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用列举法求概率用列举法求概率(1) 复习回顾：复习回顾： 一般地，如果在一次试验中，一般地，如果在一次试验中，有有n种可能的结果种可能的结果，并且它们发生的，并且它们发生的可能性都相等可能性都相等，事件事件A包含在其中的包含在其中的m种结果种结果，那么事件那么事件A发生的概率为：发生的概率为：nmAP)(求概率的步骤：求概率的步骤：(1)列举出一次试验中的所有结果列举出一次试验中的所有结果(n个个)；(2)找出其中事件找出其中事件A发生的结果发生的结果(m个个)；(3)运用公式求事件运用公式求事件A的概率：的概率：nmAP)(解：解：在甲袋中，在甲袋中，P（取出黑球）（取出黑球） 28872在乙袋中，在乙袋中，P（取出黑球）（取出黑球） 45153131 72所以，选乙袋成功的机会大。所以，选乙袋成功的机会大。2020红，红，8 8黑黑甲袋甲袋:2020红红,15,15黑黑,10,10白白乙袋乙袋:球除了颜色以外没有任何区别。两袋中的球都搅匀。球除了颜色以外没有任何区别。两袋中的球都搅匀。蒙上眼睛从口袋中取一只球，如果你想取出蒙上眼睛从口袋中取一只球，如果你想取出1只黑球，只黑球，你选哪个口袋成功的你选哪个口袋成功的机会大机会大呢？呢？ 引例引例：掷两枚硬币，求下列事件的概率：掷两枚硬币，求下列事件的概率：(1)两枚硬币全部正面朝上；两枚硬币全部正面朝上；(2)两枚硬币全部反面朝上；两枚硬币全部反面朝上；(3)一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上；一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上；“掷两枚硬币掷两枚硬币”共有几种结果？共有几种结果？正正正正正正反反反反正正反反反反为了不重不漏地列出所有这些结果为了不重不漏地列出所有这些结果,你有什么好办法么？你有什么好办法么？掷两枚硬币，不妨设其中掷两枚硬币，不妨设其中一枚为一枚为A，另一枚为另一枚为B，用用列表法列表法列举所有可能出现的结果列举所有可能出现的结果:BA还能用其它方法列举还能用其它方法列举所有结果吗？所有结果吗？正正反反正正反反正正正正正正反反反反正正反反反反反反正正第一枚第一枚第二枚第二枚反反正正反反正正共共4种可能的结果种可能的结果此图类似于树的形状此图类似于树的形状,所以称为所以称为 “树形图树形图”。甲甲乙乙1234567 如图，如图，甲转盘甲转盘的三个等分区域分别写有数字的三个等分区域分别写有数字1、2、3，乙转盘乙转盘的四个等分区域分别写有数字的四个等分区域分别写有数字4、5、6、7。现。现分别转动两个转盘，求指针所指分别转动两个转盘，求指针所指数字之和为偶数数字之和为偶数的概的概率。率。解：解：(1，4) (1，5) (1，6) (1，7)(2，4) (2，5) (2，6) (2，7)(3，4) (3，5) (3，6) (3，7)共有共有12种不同结果，每种不同结果，每种结果出现的可能性相种结果出现的可能性相同，其中同，其中数字和为偶数数字和为偶数的有的有 6 种种P（数字和为偶数）（数字和为偶数）=611223217654甲甲乙乙归纳归纳“列表法列表法”的意义：的意义： 当试验涉及当试验涉及两个因素两个因素(例如两个转盘例如两个转盘)并且并且可能出现的结果数目较多可能出现的结果数目较多时，时，为不重不漏地列出所有的结果，为不重不漏地列出所有的结果，通常采用通常采用“列表法列表法”。 上题可以用画上题可以用画“树形图树形图”的方法的方法 列举所有可能的结果么？列举所有可能的结果么？探究探究31甲转盘甲转盘乙转盘乙转盘4共共 12 种可能的结果种可能的结果与与“列表列表”法对比，结果怎么样？法对比，结果怎么样？ 甲转盘指针所指的数字可能是甲转盘指针所指的数字可能是 1、2、3， 乙转盘指针所指的数字可能是乙转盘指针所指的数字可能是 4、5、6、7。甲甲123乙乙4 56725 6 74 5 6 74 5 6 7求指针所指数字之和为偶数的概率。求指针所指数字之和为偶数的概率。例例2 2、同时掷两个质地相同的骰子，计算下列事件的概率：同时掷两个质地相同的骰子，计算下列事件的概率： (1)两个骰子的点数相同；两个骰子的点数相同；(2)两个骰子的点数和是两个骰子的点数和是9； (3)至少有个骰子的点数是至少有个骰子的点数是2。