空间向量与立体几何.pdf

暑假必刷 900 题 1 空间向量空间向量与立体几何与立体几何 一、单选题一、单选题 1已知三维数组()2, 1,0a =，()1, ,7bk=，且0=a b，则实数k =（ ） A-2 B-9 C27 D2 2如图：在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若ABa=，ADb=，1AAc=，则下列向量中与BM相等的向量是（ ） A1122abc+ B1122+abc C1122+abc D1122+abc 3三棱锥PABC中，PAB和ABC都是等边三角形，2AB=，1PC =，D为棱AB上一点，则PD PC的值为（ ） A12 B1 C32 D与D点位置关系 4如图所示，正方体1111ABCDABC D中，点,E F分别在1,AD AC上，1123AEAD=，13AFAC=，则EF与11C D所成角的余弦值为（ ） A39 B66 C33 D63 5在棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D中，E，F分别为棱1AA、1BB的中点，M为棱11A B上的一点，且1(02)AM=，设点N为ME的中点，则点N到平面1D EF的距离为（ ） A3 B22 C23 D55 6已知三棱锥ABCD中，底面BCD为等边三角形，3ABACAD=，2 3BC =，点E为CD的中 2022 高考 2 点，点F为BE的中点.若点M、N是空间中的两动点，且2MBNBMFNF=，2MN =，则AM AN= A3 B4 C6 D8 7如图，已知正方体1111ABCDABC D的棱长为 4，P是1AA的中点，点M在侧面11AAB B内，若1D MCP，则BCM面积的最小值为 A8 B4 C8 2 D8 55 8已知长方体11111,2,1ABCDABC D ABAAAD=，正方形11所在平面记为，若经过点A的直线l与长方体1111ABCDABC D所有的棱所成角相等，且lM=，则线段AM的长为 A332 B3 C6 D3 9如图，在棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D中，点M是AD的中点，动点P在底面ABCD内（不包括边界） ，若1B P平面1ABM，则1C P的最小值是（ ） A305 B2 305 C2 75 D4 75 10如图，正方体1111ABCDABC D的棱长为 6，点 F 是棱1AA的中点，AC与 BD的交点为 O，点 M 在棱BC 上，且2BMMC=，动点 T（不同于点 M）在四边形 ABCD 内部及其边界上运动，且TMOF，则直线1B F与 TM 所成角的余弦值为（ ） A104 B105 C54 D55 二、多选题二、多选题 11如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCDABC D，其中，以顶点 A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是 60，下列说法中正确的是（ ） 暑假必刷 900 题 3 A()()2212AAABADAC+= B()10ACABAD= C向量1BC与1AA的夹角是 60 D1BD与 AC所成角的余弦值为63 12如图，在直三棱柱111ABCABC中，12ACBCAA=，90ACB=，D，E，F 分别为 AC，1AA，AB 的中点则下列结论正确的是（ ） A1AC与 EF 相交 B11/ /BC平面 DEF CEF 与1AC所成的角为90 D点1B到平面 DEF 的距离为3 22 13如图，在平行四边形ABCD中，1AB =，2AD=，60A=，沿对角线BD将ABD折起到PBD的位置，使得平面PBD平面BCD，下列说法正确的有（ ） A平面PCD 平面PBD B三棱锥PBCD四个面都是直角三角形 CPD与BC所成角的余弦值为34 D过BC的平面与PD交于M，则MBC面积的最小值为217 14在正三棱柱 111中， = 1= 1，点P满足 = + 1 ，其中 0,1， 0,1，则（ ） A当1=时，1AB P的周长为定值 B当1=时，三棱锥1PABC的体积为定值 C当12=时，有且仅有一个点P，使得1APBP D当12=时，有且仅有一个点P，使得1AB 平面1AB P 三、填空题三、填空题 15如图，直角三角形OAC所在平面与平面交于OC，平面OAC 平面，OAC为直角，4OC =， 2022 高考 4 B为的中点，且23ABC=，平面内一动点满足3PAB=，则OP CP的取值范围是_ 16如图，在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，点M是AD的中点，动点P在底面正方形ABCD内（不包括边界） ，若1/B P平面1ABM，则1C P长度的取值范围是_. 17已知三棱锥PABC中，,3PAPB PAPCBPC=，且1,2,3PAPBPC=，长度为 1 的线段MN的端点M在PA上，端点N在侧面PBC内运动，若MN的中点为T，ABC的重心为G，则GT的最小值是_. 