探索多边形的外角和及其应用.ppt

广州市第四十七中学汇景实验学校 黄丽容312A、11是多边形的外角是多边形的外角、是多边形的外角是多边形的外角、是多边形的外角是多边形的外角、11和和都是多边形的外角都是多边形的外角求下图中的求下图中的1。211407080解：2= 360-70-140-80 =70 1 =180-2 =180-70 =110D下面这样解，对吗？下面这样解，对吗？1 =70+140+80=290猜一猜：猜一猜：从多边形的一个顶点从多边形的一个顶点A A出发，沿多边形的各边走过各顶出发，沿多边形的各边走过各顶点之后回到点点之后回到点A.A.最后再转回出发时的方向。在行程中所转的各个最后再转回出发时的方向。在行程中所转的各个角的和是（角的和是（ ）度。）度。 例例1 如图，在五边形的每个顶点处各取如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和五边形的外角和等于多少？角和五边形的外角和等于多少？1.任意一个外角和他相邻的内任意一个外角和他相邻的内角有什么关系？角有什么关系？ 2.五个外角加上他们分别相五个外角加上他们分别相邻的五个内角和是多少？邻的五个内角和是多少？3.这五个平角和与五边形的内这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？角和、外角和有什么关系？ 6E BCD1 2 3 4 5 A互为邻补角或者说构成一个平角51805边形外角和边形外角和= 5个平角个平角-5边形内角和边形内角和 例例1 如图，在五边形的每个顶点处各取如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和五边形的外角和等于多少？角和五边形的外角和等于多少？5边形外角和边形外角和 结论：五边形的外角和等于结论：五边形的外角和等于360-(5-2) 180=360 6E BCD1 2 3 4 5 A=5个平角个平角 -5边形内角和边形内角和=5180= 5180- 5180+360探究探究在在n边形的每个顶点处各取一个外角，边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做这些外角的和叫做n边形的外角和边形的外角和n边形外角和边形外角和=结论：结论：n n边形的外角和等于边形的外角和等于360360-(n-2) 180=360 A1E BCD 2 3 4 5F nn n个平角个平角-n-n边形内角和边形内角和=n180 = n180 - n180 +360从多边形的一个顶点从多边形的一个顶点A A出发，沿多边形的各边走过各顶点之后回出发，沿多边形的各边走过各顶点之后回到点到点A.A.最后再转回出发时的方向。在行程中所转的各个角的和，最后再转回出发时的方向。在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和，等于（就是多边形的外角和，等于（ 360360 ）。）。由于在这个运动过程中走了一周，也就是说所由于在这个运动过程中走了一周，也就是说所转的各个角的和等于一个转的各个角的和等于一个周周角。角。即：即：多边形的外角和等于多边形的外角和等于360360（三）多边形外角和的应用（三）多边形外角和的应用1、利用多边形外角和求边数：利用多边形外角和求边数：例例1、 已知一个多边形，它的内角和等于外角和，已知一个多边形，它的内角和等于外角和，它是几边形？它是几边形？解：设它是解：设它是n边形，则边形，则（n-2） 180=360 n-2 = 2 n = 4答：它是四边形。答：它是四边形。用方程思想求解 例例2：如下图，：如下图，A+B+C+D+E+F=_。方法一：解：观察图形，这六个角的和正好方法一：解：观察图形，这六个角的和正好是中间这个三角形的外角和，是中间这个三角形的外角和， 所以所以A+B+C+D+E+F=360方法二：可以看成三个三角形的内角和方法二：可以看成三个三角形的内角和减去一个三角形的内角和，得到：减去一个三角形的内角和，得到： 3180-180=360。说说你的解题思路,有几种方法吗？360FEABCDGHI 多边形的内角和是随着多边形边数的变化而变化的，但外角和却是不变的。所以可以利用外角和的不变来应内角和的万变，把内角问题转化为外角问题来处理，。 分析：若从内角考虑，可能有一定的难度，分析：若从内角考虑，可能有一定的难度，不妨从外角入手，这样或许能简捷些。