解：1234561(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)2(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)3(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)4(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)5(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)6(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,5) (6,6)二二一一此题用列树图的方法好吗？此题用列树图的方法好吗？P(点数相同）点数相同）=61366P(点数和是9）=P(至少有个骰子的点数是至少有个骰子的点数是2 ）=913643611思考思考 “同时掷两个质地相同的骰子同时掷两个质地相同的骰子”与与 “把一个骰子掷两次把一个骰子掷两次”，所得到的结果有变化吗？，所得到的结果有变化吗？“同时掷两个质地相同的骰子同时掷两个质地相同的骰子”两个骰子各出现的点数为两个骰子各出现的点数为1 16 6点点“把一个骰子掷两次把一个骰子掷两次”两次骰子各出现的点数仍为两次骰子各出现的点数仍为16点点归纳归纳 “两个相同的随机事件同时发生两个相同的随机事件同时发生”与与 “一个随机事件先后两次发生一个随机事件先后两次发生”的结果是一样的。的结果是一样的。随机事件随机事件“同时同时”与与“先后先后”的关系：的关系：1、一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁、一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔口都会随机地选择一条路径，它获得食物的在每个岔口都会随机地选择一条路径，它获得食物的概率是多少？概率是多少？蚂蚁蚂蚁食物食物练习练习2 2、用如图所示的两个转盘进行、用如图所示的两个转盘进行“配紫色配紫色”( (红与蓝红与蓝) )游戏。请你采用游戏。请你采用“树形图树形图”法计算配得紫色的概率。法计算配得紫色的概率。甲甲乙乙白白红红蓝蓝蓝蓝黄黄绿绿红红3、每个转盘分成相等的两个扇形。甲、乙两人、每个转盘分成相等的两个扇形。甲、乙两人利用它们做游戏：同时转动两个转盘，利用它们做游戏：同时转动两个转盘， 如果两个指针所停区域的如果两个指针所停区域的颜色相同颜色相同则则甲获胜甲获胜； 如果两个指针所停区域的如果两个指针所停区域的颜色不同颜色不同则则乙获胜乙获胜。 你认为这个游戏公平吗？你认为这个游戏公平吗？黄黄蓝蓝黄黄蓝蓝绿绿蓝蓝5、一个袋子中装有、一个袋子中装有2个红球和个红球和2个绿球，任意摸出一个个绿球，任意摸出一个球，记录颜色后放回，再任意摸出一个球，请你计算两球，记录颜色后放回，再任意摸出一个球，请你计算两次都摸到红球的概率。次都摸到红球的概率。若第一次摸出一球后，不放回，结果又会怎样？若第一次摸出一球后，不放回，结果又会怎样？“放回放回”与与“不放回不放回”的区别：的区别：(1)“放回放回”可以看作两次相同的试验；可以看作两次相同的试验；(2)“不放回不放回”则看作两次不同的试验。则看作两次不同的试验。4、在盒子中有三张卡片，随机抽取两张，可能、在盒子中有三张卡片，随机抽取两张，可能拼出菱形拼出菱形(两张三角形两张三角形)也可能拼出房子也可能拼出房子(一张三一张三角形和一张正方形角形和一张正方形)。游戏规则是：。游戏规则是： 若若拼成菱形，甲胜拼成菱形，甲胜；若；若拼成房子，乙胜拼成房子，乙胜。 你认为这个游戏公平吗？你认为这个游戏公平吗？7、甲、乙两人各掷一枚质量分布均匀的正方体骰子，如果、甲、乙两人各掷一枚质量分布均匀的正方体骰子，如果点数点数之积为奇数，那么甲得之积为奇数，那么甲得1分分；如果；如果点数之积为偶数，那么乙得点数之积为偶数，那么乙得1分分。连续投连续投10次，谁得分高，谁就获胜。次，谁得分高，谁就获胜。(1)请你想一想，谁获胜的机会大？并说明理由；请你想一想，谁获胜的机会大？并说明理由；(2)你认为游戏公平吗？如果不公平，请你设计一个公平的游戏。你认为游戏公平吗？如果不公平，请你设计一个公平的游戏。