(浙江专版)2018年高中物理 第十一章 机械振动 第2节 简谐运动的描述学案 新人教版选修3-4.pdf
第第 2 2 节节 简谐运动的描述简谐运动的描述描述简谐运动的物理量探新知基础练1振幅(1)定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，用A表示。(2)物理意义：表示振动的强弱，是标量.2全振动类似于OBOCO的一个完整振动过程.3周期(T）和频率（f)周期做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间秒（s）频率单位时间内完成全振动的次数赫兹（Hz)定义单位物理含义关系式表示物体振动快慢的物理量T错误错误! !4相位描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态.辨是非(对的划“，错的划“)1简谐运动的振幅大,振动物体的周期一定大。（)2简谐运动的振幅大，振动物体的最大位移一定大.（）3简谐运动的快慢可以用频率和振幅来描述.(）释疑难对点练1对全振动的理解正确理解全振动的概念，应注意把握振动的五种特征：(1)振动特征:一个完整的振动过程.（2)物理量特征：位移（x)、加速度（a)、速度（v）三者第一次同时与初始状态相同。（3)时间特征：历时一个周期.(4）路程特征：振幅的 4 倍。(5)相位特征：增加 2。2简谐运动中振幅和几个常见量的关系(1）振幅和振动系统的能量关系：对一确定的振动系统来说，系统能量仅由振幅决定,振幅越大，振动系统能量越大。（2)振幅与位移的关系：振动中的位移是矢量，振幅是标量，在数值上，振幅与某一时刻位移的大小可能相等，但在同一简谐运动中振幅是确定的,而位移随时间做周期性的变化。（3）振幅与路程的关系:振动中的路程是标量，是随时间不断增大的，其中常用的定量关系 -一个周期内的路程为 4 倍的振幅，半个周期内的路程为 2 倍的振幅.（4)振幅与周期的关系:在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期（或频率)是固定的，与振幅无关.3弹簧振子四分之一周期内的路程一质点做简谐运动的位移图象如图甲所示.O是平衡位最大位移处，用A表示振幅，T表示周期，s表示 时间内经4置，B、C均为过的路程。T(1)质点从位置P向平衡位置O运动,然后经过O点运动至Q点，假设从P到Q历时错误错误! !,那么在这段时间内质点运动的路程如何？比较质点由B到O的运动和由P到Q的运动，注意到PO段的运动是相同的；再来比较BP段和OQ段的运动，发现BP段质点运动得慢一些，OQ段质点运动得快一些,而两段运动的时间是相同的,所以错误错误! !错误错误! !。故质点从P运动到Q的路程大于从B运动到O的路程,即sA。（2)质点从Q点向位置C处运动，然后再从C往回运时间也是错误错误! !，如图乙所示，那么在这段时间内质点运动动至M,假设运动的路程 如何？ 比较质点从O至C的运动和从Q到C再到M的运动，注意到QC段的运动是相同的，只需比较OQ段和CM段的运动，容易知道质点在OQ段比CM段运动得快，而运动时间相同，所以错误错误! !错误错误! !.故质点从Q运动到C再到M的路程小于从O运动到C的路程，即sA。（3）连续观察质点从P到Q，再经C到M的过程。若运动的总时间为 ,容易证明，M和P2关于平衡位置O对称，质点通过的总路程为 2A。综上分析，可得到结论:做简谐运动的质点，在向平衡位置运动的过程中，取某一位置开始计时，质点在错误错误! !时间内通过的路程sA；在远离平衡位置的过程中，取某一位置开始计时，质点在错误错误! !时间内通过的路程sA；而如果计时起点就选在最大位移处或者平衡位置，那么质点在错误错误! !时间内通过的路程sA。特别提醒简谐运动的振幅大,振动物体的位移不一定大，但其最大位移一定大.试身手1一竖直悬挂的弹簧振子，下端装有一记录笔，在一记录纸.当振子上下振动时，以速率v水平向左匀速拉在纸上留下如图所示的图象。y1、y2、x0、2x0为纸上印迹此图求得，振动的周期为_和振幅为_.解析：由图象可知，振子在一个周期内沿x方向的位移为 2x0,水平速度为v，故周期T2x0竖直面内放置有动记录纸,记录笔的位置坐标。由Tv;又由图象知 2Ay1y2，故振幅A错误错误! !。答案:错误错误! !错误错误! !简谐运动的表达式探新知基础练简谐运动的一般表达式为xAsin（t)（1)x表示振动物体相对于平衡位置的位移。