20081010高二数学（34-1基本不等式）.ppt

第一课时第一课时 3.4 3.4 基本不等式基本不等式 2abab问题提出问题提出 1. 1.不等式有许多基本性质，同时还有一不等式有许多基本性质，同时还有一些显而易见的结论，如些显而易见的结论，如a a2 200，|a|0|a|0，|a|a|a|a等，这些性质都是研究不等式问等，这些性质都是研究不等式问题的理论依据题的理论依据. .在实际应用中，我们还需在实际应用中，我们还需要有相应的不等式原理要有相应的不等式原理. . 2. 2.如图是在北京召开的第如图是在北京召开的第2424界国际数界国际数学家大会的会标，它是根据中国古代数学家大会的会标，它是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客情好客. .在这个图案中既有一些相等关系，在这个图案中既有一些相等关系，也有一些不等关系，也有一些不等关系， 对这对这些等与不等的关系，些等与不等的关系， 我们作些相应研究我们作些相应研究. .探究（一）探究（一）: :基本不等式的原理基本不等式的原理 |a|ab |b | 22ab22ab思考思考1 1：将图中的将图中的“风车风车”抽象成如图，在正方形抽象成如图，在正方形ABCDABCD中有中有4 4个全等的直角个全等的直角三角形三角形. .设直角三角形的设直角三角形的两条直角边长为两条直角边长为a a，b b那么那么正方形正方形ABCDABCD和和EFGHEFGH的边长的边长分别为多少？分别为多少？ABCDEFGH思考思考2 2：图中正方形图中正方形ABCDABCD的面积与的面积与4 4个直个直角三角形的面积之和有什么不等关系？角三角形的面积之和有什么不等关系？由此可得到一个什么不等式？由此可得到一个什么不等式？ a a2 2b b2 22ab2ab 思考思考3 3：从图形分析从图形分析, ,上述不等式在什么上述不等式在什么情况下取等号？情况下取等号？ 当直角三角形为等腰直角三角形，即当直角三角形为等腰直角三角形，即 a ab b时，时， a a2 2b b2 22ab. 2ab. ABCDEFGH思考思考4 4：在上面的图形背景中，在上面的图形背景中，a a，b b都是都是正数，那么当正数，那么当a a，bRbR时，不等式时，不等式a a2 2b b2 22ab2ab成立吗？为什么？成立吗？为什么？ 一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a a，b b，有，有: :a a2 2b b2 22ab2ab，当且仅当，当且仅当a ab b时等号成立时等号成立. .ABCDEFGH思考思考5 5：特别地，如果特别地，如果a a0 0，b b0 0，我们，我们用用 、 分别代替分别代替a a、b b ，可得什么不，可得什么不等式等式? ? 当且仅当当且仅当a ab b时等号成立时等号成立. .aab2abab( 0, 0)2abab aba思考思考6 6：不等式不等式称为称为基本不等式基本不等式，它沟通了两个正数的，它沟通了两个正数的和与积的不等关系，在实际问题中有广和与积的不等关系，在实际问题中有广泛的应用，你能用分析法证明吗？泛的应用，你能用分析法证明吗？ ( 0, 0)2abab ab思考思考7 7：我们称我们称 和和 分别为分别为a a，b b的算术平均数和几何平均数，如何用的算术平均数和几何平均数，如何用文字语言表述基本不等式？文字语言表述基本不等式？ 两个正数的算术平均数不小于它们的两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数几何平均数. 2ab+2ab+ab思考思考8 8：如图，在直角三角形如图，在直角三角形ABCABC中，中，CDCD为斜边上的高，为斜边上的高， COCO为斜边上中线，你能为斜边上中线，你能利用这个图形对基本不等式作出几何解利用这个图形对基本不等式作出几何解释吗？释吗？2ab+A AB B C CD DO O探究（二）：探究（二）：基本不等式的变通基本不等式的变通 思考思考1 1：将基本不等式将基本不等式两边平方可得什么结论？它与不等式两边平方可得什么结论？它与不等式a a2 2b b2 22ab2ab有什么内在联系？有什么内在联系？ 2abab2()2+abab思考思考2 2：在不等式在不等式a a2 2b b2 22ab2ab两边同加两边同加上上a a2 2b b2 2可得什么结论？所得不等式有可得什么结论？所得不等式有什么特色？什么特色？ 000cbxaxy20a)(,2121xxxx 222()22abab+它反映了两个实数的平方和与它们的它反映了两个实数的平方和与它们的和的平方的不等关系，称为和的平方的不等关系，称为平方平均平方平均不等式，不等式，其数学意义是：其数学意义是：两个实数的两个实数的平方的算术平均数不小于它们的算术平方的算术平均数不小于它们的算术平均数的平方平均数的平方. . 思考思考3:3:将不等式将不等式 两两边同乘以边同乘以 ，可变通出一些什么结论？，可变通出一些什么结论？ 2(0,0)abab abab2ababab+211abab+211a bab+理论迁移理论迁移 例例1 1 已知已知x x、y y都是正数，求证：都是正数，求证： (x(xy)(xy)(x2 2y y2 2)(x)(x3 3y y3 3)x x3 3y y3 3 例例2 2 已知已知 a a2 2b b2 2c c2 21 1， 求证：求证：(a(ab bc)c)3 33.3.小结作业小结作业2.2.基本不等式有多种形式，应用时具有基本不等式有多种形式，应用时具有很大的灵活性，既可直接应用也可变式很大的灵活性，既可直接应用也可变式应用应用. .一般地，遇到和与积，平方和与积，一般地，遇到和与积，平方和与积，平方和与和的平方等不等式问题时，常平方和与和的平方等不等式问题时，常利用基本不等式处理利用基本不等式处理 1.1.不等式不等式a a2 2b b2 22ab2ab与与 都是基本不等式，它们成立的条件不同，都是基本不等式，它们成立的条件不同，前者前者a a、b b可为任意实数，后者要求可为任意实数，后者要求a a、b b都是正数，但二者等号成立的条件相同都是正数，但二者等号成立的条件相同. . 2abab3.3.当当a a、b b都是正数时，有不等式链都是正数时，有不等式链 2221122+吵+abababab 作业：作业： P100P100习题习题3.4 A3.4 A组：组：1 1，2.2.