123456111=121=231=341=451=561=6212=222=432=642=852=1062=12313=323=633=943=1253=1563=18414=424=834=1244=1654=2064=24515=525=1035=1545=2055=2565=30616=626=1236=1846=2456=3066=36列出所有可能的结果：列出所有可能的结果：1、在、在6张卡片上分别写有张卡片上分别写有16的整数，随机地抽取一的整数，随机地抽取一张后放回，再随机地抽取一张，那么第二次取出的数张后放回，再随机地抽取一张，那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是多少？字能够整除第一次取出的数字的概率是多少？1234561(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)2(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)3(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)4(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)5(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)6(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)二二 一一解解: 列出所有可能的结果：列出所有可能的结果：P(第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字)=18736142、有两把不同的锁和、有两把不同的锁和三把钥匙三把钥匙，其中，其中两把钥匙恰好能分别打开两把钥匙恰好能分别打开这两把锁这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁。任意取一把钥匙去，第三把钥匙不能打开这两把锁。任意取一把钥匙去开任意一把锁，一次打开锁的概率是多少？开任意一把锁，一次打开锁的概率是多少？cbBABAaBA解解: 设有设有A,B两把锁和两把锁和a,b,c三把钥匙三把钥匙,其中钥匙其中钥匙a,b分别分别可以打开锁可以打开锁A,B.列出所有可能的结果如下列出所有可能的结果如下:P(一次打开锁一次打开锁)= =62313、一次联欢晚会上，规定每个同学同时转动两个转盘、一次联欢晚会上，规定每个同学同时转动两个转盘(每每个转盘被分成二等分和三等分个转盘被分成二等分和三等分)，若停止后指针所指的数，若停止后指针所指的数字之和为奇数，则这个同学要表演唱歌节目；若数字之字之和为奇数，则这个同学要表演唱歌节目；若数字之和为偶数，则要表演其他节目。试求这个同学表演唱歌和为偶数，则要表演其他节目。试求这个同学表演唱歌节目的概率。你有几种方法？节目的概率。你有几种方法？12312小结小结1.“列表法列表法”的意义的意义3.随机事件随机事件“同时同时”与与“先后先后”的关系的关系;“放回放回”与与“不放回不放回”的关系的关系.2. 利用树图列举所有结果的方法利用树图列举所有结果的方法.4、有甲、乙两把不同的锁，各配有、有甲、乙两把不同的锁，各配有2把钥匙。求从这把钥匙。求从这4把把钥匙中任取钥匙中任取2把，能打开甲、乙两锁的概率。把，能打开甲、乙两锁的概率。B1A2B2A2B2A1A1B2A1B2B1A1A2A2B1B1解解:设有设有A1,A2，B1, B2四把钥匙四把钥匙,其中钥匙其中钥匙A1,A2可以可以打开锁甲打开锁甲,B1, B2可以打开锁乙可以打开锁乙.列出所有可能的结列出所有可能的结果如下果如下:P(能打开甲、乙两锁能打开甲、乙两锁)= =81223钥匙钥匙1 钥匙钥匙2 用列举法求概率（二）（二） 当一次试验涉及当一次试验涉及两个因素两个因素时，且时，且可能出现的可能出现的结果较多结果较多时，为不重复不时，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用遗漏地列出所有可能的结果，通常用列表法列表法。 复习复习：什么时候用：什么时候用“列表法列表法”方便？方便？