1817 世纪，笛卡尔在几何学中，通过建立坐标系，引入点的坐标的概念，将代数对象与几何对象建立关系，从而实现了代数问题与几何问题的转化，打开了数学发展的新局面，创立了新分支解析几何我们知道，方程1x =在一维空间中，表示一个点；在二维空间中，它表示一条直线，那么在三维空间中，它表示_，过点(1, 1,2)P且法向量为(1,2,3)=v的平面的方程是_ 四四、解答题、解答题 19如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AEAD=ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，66PODO= （1）证明：PA平面PBC； （2）求二面角BPCE的余弦值 暑假必刷 900 题 5 20在四棱锥QABCD中，底面ABCD是正方形，若2,5,3ADQDQAQC= （1）证明：平面QAD 平面ABCD； （2）求二面角BQDA的平面角的余弦值 21如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，120 ,1,4,15ABCABBCPA=，M，N 分别为,BC PC的中点，,PDDC PMMD. （1）证明：ABPM； （2）求直线AN与平面PDM所成角的正弦值. 2022 高考 6 22如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PD底面ABCD，1PDDC=，M为BC的中点，且PBAM （1）求BC； （2）求二面角APMB的正弦值 23如图，三棱柱111ABCABC中，平面11ACC A 平面ABC，12AAACCB=，90ACB=. （1）求证：平面11ABC 平面11ABC； （2）若1A A与平面ABC所成的线面角为60，求二面角11CABC的余弦值. 暑假必刷 900 题 7 24如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEF 平面ABCD.四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且/ /ADBC，ABD是边长为 1 的等边三角形，M为线段BD中点，3BC =. (1)求证：AFBD； (2)求直线MF与平面CDE所成角的正弦值； (3)线段BD上是否存在点 N，使得直线/ /CE平面AFN？若存在，求BNBD的值；若不存在，请说明理由. 25如图，AE平面ABCD，,CFAEADBC，,1,2ADABABADAEBC=. （）求证：BF平面ADE； （）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值； （）若二面角EBDF的余弦值为13，求线段CF的长. 2022 高考 8 26在三棱锥 ABCD中，已知 CB=CD=5,BD=2，O为 BD的中点，AO平面 BCD，AO=2，E为 AC的中点 （1）求直线 AB与 DE 所成角的余弦值； （2）若点 F在 BC上，满足 BF=14BC，设二面角 FDEC 的大小为 ，求 sin 的值 27如图，在三棱柱111ABCABC中，1CC 平面,2ABC ACBC ACBC=，13CC =，点,DE分别在棱1AA和棱1CC上，且12,ADCEM=为棱11A B的中点 （）求证：11C MB D； （）求二面角1BB ED的正弦值； （）求直线AB与平面1DB E所成角的正弦值 暑假必刷 900 题 9 28如图，在棱长为 2的正方体1111ABCDABC D中，E为棱 BC的中点，F 为棱 CD 的中点 （I）求证：1/ /D F平面11AEC； （II）求直线1AC与平面11AEC所成角的正弦值 （III）求二面角11AACE的正弦值 29如图，四棱锥 P-ABCD的底面为正方形，PD底面 ABCD设平面 PAD与平面 PBC 的交线为 l （1）证明：l平面 PDC； （2）已知 PD=AD=1，Q为 l上的点，求 PB 与平面 QCD 所成角的正弦值的最大值 2022 高考 10 30已知直三棱柱111ABCABC中，侧面11AAB B为正方形，2ABBC=，E，F分别为AC和1CC的中点，D为棱11A B上的点11BFAB （1）证明：BFDE； （2）当1B D为何值时，面11BBC C与面DFE所成的二面角的正弦值最小? 暑假必刷 900 题 11 参考答案参考答案 1D 2A 3A 4C 5D 6B 7D 8D 9B 10B 11AB 12BCD 13ABD 14BD 150,)+ 1630, 2)5 174 536 18一个平面 2350 xyz+= 19 【解析】 （1）由题设，知DAE为等边三角形，设1AE =， 则32DO =，1122COBOAE=，所以6264PODO=， 222266,44PCPOOCPBPOOB=+=+= 又ABC为等边三角形，则2sin60BAOA=，所以32BA =， 22234PAPBAB+=，则90APB=，所以PAPB， 同理PAPC，又PCPBP=，所以PA平面PBC； （2）过 O作ONBC 交 AB于点 N，因为PO 平面ABC，以 