随机事件的概率.pdf
暑假必刷 900 题 1 随机事件的概率随机事件的概率 一、单选题一、单选题 1某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有 96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ） A62% B56% C46% D42% 2设 O为正方形 ABCD的中心，在 O，A，B，C，D 中任取 3点，则取到的 3点共线的概率为（ ） A15 B25 C12 D45 35名学生中有且只有3名同学会颠足球，从中任意选取 2人，则这 2人都会颠足球的概率为（ ） A310 B25 C12 D35 4甲乙丙丁四位同学站成一排照相,则甲.乙两人中至少有一人站在两端的概率为( ) A56 B12 C13 D23 5将 4个 1和 2 个 0随机排成一行，则 2 个 0不相邻的概率为（ ） A13 B25 C23 D45 6在区间(0,1)与(1,2)中各随机取 1个数，则两数之和大于74的概率为（ ） A79 B2332 C932 D29 7在区间10,2随机取 1 个数，则取到的数小于13的概率为（ ） A34 B23 C13 D16 8从包括甲乙在内的 7名学生中选派 4 名学生排序参加演讲比赛，则甲和乙参加，且演讲顺序不相邻的概率为（ ） A221 B17 C27 D12 9中国书法历史悠久源远流长.书法作为一种艺术，以文字为载体，不断地反映和丰富着华夏民族的自然观宇宙观和人生观.谈到书法艺术，就离不开汉字.汉字是书法艺术的精髓.汉字本身具有丰富的意象和可塑 2022 高考 2 的规律性，使汉字书写成为一门独特的艺术.我国书法大体可分为篆隶楷行草五种书体，如图：以“国”字为例，现有甲乙两名书法爱好者分别从五种书体中任意选一种进行研习，且甲乙所选书法体互相独立，则甲不选隶书体，乙不选草书体的概率为（ ）. A425 B825 C925 D1625 10由于全球新冠肺炎疫情呈高发态势，我国零星散发病例和局部地区聚集性疫情明显增加，为了全面抗击，做到网格化管理，要求在 2021 年 1 月 28日至 3 月 8日春运期间必须持新冠病毒核酸检测阴性证明才能出行若甲、乙两人去A，B，C，D四个医院中的一个做检测，则他们不在同一个医院做检测的概率为（ ） A14 B12 C34 D23 11从 2 个小孩，2个中年人，2 个老人组成的 6人中随机抽取 3 人做一个游戏，则这 3人恰好有 1个小孩，1 个中年人，1 个老人的概率为（ ） A15 B25 C815 D35 12甲、乙两位同学到莆田市湄洲岛当志愿者，他们同时从“妈祖祖庙”站上车，乘坐开往“黄金沙滩”站方向的3路公交车（线路图如下） 甲将在“供水公司”站之前的任意一站下车，乙将在“鹅尾神化石”站之前的任意一站下车假设每人自“管委会”站开始在每一站点下车是等可能的，则甲比乙后下车的概率为（ ） A15 B14 C730 D310 13袋中有红黄绿，蓝颜色的球各一个，每次随机取一个后放回袋中，连续取四次，则取出的球颜色完全不相同的概率为（ ） A1256 B164 C332 D316 14孪生素数猜想是希尔伯特在 1900年提出的 23个问题中的第 8 个：存在无穷多个素数 P，使得2p+是暑假必刷 900 题 3 素数，素数对( ,2)p p+称为孪生素数，2013年华人数学家张益唐发表的论文素数间的有界距离第一次证明了存在无穷多组间距小于定值的素数对，那么在不超过 16的素数中任意取出不同的两个可组成孪生素数的概率为（ ） A15 B421 C415 D110 二、多选题二、多选题 15在一个口袋中装有 5个白球和 3 个黑球，这些球除颜色外完全相同.从中摸出 3 个球，下列事件是互斥事件的是（ ） A摸出三个白球事件和摸出三个黑球事件 B恰好有一黑球事件和都是黑球事件 C.至少一个黑球事件和至多一个白球事件 D至少一个黑球事件和全是白球事件 16甲、乙、丙三人在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术 7 门学科中任选 3 门若同学甲必选物理，则下列说法正确的是（ ） A甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件 B甲的不同的选法种数为 15 C已知乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是16 D乙、丙两名同学都选物理的概率是949 17下列说法正确的是（ ） A某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300的样本进行调查.