(江苏专用)2019版高考数学大一轮复习 第七章 不等式 第40讲 一元二次不等式学案.pdf

第第 4040 讲讲一元二次不等式一元二次不等式考试要求1.从实际情境中抽象出一元二次不等式模型，一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系（B 级要求);2.求解一元二次不等式（C 级要求)。诊 断 自 测1。（教材改编）不等式x3x100 的解集是_。解析解方程x3x100 得x12，x25，由于yx3x10 的图象开口向上，所以x3x100 的解集为(，2)（5，）。答案(，2)（5，）2。（扬州市 2018 届高三上学期期中)不等式错误错误! !2 的解集为_.解析错误错误! !2，即错误错误! !0 的解集是错误错误! !,则ab_.解析x1错误错误! !，x2错误错误! !是方程axbx20 的两个根，错误错误! !解得错误错误! !ab14.答案144.（必修 5P78 例 3 改编）某厂生产一批产品,日销售量x(单位：件)与货价p（单位：元/件）之间的关系为p1602x，生产x件所需成本C50030 x元.若使得日获利不少于1300 元，则该厂日产量所要满足的条件是_.解析由题意得(1602x)x（50030 x)1300，解得 20 x45.答案20，455.（必修 5P80 习题 8 改编）若不等式x2xk20 对于任意的x2,)恒成立,则实数k的取值范围是_。解析由x2xk20,得kx2x2，设f(x)x2x2，f（x)(x1) 3，当x2，可求得f（x)max2,则kf（x)max2，所以k错误错误! !或k错误错误! !222222222222222答案（， 2）（错误错误! !，)知 识 梳 理1.“三个二次”的关系判别式b4ac二次函数yax22000(a0)的解集)一元二次不等式b(，）2aax2bxc0)的解集2。常用结论（x1，x2）（xa）(xb)0 或(xa）(xb)0 型不等式的解法不等式(xa)（x解集abxxb或b）0（xa）(xxbx|axbaxax|bxab)0口诀：大于取两边,小于取中间。3.分式不等式的等价变形（1)错误错误! !0（0)f(x）g（x）0（0）.(2)错误错误! !0（0)f(x)g（x）0(0)且g（x)0.以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式.考点一一元二次不等式及分式不等式的解法【例 1】 解下列关于x的不等式.(1）6x5x10; （2)错误错误! !3。解(1）原不等式转化为 6x5x10，方程 6x5x10 的解为x1错误错误! !,x21。根据y6x5x1 的图象,可得原不等式的解集为错误错误! !。（2)原不等式变形为错误错误! !30，即错误错误! !0，所以原不等式的解集为错误错误! !。规律方法（1）可通过解相应一元二次方程的根，再画出相应二次函数的图象，求出不等式的解集； (2）遇到分式不等式一般有两种方法:方法一是转化变形为错误错误! !0（a0(ab）的形式，方法二是针对分母的正负进行讨论；如第(2）题，就可以转化成错误错误! !2222或者错误错误! !再分别求解。考点二含参不等式解法【例 2】 (1)解关于x的不等式：x(a1)xa0.（2)解关于x的不等式：ax（a1）x10.解（1)由x(a1）xa0,得（xa）(x1）0,x1a,x21，当a1 时，x(a1）xa0 的解集为x1xa，当a1 时，x（a1）xa0 的解集为，当a1 时，x(a1）xa0 的解集为xax1。（2）若a0，原不等式等价于x11。若a0，原不等式等价于错误错误! !（x1)0,解得x错误错误! !或x1.若a0，原不等式等价于错误错误! !（x1)0。当a1 时，错误错误! !1，错误错误! !（x1)1 时,错误错误! !1，解错误错误! !（x1）0，得错误错误! !x1；当 0a1，解错误错误! !（x1）0，222222得 11;当a0 时,解集为xx1；当 0a1 时，解集为错误错误! !;当a1 时，解集为；当a1 时，解集为错误错误! !.规律方法1。利用f（x）0（f（x）0）求函数单调区间时，常转化为含参的一元一次不等式或一元二次不等式的求解问题2.含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论（1)若二次项系数为常数 ,首先确定二次项系数是否为正数 ,再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；（2）若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零,确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3）对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集【训练 1】 （1）求不等式 12xaxa（aR R）的解集。（2)解关于x的不等式kx2xk0(kR R）。