,2 ,( 3,2)ab kabkab3ab3ab =k(1,2)+(3,2)=(k 3,2k+2) =(1,2) 3( 3,2)=(10, 4)kab3ab（1）若 与 垂直，则有kabkab3ab3ab(k 3) 10+(2k+2) ( 4)=0所以k=19（2）若 与 平行，则有(k 3) ( 4) (2k+2) 10=0所以k= .解：31例 4：已知：A、B、C三点坐标分别为(2，0)、(4，2)、(0，4)，直线 l 过A、B两点，求点C到 l 的距离.HOABCxyl分析一：如图， 为求CH长，由CHAHAC可知，关键在于求出AH. 由ACAB的几何意义，ACAB等于AB的长度与AC在AB方向上的投影的乘积. 所以 ACABAHAB.AC(0 2，4 0)(2，4)，AB(4 2，2 0)(2，2),ACAB22424.解：HOABCxylAH与AB共线，可设AHmAB(2m，2m).AHAB4m4m8m.由ACAB=AHAB，得 m .12CH=AHAC(3，3)，CH 32(3)232 .即 C点到直线 l 的距离为32 . AH (2m，2m) = (1，1). 为定H点坐标(两个未知数)， 可利用H点在 l 上，及CHAB这两个条件.分析二：HOABCxyl 若能确定H点坐标，CH长就易求了.三、小结：（1）掌握平面向量数量积的坐标表示，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和；（2）要学会运用平面向量数量积的坐标表示解决有关长度、角度及垂直问题.今日作业（1）P123 练习;（2）P123 习题5.7 第1、2、3、4、5题.