已知该校一、二、三、四年级本科生人数之比为 6：5：5：4，则应从一年级中抽取 90 名学生 B10件产品中有 7件正品,3件次品，从中任取 4件,则恰好取到 1件次品的概率为12 C已知变量 x 与 y 正相关，且由观测数据算得x=3，y=35，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是y=0.4x+2.3 D从装有 2 个红球和 2个黑球的口袋内任取 2 个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件 18某校高二年级进行选课走班，已知语文、数学、英语是必选学科，另外需从物理、化学、生物、政 2022 高考 4 治、历史、地理 6门学科中任选 3门进行学习. 现有甲、乙、丙三人，若同学甲必选物理，则下列结论正确的是（ ） A甲的不同的选法种数为 10 B甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件 C乙同学在选物理的条件下选化学的概率是15 D乙、丙两名同学都选物理的概率是14 19一个布袋内装除颜色外完全相同的 4 个红球和 3 个蓝球.现从袋中摸出 4个球，则（ ） A摸出 4个红球的概率是135 B摸出 3 个红球和 1 个蓝球的概率是1235 C摸出 2 个红球和 2 个蓝球的概率是1835 D摸出 1个红球和 3 个蓝球的概率是135 20从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（ ） A2个球都是红球的概率为16 B2个球不都是红球的概率为13 C至少有1个红球的概率为23 D2个球中恰有1个红球的概率为12 三、填空题三、填空题 21将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷 2 次，观察向上的点数，则点数和为 5 的概率是_. 22中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一.直角三角形最短的边称为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据成为勾股数.现从1 5这5个数中随机选取3个不同的数，这三个数为勾股数的概率为_ 23已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_ 24非典和新冠肺炎两场疫情告诉我们：应坚决杜绝食用野生动物，提倡文明健康，绿色环保的生活方式.在我国抗击新冠肺炎期间，某校开展一次有关病毒的网络科普讲座.高三年级男生 60人，女生 40人参加.按分层抽样的方法，在 100名同学中选出 5 人，则男生中选出_人.再从此 5人中选出两名同学作为联络人，则这两名联络人中男女都有的概率是_.（第 1空 2 分，第 2 空 3分） 暑假必刷 900 题 5 四四、解答题、解答题 25海关对同时从, ,A B C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如下表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取 6 件样品进行检测 地区 A B C 数量/件 50 150 100 （1）求这 6 件样品中来自 A，B，C 三个地区商品的数量； （2）若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测，求这 2 件商品来自相同地区的概率 26“2021年全国城市节约用水宣传周”已于5月9日至15日举行.成都市围绕“贯彻新发展理念，建设节水型城市”这一主题，开展了形式多样，内容丰富的活动，进一步增强全民保护水资源，防治水污染，节约用水的意识.为了解活动开展成效，某街道办事处工作人员赴一小区调查住户的节约用水情况，随机抽取了300名业主进行节约用水调查评分，将得到的分数分成6组：70,75)，75,80)，80,85)，85,90)，90,95)，95,100，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求a的值，并估计这300名业主评分的中位数； （2）若先用分层抽样的方法从评分在90,95)和95,100的业主中抽取5人，然后再从抽出的这5位业主中任意选取2人作进一步访谈，求这2人中至少有1人的评分在95,100的概率. 2022 高考 6 272020年第七次全国人口普查摸底工作从 10月 11 日开始，10 月 31日结束.从 11 月 1日开始进入普查的正式登记阶段.