解(1）12xaxa，12xaxa0，即（4xa)（3xa）0，令(4xa)(3xa）0，得x1错误错误! !，x2错误错误! !.当a0 时,错误错误! !错误错误! !，解集为错误错误! !；当a0 时，x0，解集为x|xR R，且x0;当a0 时，错误错误! !错误错误! !，解集为错误错误! !。综上所述，当a0 时，不等式的解集为错误错误! !；22222222当a0 时,不等式的解集为x|xR R，且x0;当a0 时，不等式的解集为错误错误! !.(2)当k0 时，不等式的解为x0。当k0 时，若44k0,即 0k1 时，不等式的解为错误错误! !x错误错误! !；若0，即k1 时，不等式无解.当k0 时，若44k0，即1k0 时，不等式的解为x错误错误! !或x错误错误! !；若0,即k1 时,不等式的解集为 R R；若0,即k1 时，不等式的解集为x|x1。综上所述，k1 时，不等式的解集为；0k1 时，不等式的解集为错误错误! !；22k0 时，不等式的解集为xx0;当1k0 时,不等式的解集为错误错误! !；k1 时，不等式的解集为x|x1；k1 时，不等式的解集为 R R。考点三三个二次的关系【例 3】 已知函数f(x）2xbxc（b，cR R）的值域为0,）,若关于x的不等式2f(x)m的解集为（n，n10），求实数m的值。解因为函数f（x)2xbxc(b，cR R)的值域为0，)，所以b8c0,所以c ，8因为不等式f(x)m的解集为（n，n10），所以 2xbx错误错误! !m，即 2xbx错误错误! !m0 的解集为（n，n10)，设方程 2xbx m0 的两根为x1，x2，8则x1x2错误错误! !，x1x2错误错误! !错误错误! !，所以x1x2错误错误! !错误错误! !错误错误! !10，解得m50.22222b2b2规律方法（1）一元二次不等式解的两个边界就是一元二次方程的根，二次函数的零点，也就是二次函数图象与x轴交点的横坐标。(2)若x1，x2为axbxc0（a0）两根，则|x1x2错误错误! !错误错误! !错误错误! !错误错误! !。考点四一元二次不等式的应用【例 4】 某商品每件成本价为 80 元,售价为 100 元,每天售出 100 件.若售价降低x成(1 成10%),售出商品数量就增加错误错误! !x成.要求售价不能低于成本价.(1）设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式yf（x)，并写出定义域；(2）若再要求该商品一天营业额至少为 10 260 元，求x的取值范围.解(1)由题意得y100错误错误! !100错误错误! !.因为售价不能低于成本价，所以 100错误错误! !800。即x2，所以yf(x）40(10 x）（254x），定义域为0,2.（2)由题意得 40(10 x）(254x)10 260，化简得 8x30 x130，解得错误错误! !x错误错误! !。所以x的取值范围是错误错误! !.规律方法求解不等式应用题的四个步骤（1）阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系。（2）引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型。(3）解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义。(4）回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果。【训练 2】 甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求 1x10)，每小时可获得的利润是 100（5x1错误错误! !)元。（1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3 000 元，求x的取值范围；（2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润。解（1)根据题意得200（5x1错误错误! !)3 000，22整理得 5x14错误错误! !0，即 5x14x30，又 1x10，可解得 3x10。即要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3 000 元,x的取值范围是3，10.(2)设利润为y元,则2y错误错误! !100错误错误! !910错误错误! !910错误错误! !，故当x6 时,ymax457 500 元.即甲厂以 6 千克/小时的生产速度生产 900 千克该产品时获得的利润最大，最大利润为 457500 元。44一、必做题1。（教材改编）不等式3x5x40 的解集为_。解析原不等式变形为 3x5x40。因为（5) 434230，所以 3x5x40 无解。由函数y3x5x4 的图象可知 3x5x40 的解集为 。答案2。（教材改编）不等式错误错误! !0 的解集为_。解析原不等式等价于错误错误! !即错误错误! !即错误错误! !x1.故原不等式的解集为错误错误! !.答案错误错误! !3.