用列举法求概率例例1、同时掷两个质地均匀的骰子、同时掷两个质地均匀的骰子,计计算下列事件的概率算下列事件的概率:(1)两个骰子的点数相同两个骰子的点数相同(2)两个骰子点数之和是两个骰子点数之和是9(3)至少有一个骰子的点数为至少有一个骰子的点数为2分析：这里涉及到两个因素，所以先用列表法把分析：这里涉及到两个因素，所以先用列表法把所有可能的结果列举出来，然后再分析每个事件所有可能的结果列举出来，然后再分析每个事件所包含的可能结果种数即可求出相应事件的概率所包含的可能结果种数即可求出相应事件的概率1234561(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)5(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)6(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)第一个第二个解：两个骰子的点数相同解：两个骰子的点数相同( (记为事件记为事件A) P(A)=6/36=1/6A) P(A)=6/36=1/6两个骰子点数之和是两个骰子点数之和是9(9(记为事件记为事件B) B) P(B)=4/36=1/9P(B)=4/36=1/9至少有一个骰子的点数为至少有一个骰子的点数为2 (2 (记为事件记为事件C) C) P(C)=11/36P(C)=11/361234561(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)5(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)6(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6) 练习：口袋中一红三黑共练习：口袋中一红三黑共4 4个个小球，小球，第一次从中取出一个小第一次从中取出一个小球后放回，再取第二次球后放回，再取第二次, ,求求 “ “两两次取出的小球都是黑球次取出的小球都是黑球”的概率的概率. . 一次取出两个小球一次取出两个小球, ,求求“两个小两个小球都是黑球球都是黑球”的概率。的概率。用列举法求概率例例2、甲口袋中装有、甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别个相同的小球，它们分别写有字母写有字母A和和B； 乙口袋中装有乙口袋中装有3个相同的小个相同的小球，它们分别写有字母球，它们分别写有字母C、D和和E；丙口袋中装；丙口袋中装有有2个相同的小球，它们分别写有字母个相同的小球，它们分别写有字母H和和I。从从3个口袋中各随机地取出个口袋中各随机地取出1个小球。个小球。（1）取出的）取出的3个小球上恰好有个小球上恰好有1个、个、2个和个和3个个元音字母的概率分别是多少？元音字母的概率分别是多少？（2）取出的）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是个小球上全是辅音字母的概率是多少？多少？ 用列举法求概率本题中元音字母本题中元音字母: A E I 辅音字母辅音字母: B C D H甲口袋中装有甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母个相同的小球，它们分别写有字母A和和B； 乙口袋中装有乙口袋中装有3个相同的小球，它们个相同的小球，它们分别写有字母分别写有字母C、D和和E；丙口袋中装有；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母个相同的小球，它们分别写有字母H和和I。 从从3个口袋中个口袋中各随机地取出各随机地取出1个小球。个小球。（1）取出的）取出的3个小球上恰好有个小球上恰好有1个、个、2个和个和3个元音字母的概率分别是多少？个元音字母的概率分别是多少？ （2）取出的）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？个小球上全是辅音字母的概率是多少？ 甲甲乙乙丙丙ACDEHI HI HIBCDEHI HI HIBCHACHACIADHADIAEHAEIBCIBDHBDIBEHBEI解：由树形图得，所有可能出现的解：由树形图得，所有可能出现的结果有结果有12个，它们出现的可能性相个，它们出现的可能性相等。等。（1）满足只有一个元音字母的结果）满足只有一个元音字母的结果有有5个，则个，则 P（一个元音）（一个元音）=满足只有两个元音字母的结果有满足只有两个元音字母的结果有4个，个，则则 P（两个元音）（两个元音）= =满足三个全部为元音字母的结果有满足三个全部为元音字母的结果有1个，则个，则 P（三个元音）（三个元音）=（2）满足全是辅音字母的结果有）满足全是辅音字母的结果有2个，则个，则 P（三个辅音）（三个辅音）= = 1251243112261121用列举法求概率想一想，什么时候用想一想，什么时候用“列表法列表法”方便，什么时候用方便，什么时候用“树形图树形图”方便？