(2）A表示简谐运动的振幅。（3)是一个与频率成正比的量，表示简谐运动的快慢，错误错误! !2f。(4)t代表简谐运动的相位,表示t0 时的相位，叫做初相。辨是非（对的划“，错的划“”)1做简谐运动的质点先后通过同一点，速度、加速度、位移都是相同的。(）2做简谐运动的质点，速度增大时，其加速度一定减小。()3做简谐运动的质点，位移增大时，其速度一定减小。（)释疑难对点练1简谐运动的表达式理解做简谐运动的物体位移x随时间t变化的表达式：xAsin（t）, 由简谐运动的表达式可以直接读出振幅A、圆频率和初相.据错误错误! !或2f可求周期T或频率f,可以求某一时刻质点的位移x。2简谐运动的相位及相位差的理解（1)t表示相位，描述做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态，是描述不同振动的振动步调的物理量。它是一个随时间变化的量,相当于一个角度，相位每增加2，意味着物体完成了一次全振动.(2）相位差是指两个相位之差，在实际应用中经常用到的是两个具有相同频率的简谐运动的相位差，它反映出两个简谐运动的步调差异。设两频率相同的简谐运动的振动方程分别为x1A1sin(t1）,x2A2sin(t2），它们的相位差 (t2）（t1）21。可见,其相位差恰好等于它们的初相之差，因为初相是确定的，所以频率相同的两个简谐运动有确定的相位差.（3）若 210,则称B的相位比A的相位超前 或A的相位比B的相位落后 ； 若 210,则称B的相位比A的相位落后|或A的相位比B的相位超前|。同相：表明两个振动物体步调相同，相差位 0；反相：表明两个振动物体步调完全相反，相位差 。试身手2两个简谐运动的表达式分别为x14asin(4bt求它们的振幅之比，各自的频率。解析:它们的振幅之比错误错误! !错误错误! !错误错误! !;它们的频率相同，都是f错误错误! !错误错误! !2b。答案：21频率均为 2b），x22asin（4bt错误错误! !)。2描述简谐运动的物理量典例 1弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点间做简谐运动，B、C相距 20 cm，某时刻振子处于B点，经过 0。5 s,振子首次到达C点，求：(1)振子的振幅;（2）振子的周期和频率;(3）振子在 5 s 内通过的路程及位移大小.思路点拨对做简谐运动的弹簧振子而言，离平衡位置最远的两个点关于平衡位置对称,其距离为 2A。一个全振动的时间叫做周期，周期和频率互为倒数关系。简谐运动的位移是振子离开平衡位置的距离。要注意各物理量之间的区别与联系。解析（1)设振幅为A,则有 2ABC20 cm,所以A10 cm。（2)从B首次到C的时间为周期的一半，因此T2t1 s；再根据周期和频率的关系可得f错误错误! !1 Hz。(3）振子一个周期通过的路程为 4A40 cm,即一个周期运动的路程为 40 cm,s错误错误! !4A540 cm200 cm5 s 的时间为 5 个周期,又回到起始点B，位移大小为 10 cm.答案(1）10 cm(2)1 s1 Hz(3)200 cm10 cm(1）求振动物体在一段时间内通过路程的依据：振动物体在一个周期内通过的路程一定为四个振幅，则在n个周期内通过的路程必为n4A；振动物体在半个周期内通过的路程一定为两倍振幅；振动物体在错误错误! !内通过的路程可能等于一倍振幅，还可能大于或小于一倍振幅，只有当初始时刻在平衡位置或最大位移处时，错误错误! !内通过的路程才等于振幅。（2)计算路程的方法是:先判断所求时间内有几个周期,再依据上述规律求路程.简谐运动的周期性和对称性问题1。周期性做简谐运动的物体经过一个周期或几个周期后，能回复到原来的状态.2对称性如图所示,物体在A和B之间运动，O点为平衡位于O点对称，则：（1)时间的对称振动质点来回通过相同的两点间经过的时间相等，如tDBtBD；质点经过关于平衡位置对称的等长的两线段时间相等，图中tOBtBOtOAtAO，tODtDOtOCtCO。（2）速度的对称物体连续两次经过同一点（如D点)的速度大小相等，方向相反;物体经过关于O点对称的两点(如C与D)的速度大小相等,方向可能相同，也可能相反。典例 2一个质点在平衡位置O点的附近做简谐运动，它离开O点运动后经过 3 s 时间第一次经过M点，再经过 2 s 第二次经过M点，该质点再经过_s 第三次经过M点。