不妨从外角入手，这样或许能简捷些。解：由于多边形的外角和等于解：由于多边形的外角和等于360，而，而36090=4，所以多边形的外角中，最多有，所以多边形的外角中，最多有3个钝角。个钝角。又因为多边形的任一内角都与它相邻的外角互为邻补又因为多边形的任一内角都与它相邻的外角互为邻补角，所以多边形的内角中，最多有角，所以多边形的内角中，最多有3个锐角。个锐角。1.随着多边形的边数随着多边形的边数n的增加，它的外角和（的增加，它的外角和（ ） A增加增加 B减小减小 C不变不变 D不定不定 2一个多边形的每一个外角都等于一个多边形的每一个外角都等于30，则这个，则这个多边形为（多边形为（ ）边形）边形 3、若、若n边形每个内角都等于边形每个内角都等于150，那么这个，那么这个n边边形是（形是（ ） A九边形九边形 B十边形十边形 C十一边形十一边形 D十二边形十二边形点评：当直接或间接知道每个外角相等时，先求出一个外角，点评：当直接或间接知道每个外角相等时，先求出一个外角，利用外角和除以每个外角的度数，求出边数。利用外角和除以每个外角的度数，求出边数。C十二D4. 4. n边形的内角和与外角和的比为边形的内角和与外角和的比为13：2，求，求n 解：解： 它的内角和等于它的内角和等于 (n-2)(n-2)180180， 多边形外角和等于多边形外角和等于360360， (n-2)(n-2)180180：360360=13=13：2 2 2 (n-2)180= 360 13 解得解得: n=15: n=15 这个多边形的边数这个多边形的边数n n为为1515。5、一个多边形中，每个内角都相等，并且每个外角等于、一个多边形中，每个内角都相等，并且每个外角等于它的相邻内角的它的相邻内角的 ，求这个多边形的边数及内角和。，求这个多边形的边数及内角和。解：设每个内角为解：设每个内角为x，则每个外角为，则每个外角为 x x+ x=180 解得：解得：x=108 每个外角为：每个外角为： 108=72 边数为：边数为：36072=5 内角和为：（内角和为：（5-2） 180=540答：这个多边形的边数为答：这个多边形的边数为5，内角和为，内角和为540。32323232点评：这里第点评：这里第4、5题，这类问题一般需题，这类问题一般需要建立方程（组）或要建立方程（组）或不等式，以借用方程不等式，以借用方程或不等式的知识解决，或不等式的知识解决，比较方便快捷。比较方便快捷。33B组：7、一个凸多边形的内角度数从小到大排列起来，恰好依、一个凸多边形的内角度数从小到大排列起来，恰好依 次增加相同的度数，其中最小角是次增加相同的度数，其中最小角是100，最大角为，最大角为140。（。（1）这个多边形的外角中最大的角是多少？最）这个多边形的外角中最大的角是多少？最小的角是多少？（小的角是多少？（2）求这个多边形的边数。）求这个多边形的边数。解：（1）这个多边形的外角中最大的角是）这个多边形的外角中最大的角是80，最小的角是，最小的角是40。(2)设这个多边形的边数为设这个多边形的边数为n，则，则 (80+40）n2=360或或（100+140） n2=（n-2) 180 解得：解得：n=6这个多边形的边数为这个多边形的边数为6。C组组：ABABBEDCDCEEDA图图C图 图解：1=A+C， 2=B+D=(A+C)+(B+D)+1 +2 +图 解：1=CAD+C， 2=B+D=(CAD+C)+(B+D)+1 +2 + 图解：1=CAD+ACE， 2=B+D=(CAD+ACE)+(B+D)+1 +2 +ABABBEDCDCEEDA图图图C121212 图解：1=B+D，2=ACE+E=CAD+(B+D)+ (ACE+E )CAD+1 +2 图解：1=A+C，2=B+D，3=C+E4=A+D，5=B+E1 +2 +4 +5)= 3602121 图解：1=B+D，2=C+E1 +2图21ABABDCDCEE图BEDAC12345图12图图解：连接解：连接CD1=23+4=B+ E A+ B +ACE+ADB+=A+ （B+ ACE+ADB）= A+ （3+ ACE+ADB）= A+ ACD+ADC=180图图解解:连接连接CD1=23+4=B+ E CAD+ B +ACE+ADB+=CAD+ （B+ ACE+ADB）= CAD+ （3+ ACE+ADB）= CAD+ ACD+ADC=18012341234方法三方法三：n360n360作业作业