O为坐标原点，OA 为 x 轴，ON 为 y轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则121313(,0,0), (0,0,), (,0), (,0)244444EPBC， 132(,)444PC = ，132(,)444PB = ，12(,0,)24PE = ， 设平面PCB的一个法向量为111( ,)nx y z=， 由00n PCn PB =，得111111320320 xyzxyz=+=， 令12x =，得111,0zy= =， 所以( 2,0, 1)n =， 设平面PCE的一个法向量为222(,)mxy z= 由00m PCm PE=，得22222320220 xyzxz=，令21x =，得2232,3zy= =， 所以3(1,2)3m = 故2 22 5cos,5| |1033n mm nnm=， 2022 高考 12 设二面角BPCE的大小为，则2 5cos5=. 20 【解析】 （1）取AD的中点为O，连接,QO CO. 因为QAQD=，OAOD=，则QO AD， 而2,5ADQA=，故5 12QO = =. 在正方形ABCD中，因为2AD=，故1DO =，故5CO =， 因为3QC =，故222QCQOOC=+，故QOC为直角三角形且QOOC， 因为OCADO=，故QO 平面ABCD， 因为QO 平面QAD，故平面QAD 平面ABCD. （2）在平面ABCD内，过O作/OT CD，交BC于T，则OTAD， 结合（1）中的QO 平面ABCD，故可建如图所示的空间坐标系. 则()()()0,1,0 ,0,0,2 ,2, 1,0DQB，故()()2,1,2 ,2,2,0BQBD= = . 设平面QBD的法向量(), ,nx y z=， 则00n BQn BD =即220220 xyzxy+=+=，取1x =，则11,2yz=， 故11,1,2n=. 而平面QAD的法向量为()1,0,0m =，故12cos,3312m n =. 二面角BQDA的平面角为锐角，故其余弦值为23. 21 【解析】 （1）在DCM中，1DC =，2CM =，60DCM=，由余弦定理可得3DM =， 所以222DMDCCM+=，DMDC 由题意DCPD且PDDMD=， DC平面PDM，而PM 平面PDM， 所以DCPM，又/ /ABDC， 所以ABPM （2）由PMMD，ABPM，而AB与DM相交，所以PM 平面暑假必刷 900 题 13 ABCD，因为7AM =，所以2 2PM =，取AD中点E，连接ME，则,ME DM PM两两垂直，以点M为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系, 则(3,2,0), (0,0,2 2),( 3,0,0)APD,(0,0,0),( 3, 1,0)MC 又N为PC中点，所以313 35,2 ,22222NAN=. 由（1）得CD 平面PDM，所以平面PDM的一个法向量(0,1,0)n = 从而直线AN与平面PDM所成角的正弦值为 =| | |=52274+254+2=156 22 【解析】 （1）PD平面ABCD，四边形ABCD为矩形，不妨以点D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系Dxyz， 设2BCa=，则()0,0,0D、()0,0,1P、()2 ,1,0Ba、(),1,0M a、()2 ,0,0Aa， 则()2 ,1, 1PBa=，(),1,0AMa= ， PBAM，则2210PB AMa= + =，解得22a =，故22BCa=； （2）设平面PAM的法向量为()111,mx y z=， 则2,1,02AM= ，()2,0,1AP = ， 由111120220m AMxym APxz= += +=，取12x =，可得()2,1,2m=， 设平面PBM的法向量为()222,nxy z=，2,0,02BM= ，()2, 1,1BP = ， 由222220220n BMxn BPxyz= = +=，取21y =，可得()0,1,1n =r， 33 14cos,1472m nm nmn=， 2022 高考 14 所以，270sin,1 cos,14m nm n= =， 因此，二面角APMB的正弦值为7014. 23 【解析】 （1）因为平面11ACC A 平面ABC，平面11ACC A平面ABCAC=， BC 平面ABC，90ACB=，所以BC 平面11ACC A， 因为1AC 平面11ACC A，所以1BCAC. 因为11BCBC，所以111ACBC. 因为11ACC A是平行四边形，且1AAAC=，所以11ACC A是菱形，11ACAC. 因为1111ACBCC=，所以1AC 平面11ABC. 又1AC 平面11ABC，所以平面11ABC 平面11ABC. （2）取AC的中点M，连接1AM，因为11ACC A是菱形，160AAC=， 所以1是正三角形，所以1AMAC，且132AMAC=. 令122AAACCB=，则13AM =. 