方便？ACDEHI HI HIBCDEHI HI HIBCHACHACIADHADIAEHAEIBCIBDHBDIBEHBEI1234561(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)2(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)3(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)4(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)5(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)6(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)第一个第二个当一次试验涉及当一次试验涉及两个因素两个因素时，且可能时，且可能出现的结果较多时，为不重复不遗漏地出现的结果较多时，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用列出所有可能的结果，通常用列表法列表法当一次试验涉及当一次试验涉及3个因素或个因素或3个以上个以上的因素的因素时，列表法就不方便了，为不时，列表法就不方便了，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用通常用树形图树形图用列举法求概率练习：经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能左转或右转，如果练习：经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能左转或右转，如果这三种可能性大小相同，同向而行的三辆汽车都经过这个十字路口时，求下这三种可能性大小相同，同向而行的三辆汽车都经过这个十字路口时，求下列事件的概率：（列事件的概率：（1）三辆车全部继续直行（）三辆车全部继续直行（2）两辆车右转，一辆车左转）两辆车右转，一辆车左转（3）至少有两辆车左转）至少有两辆车左转 左左左左直直右右左左 直直 右右左左 直直 右右左左 直直 右右直直左左直直右右左左 直直 右右左左 直直 右右左左 直直 右右右右左左直直右右左左 直直 右右左左 直直 右右左左 直直 右右解：由树形图得，所有可能出现的结果有解：由树形图得，所有可能出现的结果有27个，它们出现的可能性相等。个，它们出现的可能性相等。（1）三辆车全部继续直行的结果有）三辆车全部继续直行的结果有1个，则个，则 P（三辆车全部继续直行）（三辆车全部继续直行）=（2）两辆车右转，一辆车左转的结果有）两辆车右转，一辆车左转的结果有3个，则个，则 P（两辆车右转，一辆车左转）（两辆车右转，一辆车左转）= =（3）至少有两辆车左转的结果有）至少有两辆车左转的结果有7个，则个，则 P（至少有两辆车左转）（至少有两辆车左转）=左左直直 右右左左左左左左左左左左左左左左直直 右右直直左左左左直直左左直直左左直直 右右右右左左左左右右左左右右直直直直 右右左左左左直直左左直直左左直直直直 右右直直左左直直直直直直直直直直直直 右右右右左左直直右右直直右右右右直直 右右左左左左右右左左右右左左右右直直 右右直直左左右右直直右右直直右右直直 右右右右左左右右右右右右右右27127327791用列举法求概率第一辆车第一辆车第二辆车第二辆车第三辆车第三辆车课堂小结：课堂小结：这节课我们学习了哪些内容？这节课我们学习了哪些内容？通过学习你有什么收获？通过学习你有什么收获？ 用列举法求概率 1 1、当一次试验涉及、当一次试验涉及两个因素两个因素时，且可时，且可能出现的结果较多时，为不重复不遗漏能出现的结果较多时，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用地列出所有可能的结果，通常用列表法列表法 2 2、当一次试验涉及、当一次试验涉及3 3个因素或个因素或3 3个以上个以上的因素的因素时，列表法就不方便了，为了不重时，列表法就不方便了，为了不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用树形图树形图