若该质点由O点出发在 20 s 内经过的路程是 20 cm，则质点做振动的振幅为_ cm。思路点拨根据简谐运动的周期性和对称性分析解决问题。解析作出该质点做振动的图象如图所示,则M点的位置可能有两个,即如图所示的M1或M2。置，C和D两点关第一种情况：若是位置M1，由题图可知错误错误! !3 s1 s4 s,T116 s，根据简谐运动的周期性，质点第三次经过M1时所需时间为一个周期减第二次经过M点的时间，故 t116s2 s14 s.质点在 20 s 内(即n错误错误! !错误错误! !个周期）的路程为 20 cm，故由 5A120 cm，得振幅A14 cm。第二种情况：若是位置M2，由题图可知错误错误! !3 s1 s4 s，T2错误错误! ! s。根据对称性，质点第三次经过M2时所需时间为一个周期减第二次经过M点的时间，故t2错误错误! ! s2 s错误错误! ! s。质点在 20 s 内（即n错误错误! !错误错误! !个周期内）的路程为 20 cm,故由 15A220 cm，得振4幅A2 cm。3答案144 或错误错误! !错误错误! !简谐运动是一种周而复始的周期性的运动，按其周期性可作如下判断：(1)若t2t1nT，则t1、t2两时刻振动物体在同一位置，运动情况相同。(2)若t2t1nT错误错误! !T，则t1、t2两时刻，描述运动的物理量（x、F、a、v）均大小相等，方向相反。(3）若t2t1nT错误错误! !T或t2t1nT错误错误! !T，则当t1时刻物体到达最大位移处时,t2时刻物体到达平衡位置;当t1时刻物体在平衡位置时,t2时刻到达最大位移处；若t1时刻物体在其他位置,t2时刻物体到达何处就要视具体情况而定。课堂对点巩固1如图所示，弹簧振子在BC间振动，O为平衡位置,BOOC5 cm，若振子从B到C的运动时间为 1 s,则下列说法正确的是（)A振子从B经O到C完成一次全振动B振动周期是 1 s，振幅是 10 cmC经过两次全振动，振子通过的路程是 20 cmD从B开始经过 3 s，振子通过的路程是 30 cm解析:选 D振子从BOC仅完成了半次全振动,所以周期T21 s2 s，振幅ABO5 cm，A、B 错误;振子在一次全振动中通过的路程为 4A20 cm，所以两次全振动振子通过的路程为 40 cm，C 错误；3 s 的时间为 1.5T，所以振子通过的路程为 30 cm，D 正确。2一弹簧振子做简谐运动,周期为T，下列说法正确的是（）A若t时刻和（tt）时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则 t一定等于T的整数倍B若t时刻和(tt）时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则t一定等于错误错误! !的整数倍C若 tT，则在t时刻和(tt)时刻振子运动的加速度一定相等D若 t错误错误! !，则在t时刻和（tt）时刻弹簧的长度一定相等解析：选 C对选项 A,只能说明这两个时刻振子处于同一位置，设为同，t可以是P,如图所示，并未说明这两个时刻振子的运动方向是否相振子由P向B再回到P的时间，故认为 t一定等于T的整数倍是错误的;对选项 B，振子两次到P位置时速度大小相等、方向相反，但并不能肯定 t等于错误错误! !的整数倍，选项 B 也是错误的；在相隔一个周期T的两个时刻,振子只能位于同一位置，其位移相同,合外力相同，加速度必须相等，选项 C 是正确的；相隔错误错误! !的两个时刻,振子的位移大小相等、方向相反，其位置可位于与P相对称的P处，在P处弹簧处于伸长状态，在P处弹簧处于压缩状态，弹簧长度并不相等，选项 D 是错误的。3(浙江高考)一位游客在千岛湖边欲乘坐游船，当日风浪较大，游船上下浮动。可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动,振幅为 20 cm，周期为 3.0 s。当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐。地面与甲板的高度差不超过 10 cm 时，游客能舒服地登船。在一个周期内，游客能舒服登船的时间是()A0。5 sC1.0 s B0。75 s D1。5 s解析：选 C由于振幅A为 20 cm,振动方程为yAsint(从游船位于平衡位置时开始计时，错误错误! !），由于高度差不超过 10 cm 时，游客能舒服登船，代入数据可知，在一个振动周期内，临界时刻为t1错误错误! !,t2错误错误! !