4-4渐开线与摆线.ppt
四四 渐开线与摆线渐开线与摆线1、渐开线的定义 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔会画出一条子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨曲线。这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？迹方程？探究新知探究新知1、渐开线的定义动点（笔尖）满足什么几何条件？动点（笔尖）满足什么几何条件？设开始时绳子外端（笔尖）位于点A，当外端展开到点M时，因为绳子对圆心角 的一段弧AB，展开后成为切线，所以 切线 BM 的长就是 AB 的长，这是动点（笔尖）满足的几何条件。我们把笔尖画出的曲线叫我们把笔尖画出的曲线叫做做圆的渐开线，圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线相应的定圆叫做渐开线的的基圆。基圆。探究新知探究新知ABMOxy2 2、渐开线的参数方程、渐开线的参数方程 以基圆圆心以基圆圆心O为原点，直线为原点，直线OA为为x轴，建立轴，建立平面直角坐标系。平面直角坐标系。设基圆的半径为设基圆的半径为r r，绳子外端，绳子外端M M的坐标为的坐标为(x, y)显然，点显然，点M由角由角 唯一确定。唯一确定。B取 为参数，则点 的坐标为（rcos ,rsin ）,从而(cos ,sin ),|.BMxryrBMr 1(cos ,sin )eOB 由于向量是与同方向的单位向量，探究新知探究新知ABMOy22(sin , cos )| (),eBMBMre 因而向量是与向量同方向的单位向量。所以即| (cos ,sin )(sin , cos )BMxryrr (cossin )(s(incos )xryr解得是参数 。这就是这就是圆的渐开线的参数方程圆的渐开线的参数方程。探究新知探究新知2 2、渐开线的参数方程、渐开线的参数方程ABMOy由于渐开线齿行的齿轮磨损少，传动平稳，由于渐开线齿行的齿轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便，因此大多数齿轮采用制造安装较为方便，因此大多数齿轮采用这种齿形。这种齿形。设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。方程。在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力。在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力。新知运用新知运用 思考：如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔直的道路上行使时，白色印记那么自行车在笔直的道路上行使时，白色印记会画出什么样的曲线？会画出什么样的曲线？3、摆线的定义上述问题抽象成数学问题就是：上述问题抽象成数学问题就是：当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹是什么？上一个定点的轨迹是什么？OABM 摆线在它与定直线的两个相邻交摆线在它与定直线的两个相邻交点之间的部分叫做点之间的部分叫做一个拱。一个拱。探究新知探究新知同样地，我们先分析圆在滚动过程中，圆周上的同样地，我们先分析圆在滚动过程中，圆周上的这个动点满足的几何条件。这个动点满足的几何条件。我们把点我们把点M M的轨迹叫做的轨迹叫做平摆线，平摆线，简称简称摆线，摆线，又叫又叫旋轮线。旋轮线。OAMAOAr线段的长等于的长，即。3、摆线的定义探究新知探究新知xyO DAEBMC 根据点根据点M M满足的几何条件，我们取定直线为满足的几何条件，我们取定直线为X X轴，轴，定点定点M M滚动时落在定直线上的一个位置为原点，滚动时落在定直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系。建立直角坐标系。设圆的半径为设圆的半径为r。MxAB设开始时定点在原点，圆滚动了 角后与 轴相切于点 ，圆心在点 。MABxCD从点分别做， 轴的垂线，垂足分别是 ， 。3、摆线的参数方程探究新知探究新知sin ,xOD OA DA OA MCrrcos .yDMACABCBrr所以，摆线的参数方程为：所以，摆线的参数方程为：(sin ),()(1 cos ).xryr为参数( , ),Mx yM设点的坐标为取 为参数，根据点满足的几何条件，有3、摆线的参数方程探究新知探究新知(sin ),()(1 cos ).xryr为参数摆线的参数方程为：摆线的参数方程为：3、摆线的参数方程探究新知探究新知OABMxyO DAEBMC思考思考1 1：在摆线的参数方程中，参数：在摆线的参数方程中，参数 的取值范的取值范围是什么？一个拱的宽度与高度各是什么？围是什么？一个拱的宽度与高度各是什么？3、摆线的参数方程探究新知探究新知思考思考2 2：若点：若点Q在半径在半径AP上，且上，且AQ=r/2，当圆，当圆滚动时，点滚动时，点Q的轨迹是什么？的轨迹是什么？(sin ),()(1 cos ).xryr为参数1、摆线是研究一个动圆在一条曲线（基线）上滚动时，动圆上一点的轨迹。当基线是直线时，就得到平摆线或变幅平摆线。平摆线的参数方程为：2、当基线是圆且动圆在定圆内滚动时，就得到内摆线或变幅内摆线。当基线是圆且动圆在定圆外滚动时，若两圆外切，就得到外摆线或变幅外摆线。3、参数方程在研究摆线中的作用课堂小结课堂小结 搜集有关摆线的应用实例。 借助P43“阅读”，探究变幅内、外摆线的参数方程。课外作业课外作业直直 齿齿平行轴齿轮传动机构（圆柱齿轮传动机构）平行轴齿轮传动机构（圆柱齿轮传动机构）摆线应用摆线应用斜齿斜齿摆线应用摆线应用齿轮齿条齿轮齿条摆线应用摆线应用内齿轮内齿轮摆线应用摆线应用交错轴齿轮传动机构交错轴齿轮传动机构斜斜齿齿摆线应用摆线应用蜗杆蜗轮蜗杆蜗轮摆线应用摆线应用曲齿曲齿摆线应用摆线应用人字齿人字齿摆线应用摆线应用直齿直齿相交轴齿轮传动机构（圆锥齿轮传动机构）相交轴齿轮传动机构（圆锥齿轮传动机构） 摆线应用摆线应用斜齿斜齿摆线应用摆线应用曲线齿曲线齿摆线应用摆线应用准双曲面齿轮准双曲面齿轮 摆线应用摆线应用
