111正弦定理上课课件.ppt
在在RtABC中中,各角与其对边各角与其对边(角角A的对边一的对边一般记为般记为a，其余类似，其余类似)的关系的关系:caA sincbB sin1sinC不难得到:CcBbAasinsinsinCBAabccc在非直角三角形在非直角三角形ABCABC中有这样的关系吗中有这样的关系吗? ?AcbaCBbADcADCBsin,sin所以AD=csinB=bsinC, 即,sinsinCcBb同理可得,sinsinCcAaCcBbAasinsinsin即：DAcbCB图1过点A作ADBC于D,此时有若三角形是若三角形是锐角三角形锐角三角形, 如图如图1,CCbADsinsin ）（且CcBbAasinsinsin防上面可得D若三角形是若三角形是钝角三角形钝角三角形,且角且角C是是钝角钝角如图如图2, 此时也有cADB sin交BC延长线于D,过点A作ADBC，CAcbB图2正弦定理:CcBbAasinsinsin 即在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.思考：你能否找到其他证明正弦定理的方法？思考：你能否找到其他证明正弦定理的方法？（R为为ABC外接圆半径）外接圆半径）另证:RCcBbAa2sinsinsin 证明：证明：OC/cbaCBARCcRcCCCCCBA2sin2sinsin,90RCcBbAaRBbRAa2sinsinsin2sin,2sin同理作外接圆O,过B作直径BC/,连AC/,三角形的面积公式：三角形的面积公式：证明：BacAbcCabSABCsin21sin21sin21BACDabcaABCahS21而CbBcADhasinsinCabBacSABCsin21sin21同理BacAbcCabSABCsin21sin21sin21haAbcSABCsin21剖析定理、加深理解1 1、正弦定理可以解决三角形中的问题：、正弦定理可以解决三角形中的问题： 已知已知两角和一边两角和一边，求其他角和，求其他角和边边 已知已知两边和其中一边的对角两边和其中一边的对角，求另一边，求另一边的对角，进而可求其他的边和角的对角，进而可求其他的边和角RCcBbAa2sinsinsin 正正弦弦定定理理： 一般地，把三角形的三个角一般地，把三角形的三个角A A，B B，C C和它们的对和它们的对边边a a，b b，c c叫做叫做三角形的元素三角形的元素。已知三角形的几个元。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫素求其他元素的过程叫解三角形解三角形剖析定理、加深理解RCcBbAa2sinsinsin 正正弦弦定定理理：2 2、A+B+C=A+B+C=3 3、大角对大边，大边对大角、大角对大边，大边对大角剖析定理、加深理解RCcBbAa2sinsinsin 正正弦弦定定理理：4 4、正弦定理的变形形式、正弦定理的变形形式5 5、正弦定理、正弦定理，可以用来判断三角形的，可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形边角关形状，其主要功能是实现三角形边角关系的转化系的转化2 sin ,2 sin ,2 sinaRA bRB cRCsin,sin,sin222abcABCRRR: :sin :sin :sina b cABC定理的应用例例 1 1、在、在ABC ABC 中，已知中，已知c = 10, c = 10, A = 45A = 45。, C = 30, C = 30。，解三角形解三角形 已知两角和任意边，已知两角和任意边，求其他两边和一角求其他两边和一角BACabc1.根据下列条件解三角形 (1)b=13，a=26，B=30.练习(2) b=40，c=20，C=45.A=90，C=60，c= 313无解例 2、 已知a=16， b= ， A=30 .解三角形已知两边和其中一边已知两边和其中一边的对角的对角,求其他边和角求其他边和角解：由正弦定理BbAasinsin得231630sin316sinsinaAbB所以60,或120当 时60C=90.32cC=30.16sinsinACac316当120时B16300ABC16316=607 6,14,.ABCBbaA练习：在中，求角3练习练习2、在、在 ABC中，若中，若 a=2bsinA，则，则B A、 B、 C、 D、36653326或或或或练习练习3、在、在 ABC中，中， ，则，则 ABC的形状是的形状是 A、等腰三角形、等腰三角形 B、直角三角形、直角三角形 C、等腰直角三角形、等腰直角三角形 D、等腰三角形或直角三角形、等腰三角形或直角三角形AbBacoscos练习练习1、在、在 ABC中，若中，若A：B：C=1：2：3，则，则 a:b:c( ) A、1:2:3 B、3:2:1 C、1: :2 D、2: :133自我提高！自我提高！课堂小结（3）正弦定理应用范围： 已知两角和任意边，求其他两边和一角 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。(注意解的情况)(1)正弦定理：sinsinsinabcABC2R111sinsinsin222ABCSabCbcAacB（2）ABC 栏目链接栏目链接A为锐角为锐角A为钝角或直角为钝角或直角图图形形sinbAab关系关系式解式解的个的个数数absin Aababsin Aabab一解一解两解两解无解无解一解一解无解无解1、已知、已知abc234，则，则(ab)(bc)(ca)_.2、三角形、三角形ABC中，三边长度分别为中，三边长度分别为3、4、x，则，则x的范围是的范围是_5、在、在ABC 中，已知中，已知acos Bbcos A，判断，判断ABC的形状的形状