所以以C为原点，以CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，过点C且平行于1AM的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则()0,0,0C，()2,0,0A，()11,0, 3C ，()0,1,0B，()11,0, 3A，()2,0,0CA =， ()()111111,0, 30,1,0CBCCC BCCCB=+=+= +()1,1, 3= ，()11,0, 3CA =. 设平面1ACB的一个法向量为(), ,nx y z=，则100n CAn CB=， 所以2030 xxyz= +=，得0 x =，令1z =，则3y = ， 所以()0,3,1n =. 由（1）知1AC 平面11ABC，所以()11,0, 3CA =是平面11ABC的一个法向量， 所以111cos,CA nCA nCAn=3341 33 1=+ +. 暑假必刷 900 题 15 所以二面角11CABC的余弦值为34. 24 【解析】(1)证明：因为ADEF为正方形， 所以AFAD 又因为平面ADEF 平面ABCD， 且平面ADEF平面ABCDAD=， 所以AF 平面ABCD 所以AFBD (2)取 AD中点 O,EF中点 K，连接 OB，OK.于是在ABD 中，OBOD，在正方 ADEF中OKOD，又平面ADEF 平面ABCD，故OB 平面AFEF，进而0BOK， 即OB, OD, OK两两垂直 分别以,OB OD OK为 x 轴，y轴,z 轴 建立空间直角坐标系（如图） 于是，3,0,02B，10,02D,3,3,02C,1E 0,12,3 11M,0 ,F 0,1442 所以3 33 5,1 ,0 ,(0,0,1)4422MFCDDE= = = 设平面CDE的一个法向量为( , , )nx y z=， 则00CD nDE n= 即350220 xyz = 令5x = ，则3y =，则( 5, 3,0)n = 设直线MF与平面CDE所成角为，|3sin|cos,|14|MF nMF nMFn= (3) 要使直线/ /CE平面AFN，只需AN/ /CD， 设,0,1BNBD=,则33 1,0222nnnxyz=, 2022 高考 16 331,0222nnnxyz=, 331,0222N，所以3311,02222AN=+, 又 35(,0)22CD = ，由/ /ANCD得33112222 5322+= 解得2=0,13 所以线段 BD 上存在点 N,使得直线/ /CE平面 AFN，且2=3BNBD 25 【解析】依题意，可以建立以A为原点，分别以,AB AD AE的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系(如图)， 可得()()()()()0,0,0 ,1,0,0 ,1,2,0 ,0,1,0 ,0,0,2ABCDE. 设()0CFh h=，则()1,2,Fh. ()依题意，()1,0,0AB =是平面ADE的法向量， 又()0,2,BFh=，可得0BF AB=， 又因为直线BF 平面ADE，所以BF平面ADE. ()依题意，( 1,1,0),( 1,0,2),( 1, 2,2)BDBECE= = = ， 设(), ,nx y z=为平面BDE的法向量， 则00n BDn BE =，即020 xyxz += +=， 不妨令z=1，可得()2,2,1n =r， 因此有4cos,9|CE nCE nCE n = . 所以，直线CE与平面BDE所成角的正弦值为49. ()设(), ,mx y z=为平面BDF的法向量，则00m BDm BF=，即020 xyyhz +=+=. 暑假必刷 900 题 17 不妨令y=1，可得21,1,mh=. 由题意，有| , | =| | | |=|42|32+42=13，解得87h =. 经检验，符合题意 所以，线段CF的长为87. 26 【解析】 （1）连,COBCCD BOODCOBD=Q 以,OB OC OA为, ,x y z轴建立空间直角坐标系，则(0,0,2), (1,0,0),(0,2,0),( 1,0,0)(0,1,1)ABCDE = (1,0,2), = (1,1,1) =153= 1515 从而直线AB与DE所成角的余弦值为1515 （2）设平面DEC一个法向量为1( , , ),nx y z= 11200(1,2,0),00 xyn DCDCxyzn DE+=+= 令 = 1 = 2, = 1 1 = (2,1,1) 设平面DEF一个法向量为2 = (1,1,1), 1122111710017 1( ,0),4244 200 xynDFDFDBBFDBBCnDExyz+=+=+=+= 令1= 7 1= 2,1= 5 2 = (2,7,5) =6678= 113 因此122 39sin1313= 27 【解析】依题意，以C为原点，分别以CA、CB、1CC的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图） ， 可得()0,0,0C、()2,0,0A、()0,2,0B、()10,0,3C、 ()12,0,3A、()10,2,3B、()2,0,1D、()0,0,2E、()1,1,3M. （）依题意，()11,1,0C