普查员要进入每个住户逐人逐项登记普查信息，这期间还将随机抽取 10%的住户填报普查长表，调查更为详细的人口结构信息.整个登记工作持续到 12月 10 日结束.某社区对随机抽取的 10%住户普查长表信息情况汇总，发现其中 30%的住户是租房入住，现对租房户按照住户家庭年人均收入情况绘制出如下的频率分布直方图(假设该社区内住户家庭年房租支出均在 2到 8 万之间)： （1）求出a的值 （2）若抽取的 10%住户中，家庭人均年收入在5,6万元的恰好有12 户，则该社区共有住户约多少户. （3）若从家庭年房租支出不到 6 万元的住户中按照分层抽样的方法抽取 10户，再从这 10 户中随机抽取 2户对其住房和医疗保健情况进行调查，求抽得的 2 户家庭年房租支出少于 5 万元不少于 3万元的概率. 28我国的高等教育中对于硕士研究生的培养，按照培养方向分类，可分为普通硕士和专业硕士两类；一类是普通硕士，根据我国的有关规定，普通硕士教育以培养教学和科研人才为主，授予学位的类型主要是学术型学位.另一类是专业硕士，根据国务院学位委员会的定位，专业型学位为具有职业背景的学位，培养特定职业高层次专门人才.专业硕士教育的学习方式比较灵活，大致可分为在职攻读和全日制学习两类.某大学团委为了解该校大学一年级的学生对未来的考硕士研究生的规划，从中随机抽取容量为 100 的样本，其中有考硕士研究生规划的有 24人(其中有考普通硕士规划的 6人中，2名是男生，4名是女生). （1）若从样本中选一位学生，那么该同学是有考普通硕士规划的概率有多大？ （2）从这 6名有考普通硕士规划的学生中，选出 3个人，求其中男生至少一人的概率. 暑假必刷 900 题 7 29截止 2020 年 11月 23日，国务院扶贫办确定的全国 832个贫困县已全部脱贫摘帽，各地为持续巩固脱贫攻坚成果，都建立了防止返贫检测和帮扶机制.为进一步推进乡村振兴，某市扶贫办在A乡镇的 3 个脱贫村，B乡镇的 2个脱贫村以及C乡镇的 2 个脱贫村中，随机抽取 2 个村庄进一步实施产业帮扶. （1）求抽取的 2个村庄来自同 1 个乡镇的概率； （2）求抽取的 2个村庄中至少有 1个来自A乡镇的概率. 30在一次产品质量抽查中发现，某箱 5 件产品中有 2件次品 （1）从该箱产品中随机抽取 1件产品，求抽到次品的概率； （2）从该箱产品中依次不放回随机抽取 2 件产品，求抽出的 2 件产品中有次品的概率 P； （3）若重复进行（2）的试验 10次，则出现次品的次数一定是 10P，请问上述结论是否正确？请简要说明理由 2022 高考 8 参考答案参考答案 1C 2A 3A 4A 5C 6B 7B 8B 9D 10C 11B 12C 13C 14A 15ABD 16BD 17ABC 18AD 19ABC 20ACD 2119 22110 2316 23 243 35 25 【解析】 （1）由题意，样品中来自 A 地区商品的数量为650150 150 100=+， 来自 B 地区商品的数量为6150350 150 100=+， 来自 C 地区商品的数量为6100250 150 100=+； （2）设来自A地区的样品编号为a，来自B地区的样品编号为1b,2b,3b， 来自C地区的样品编号为1c,2c， 则从 6 件样品中抽取 2 件产品的所有基本事件为: ()1, a b,()2, a b,()3, a b,()1, a c,()2, a c,()12,b b,()13,b b,()11,b c, ()12,b c,()23,b b,()21,b c,()22,b c,()31,b c,()32,b c,()12,c c,共 15 个； 抽取的这 2 件产品来自相同地区的基本事件有: ()12,b b,()13,b b,()23,b b,()12,c c,共 4 个； 故所求概率415P =. 26 【解析】 （1）第三组的频率为1 (0.0200.0250.0300.0350.050) 50.200+ =， 0.2000.0405a= 又第一组的频率为0.025 50.125 =，第二组的频率为0.035 50.175 =，第三组的频率为0.200. 前三组的频率之和为0.1250.1750.2000.500+=， 这300名业主评分的中位数为85. （2）由频率分布直方图，知评分在90,95)的人数与评分在95,100的人数的比值为3:2. 采用分层抽样法抽取5人，评分在90,95)的有3人，评分在95,100有2人. 不妨设评分在90,95)的3人分别为123,A A A；评分在95,100的2人分别为12,B B， 则从5人中任选2人的所有可能情况有： 1,2，1,3，11,A B，12,A B，23,A A，21,A B，22,A B，31,A B，32,A B，12,B B共10种. 