，所以在一个周期内能舒服登船的时间为 tt2t1错误错误! !1.0 s，选项 C 正确。4弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，在t0 时刻，振子从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t0.2 s 时,振子速度第一次变为v；在t0.5 s 时，振子速度第二次变为v。(1)求弹簧振子振动周期T;(2）若B、C之间的距离为 25 cm，求振子在 4.0 s 内通过的路程;（3)若B、C之间的距离为 25 cm.从平衡位置计时，写出弹簧振子的位移表达式，并画出弹簧振子的振动图象。解析： (1）弹簧振子做简谐运动的示意图如图甲所示。由对称性可得：T错误错误! !s41。0 s。（2）B、C间的距离为 2 个振幅，则振幅A错误错误! !25 cm12。5 cm.振子 4.0 s 内通过的路程为：s错误错误! !412。5 cm200 cm.(3）根据xAsint，A12.5 cm，错误错误! !2。得x12。5sin 2t cm。振动图象如图乙所示。答案：(1）1.0 s(2）200 cm（3）x12.5sin 2t cm图象见解析图错误错误! !课堂小结错误错误! !课时跟踪检测二一、单项选择题1.如图所示，弹簧振子以O为平衡位置在BC间做简谐运动，则（A从BOC为一次全振动B从OBOC为一次全振动C从COBOC为一次全振动)D从DCOBO为一次全振动解析：选 C由全振动的概念可知 C 正确。2.如图所示,弹簧振子的频率为 5 Hz，让振子从B位置计时，则经过 0。12 s 时（）A振子位于BO之间，运动方向向右B振子位于BO之间,运动方向向左C振子位于CO之间，运动方向向右D振子位于CO之间，运动方向向左解析:选 C因弹簧振子频率为 5 Hz，则周期为 0.2 s，题中所给的时间 0.12 s错误错误! !TT，而错误错误! !错误错误! !T错误错误! !T，因此在 0.12 s 时,振子应位于CO之间且正向右运动，所以选项 C 正确，A、B、D 错误.3有一个在光滑水平面内的弹簧振子，第一次用力把弹簧压缩x后释放让它振动，第二次把弹簧压缩 2x(弹性限度内)后释放让它振动，则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为（）A11,11C14,14 B11,12 D12，12开始振动 ,并开始解析：选 B弹簧的压缩量即为弹簧振子振动过程中偏离平衡位置的最大距离，即振幅，故振幅之比为 12。而对同一振动系统，其周期由振动系统自身的性质决定，与振幅无关,则周期之比为 11，选项 B 正确。4周期为 2 s 的简谐运动，在半分钟内通过的路程是 60 cm，则在此时间内振子经过平衡位置的次数和振子的振幅分别为()A15 次，2 cmC15 次,1 cm B30 次，1 cm D60 次,2 cm解析：选 B已知该简谐运动的周期为 2 s，半分钟为 15 个周期,一个周期的路程为 4 倍的振幅，故半分钟内振子经过平衡位置的次数为 30 次；15 个周期的路程为 60A，即 60A60cm,故A1 cm，B 正确。5。物体做简谐运动，其图象如图所示，在t1和t2两时(）A相位相同B位移相同刻 ， 物 体 的C速度相同D加速度相同解析:选 C由题图可知物体做简谐运动的振动方程为xAsint,其相位为t，故t1与t2的相位不同，A 错；t1时刻位移大于零，t2时刻位移小于零，B、D 错；由振动图象知t1、t2时刻物体所处位置关于平衡位置对称，速率相同，且均向下振动，方向相同，C 对。6如图所示，在光滑水平面上振动的弹簧振子的平子拉到A点，OA1 cm，然后释放振子，经过 0。2 s 振衡位置为O，把振子第 1 次到达O点,如果把振子拉到A点，OA2 cm，则释放振子后,振子第 1 次到达O点所需的时间为（）A0.2 s B0。4 s C0。1 s D0。3 s解析：选 A简谐运动的周期只跟振动系统本身的性质有关，与振幅无关，两种情况下振子第 1 次到达平衡位置所需的时间都是振动周期的错误错误! !，即 0.2 s，A 正确。