M =，()12, 2, 2B D =， 从而112200C M B D= +=，所以11C MB D； 2022 高考 18 （）依题意，()2,0,0CA =是平面1BB E的一个法向量， ()10,2,1EB =，()2,0, 1ED = 设(), ,nx y z=为平面1DB E的法向量， 则100n EBn ED=，即2020yzxz+=， 不妨设1x =，可得()1, 1,2n = 26cos,626CCA nACnA n=， 230sin,1 cos,6CA nCA n= = 所以，二面角1BB ED的正弦值为306； （）依题意，()2,2,0AB = 由（）知()1, 1,2n =为平面1DB E的一个法向量，于是43cos,32 26AB nAB nABn= 所以，直线AB与平面1DB E所成角的正弦值为33. 28 【解析】 （I）以A为原点，1,AB AD AA分别为, ,x y z轴，建立如图空间直角坐标系， 则()0,0,0A,()10,0,2A,()2,0,0B,()2,2,0C,()0,2,0D,()12,2,2C,()10,2,2D， 因为 E为棱 BC 的中点，F为棱 CD 的中点，所以()2,1,0E，()1,2,0F， 所以()11,0, 2D F =,()112,2,0AC =,()12,1, 2AE =, 设平面11AEC的一个法向量为()111,mx y z=， 则11111111202202mxymxyAAEzC+=+=，令12x =，则()2, 2,1m =， 因为1220mDF=，所以1mD F ， 因为1D F 平面11AEC，所以1/ /D F平面11AEC； （II）由（1）得，()12,2,2AC =， 暑假必刷 900 题 19 设直线1AC与平面11AEC所成角为， 则11123sincos,93 2 3m ACACmmCA=； （III）由正方体的特征可得，平面11AAC的一个法向量为()2, 2,0DB =， 则82 2cos,33 2 2DB mDB mDBm=， 所以二面角11AACE的正弦值为211 cos,3DB m=. 29 【解析】 （1）证明：在正方形ABCD中，/AD BC， 因为AD 平面PBC，BC 平面PBC， 所以/AD平面PBC， 又因为AD平面PAD，平面PAD平面PBCl=， 所以/AD l， 因为在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，所以,ADDClDC 且PD平面ABCD，所以,ADPDlPD 因为CDPDD= 所以l 平面PDC； （2）如图建立空间直角坐标系Dxyz， 因为1PDAD=， 则有(0,0,0),(0,1,0), (1,0,0), (0,0,1), (1,1,0)DCAPB， 设( ,0,1)Q m，则有(0,1,0),( ,0,1),(1,1, 1)DCDQmPB=， 设平面QCD的法向量为( , , )nx y z=， 则00DC nDQ n=，即00ymxz=+=， 令1x =，则zm= ，所以平面QCD的一个法向量为(1,0,)nm=，则 21 0cos,31n PBmn PBn PBm+=+ 根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与 2022 高考 20 平面所成角的正弦值等于2|1|cos,|31mn PBm+=+r uur2231 231mmm+=+223232|36111 1313133mmmm=+ =+，当且仅当1m =时取等号， 所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为63. 30 【解析】因为三棱柱111ABCABC是直三棱柱，所以1BB 底面ABC，所以1BBAB 因为1 1/ABAB，11BFAB，所以BFAB， 又1BBBFB=，所以AB 平面11BCC B 所以1,BA BC BB两两垂直 以B为坐标原点，分别以1,BA BC BB所在直线为, ,x y z轴建立空间直角坐标系，如图 所以()()()()()()1110,0,0 ,2,0,0 ,0,2,0 ,0,0,2 ,2,0,2 ,0,2,2BACBAC，()()1,1,0 ,0,2,1EF 由题设(),0,2D a（02a） （1）因为()()0,2,1 ,1,1, 2BFDEa=， 所以()()012 1 120BF DEa=+ + =，所以BFDE （2）设平面DFE的法向量为(), ,mx y z=， 因为()()1,1,1 ,1,1, 2EFDEa= =， 所以00m EFm DE=，即()0120 xyza xyz +=+=令2za=，则()3,1,2maa=+ 因为平面11BCC B的法向量为()2,0,0BA =， 设平面11BCC B与平面DEF的二面角的平面角为，则| =| | | |=62222+14=3222+14 当12a =时，2224aa+取最小值为272， 此时cos取最大值为363272= 所以()2min63sin133=，此时112B D =