暑假必刷 900 题 9 其中选取的2人中至少有1人的评分在95,100的情况有： 11,A B，12,A B，21,A B，22,A B，31,A B，32,A B，12,B B共7种. 故这2人中至少有1人的评分在95,100的概率为710P =. 27 【解析】(1)依题意，由频率分布直方图可知，2340.3531aaaaa+=，所以0.05a =， (2)根据统计结果，该社区有 30%的住户是租房入住， 所以抽取的 10%住户中恰好有 30%的住户是租房户， 而家庭年房租支出在5,6万元住户占租房户的比重恰好为40.2a =，又为 12户， 所以共有租房户约12600.2=户， 而租房户占被抽取的 10%住户的比重为 30%， 所以得该社区共有住户约60200010% 30%=户. (3)依题意，抽取的 10户中，家庭年房租出不超过 5万元不少于 3万元的共有 5 户， 可以对这 10户进行编号， 而家庭人均年收入不超过 5 万元不少于 3 万元的共有 5户编号记为 1，2，3，4，5，另外 5 户记为 6，7，8，9，10， 所以从 10 户中任选 2户共有： (1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(1,8)，(1,9)，(1,10)， (2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(2,7)，(2,8)，(2,9)，(2,10)， (3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(3,8)，(3,9)，(3,10)， (4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8)，(4,9)，(4,10)， (5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(5,10)， (6,7)，(6,8)，(6,9)，(6,10)， (7,8)，(7,9)，(7,10)， (8,9)，(8,10)， (9,10)， 所以共有9(1 9)452+=种情况，而选取的两户家庭年房租支出不超过 5 万元不于 3 万元的共有 10种情况， 所以抽得的 2户家庭年房租支出不超过 5 万不少于 3 万元的概率102459p =. 28 【解析】 （1）样本容量为100，其中有考普通硕士规划的有6人， 2022 高考 10 故该同学是有考普通硕士规划的概率6310050P =； （2）设男生为,A B，女生a b c d, ,，从6人中选取3人的所以情况有： ABa，ABb，ABc，ABd，Aab，Aac，Aad，Abc，Abd，Acd，Bab， Bac，Bad，Bbc，Bbd，Bcd，abc，abd，acd，bcd共20种情况， 至少有一个男生的有16种情况， 故其中男生至少一人的概率164205P =. 29 【解析】依题意，可设A乡镇的 3个脱贫村为1a，2a，3a，B乡镇的 2 个脱贫村为1b，2b，C乡镇的 2个脱贫村为1c，2c. 从中随机抽取 2 个扶贫村的事件有12a a，13a a，1 1a b，1 2ab，1 1a c，1 2a c，23a a，2 1a b，22a b，2 1a c，22a c，3 1a b，3 2a b，3 1a c，3 2a c，1 2bb，1 1bc，1 2bc，2 1b c，22b c，1 2c c共 21种. （1）抽取的 2 个村庄来自同 1个乡镇的事件有12a a，13a a，23a a，1 2bb，1 2c c，共 5 种， 所以抽取的 2个村庄来自同 1个乡镇的概率1521P =. （2）抽取的 2 个村庄中至少有 1 个来自A乡镇的事件有12a a，13a a，1 1a b，1 2ab，1 1a c，1 2a c，23a a，2 1a b，22a b，2 1a c，22a c，3 1a b，3 2a b，3 1a c，3 2a c，共 15 种， 所以抽取的 2个村庄中至少有 1 个来自A乡镇的概率2155217P =. 30 【解析】 （1）在一次产品质量抽查中发现，某箱 5 件产品中有 2 件次品 记“从该箱产品中随机抽取 1件产品，抽到次品”为事件A，则2( )5P A = （2）记“从该箱产品中依次不放回随机抽取 2 件产品，抽取的没有次品”为事件B，则() =3524， 所以从该箱产品中依次不放回随机抽取 2 件产品，抽出的 2件产品中有次品的概率 P13254710 （3）若重复进行（2）的试验 10次，则出现次品的次数 XB（10，710） ， 出现次品的次数 E（X）10710710P 所以上述结论正确.