二、多项选择题7下列关于简谐运动的振幅、周期和频率的说法正确的是(）A振幅是矢量，方向从平衡位置指向最大位移处B周期和频率的乘积是一个常数C振幅增加，周期必然增加，而频率减小D做简谐运动的物体，其频率固定，与振幅无关解析：选 BD振幅是标量，A 错误;周期和频率互为倒数，即Tf1，B 正确；简谐运动的周期、频率由系统本身决定，与振幅没有关系，所以 C 错误，D 正确。8一个质点做简谐运动的图象如图所示，下列说法正确的是(）A质点振动频率为 4 HzB在 10 s 内质点经过的路程为 20 cm3C在 5 s 末，质点做简谐运动的相位为 2Dt1。5 s 和t4.5 s 两时刻质点的位移大小相等，都是错误错误! ! cm解析：选 BD由题图知T4 s 故f0.25 Hz，A 错；在 10 s 内质点完成的全振动次数为n错误错误! !错误错误! !次,在一次全振动过程中质点通过的路程为 4A8 cm，故 10 s 内通过的路程为错误错误! !8 cm20 cm，B 对；5 s 末质点的相位为错误错误! !t错误错误! !5错误错误! !，故 C 错；由振动方程xAsin错误错误! !t2sin错误错误! !t知，当t11。5 s 时,x1错误错误! ! cm，当t24。5 s时，x2错误错误! ! cm，故 D 对.9弹簧振子在AOB之间做简谐运动，O为平衡位置，测得A、B之间的距离为 8 cm，完成 30 次全振动所用时间为 60 s，则(）A振子的振动周期是 2 s，振幅是 8 cmB振子的振动频率是 2 HzC振子完成一次全振动通过的路程是 16 cmD振子通过O点时开始计时，3 s 内通过的路程为 24 cm解析：CD由题干知A、B之间的距离为 8 cm,则A4 cm，A 错;周期T错误错误! ! s2 s，所以振子的振动频率为f错误错误! ! Hz0。5 Hz，B 错；振子完成一次全振动所通过的路程为 4个振幅，即 4A16 cm，C 对；3 s 内通过的路程是 6 个振幅,即 6A24 cm，D 对.10。如图所示，弹簧振子的小球在B、C之间做简谐运的中点，B、C间的距离为 10 cm,则下列说法中正确的是（)A小球的最大位移是 10 cmB只有在B、C两点时,小球的振幅是 5 cm，在O点时，小球的振幅是零C无论小球在哪一位置，它的振幅都是 5 cmD从任意时刻起，一个周期内小球经过的路程都是 20 cm解析：选 CD小球的最大位移是 5 cm，故 A 错误;振幅是小球离开平衡位置的最大距离，即小球在任何位置时振幅都是 5 cm，故 B 错误，C 正确；从任意时刻起小球在一个周期内的路程为 4A45 cm20 cm，故 D 正确。11一质点做简谐运动的位移x与时间t的关系如知（)A频率是 2 HzB振幅是 5 cmCt1。7 s 时的加速度为正，速度为负Dt0。5 s 时质点所受的合外力为零解析：选 CD由题图可知,质点振动的周期为 2.0 s，易得频率为 0。5 Hz。振幅为 5m,A、B 选项错误；t1。7 s 时的位移为负，加速度为正，速度为负，C 选项正确;t0。5 s图所示，由图可动，O为B、C间时质点在平衡位置，所受的合外力为零，D 选项正确。三、非选择题12一物体沿x轴做简谐运动，振幅为 8 cm，频率为 0.5 Hz，在t0 时,位移是4 cm，且向x轴负方向运动。(1）试写出用正弦函数表示的振动方程。（2）10 s 内通过的路程是多少？解析：(1)简谐运动振动方程的一般表示式为xAsin（t）。根据题目条件，有：A0.08 m,2f.所以x0.08sin（t)m。将t0，x0.04 m，代入得004 m0。08sin m,解得初相位错误错误! !或错误错误! !，因为t0 时，速度方向沿x轴负方向，即位移在减小,所以取错误错误! !.故所求的振动方程为x0。08sin（t错误错误! !)m.1(2）周期T 2 s，所以f10 s5T，因 1T内的路程是 4A,则 10 s 内通过的路程s54A208 cm160 cm。答案:（1）x0.08sin(t错误错误! !)m（2)160 cm尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。This article is collected and compiled by my colleagues and I in ourbusy schedule. 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