若集合Axaxax10 ，则实数a的取值范围是_。解析由题意知a0 时,满足条件。当a0 时,由错误错误! !得 0a4，所以 0a4。答案0,422222224.(2017南京三模)记不等式xx60 的解集为集合A，函数ylg(xa)的定义域为集合B.若“xA”是“xB的充分条件，则实数a的取值范围为_.解析由题意得A(3，2），B（a，),AB,a3.答案（，35.若关于x的不等式x2ax8a0)的解集为 (x1,x2），且x2x115，则a_。解析由x2ax8a0，得（x2a)（x4a)0,因为a0，所以不等式的解集为(2a，4a)，即x24a,x12a，由x2x115，得 4a（2a）15,解得a错误错误! !.答案5222222226。已知不等式axbx10 的解集是错误错误! !，则不等式xbxa0 的解集是_。解析由题意知错误错误! !,错误错误! !是方程axbx10 的根，所以由根与系数的关系得错误错误! !错误错误! !错误错误! !，错误错误! !错误错误! !错误错误! !。解得a6，b5，不等式xbxa0 即为x5x60,解集为（2,3)。答案(2，3）7。某商家一月份至五月份累计销售额达 3 860 万元,预测六月份销售额为 500 万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达 7 000 万元，则x的最小值是_.解析由题意得,3 860500500（1x)500(1x) 27 000,化简得(x） 3x0.640，解得x0。2，若x3。2(舍去）。x20，即x的最小值为 20。答案208.若不等式2x2axa1 有唯一解，则a的值为_解析若不等式2x2axa1 有唯一解，则x2axa1 有两个相等的实根，22222222所以4a4（a1）0,解得a错误错误! !.答案错误错误! !9。已知f（x）错误错误! !则不等式f(xx1）12 的解集是_.解析由题意得当x0 时，f（x)0，且f(x)单调递增；当x0 时,f(x）0，且f（x)单调递增，因为 0 00 0，所以f(x）在 R R 上单调递增，又f（3）12，所以2222f（x2x1)12f(x2x1）f(3)x2x131x2。答案（1,2）10。已知关于x的不等式错误错误! !1。(1)当a1 时，解该不等式;（2）当a为任意实数时,解该不等式。解(1）当a1 时,不等式化为错误错误! !1，化为错误错误! !0,所以 1x2,解集为x|1x2。（2）由错误错误! !1,得错误错误! !0,即（ax2)(x1）0。当错误错误! !1,即a2 时，解集为 ；当错误错误! !1，即 0a2 时,解集为错误错误! !；当错误错误! !2 时，解集为错误错误! !；当a0 时，解集为xx1；当a0 时，解集为错误错误! !。二、选做题11.解关于x的不等式ax（2a1）x20（aR R）。解原不等式可化为(ax1)(x2）0。(1)当a0 时，原不等式可以化为a(x2)错误错误! !0，根据不等式的性质，这个不等式等价于（x2）错误错误! !0.因为方程(x2)错误错误! !0 的两个根分别是 2，错误错误! !，所以当 0a错误错误! !时，2错误错误! !，则原不等式的解集是错误错误! !;当a错误错误! !时，原不等式的解集是 ；1当a 时,错误错误! !2，则原不等式的解集是错误错误! !.2（2)当a0 时,原不等式为（x2)0，解得x2，即原不等式的解集是xx2.2（3)当a0 时,原不等式可以化为a(x2）错误错误! !0,根据不等式的性质，这个不等式等价于（x2）错误错误! !0，由于错误错误! !2，故原不等式的解集是错误错误! !。综上所述，当a0 时，不等式的解集为错误错误! !；1当a0 时，不等式的解集为x|x2；当 0a 时，不等式的解集为错误错误! !；当a错误错误! !2时，不等式的解集为；当a错误错误! !时，不等式的解集为错误错误! !.12.(扬州市 2018 届高三上学期期中）函数f(x）log3（x2x8）的定义域为A，函数g（x)x（m1)xm.(1)若m4 时,g(x）0 的解集为B，求AB；（2)若存在x错误错误! !使得不等式g（x)1 成立，求实数m的取值范围。解（1）由x2x80，解得x4 或x2,则A(，4）（2，)，若m4，g（x)x3x4,由x3x40,解得1x4，则B1，4，所以AB(2，4.（2)存在x错误错误! !使得不等式x（m1）xm1 成立,即存在x错误错误! !，使得不等式222222m错误错误! !成立，所以m错误错误! !错误错误! !，x2x1因为x错误错误! !x1错误错误! !11，当且仅当x11，即x0 时取得等号，所以x1m1，解得m1。即实数m的取值范围是（，1.尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。This article is collected and compiled by my colleagues and I in ourbusy schedule. 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