(浙江专版)2019版高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何学案.pdf

第八章第八章 平面解析几何平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程1直线的倾斜角（1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0。（2）范围:直线l倾斜角的取值范围是0，）2斜率公式（1)直线l的倾斜角为（错误错误! !），则斜率ktan_.（2)P1（x1，y1）,P2（x2，y2)在直线l上，且x1x2，则l的斜率k错误错误! !。3直线方程的五种形式名称斜截式几何条件纵截距、斜率过一点、斜率过两点方程适用范围ykxb与x轴不垂直的直线点斜式yy0k(xx0)yy1错误错误! !y2y1错误错误! !错误错误! !1两点式与两坐标轴均不垂直的直线不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线所有直线截距式纵、横截距一般式AxByC0（AB0）224线段的中点坐标公式若点P1,P2的坐标分别为(x1,y1),(x2，y2),线段P1P2的中点M的坐标为（x，y)，则错误错误! !此公式为线段P1P2的中点坐标公式小题体验1若过点M（1,m)，N（m1，4）的直线的斜率等于 1，则m的值为（）1A1B。2C21D。3解析：选 A由错误错误! !1，得m1.故选 A.2直线 3x 3y10 的倾斜角为()A30C120B60D135解析：选 B直线方程可变形为y 3x错误错误! !，tan错误错误! !，0180，60.故选 B。3（2018嘉兴检测）直线l1：xy20 在x轴上的截距为_；若将l1绕它与y轴的交点顺时针旋转 90，则所得到的直线l2的方程为_解析：对于直线l1：xy20,令y0,得x2，即直线l1在x轴上的截距为2；令x0,得y2，即l1与y轴的交点为(0，2）,直线l1的倾斜角为 135，直线l2的倾斜角为 1359045，l2的斜率为 1，故l2的方程为yx2，即xy20.答案：2xy201点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x，y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线2截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零 ,在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零3求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时 ,应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论小题纠偏1过点（5，2)，且在y轴上的截距是在x轴上的截距 2 倍的直线方程是(）A2xy120B2xy120 或 2x5y0Cx2y10Dx2y10 或 2x5y0解析：选 B当直线过原点时所求方程为 2x5y0；当直线不过原点时，可设其截距式为错误错误! !错误错误! !1，由该直线过点（5，2),解得a6，对应方程为错误错误! !错误错误! !1，即 2xy120，故选 B。2过点（5,10）,且到原点的距离为 5 的直线方程是_解析：当斜率不存在时，所求直线方程为x50 满足题意；当斜率存在时,设其为k，则所求直线方程为y10k(x5），即kxy105k0.由距离公式,得错误错误! !5，解得k错误错误! !.故所求直线方程为 3x4y250。综上知，所求直线方程为x50 或 3x4y250。答案：x50 或 3x4y250错误错误! !错误错误! ! 题组练透1设直线axbyc0 的倾斜角为,且 sincos0，则a,b满足（）Aab1Bab1Cab0Dab0解析：选 D由题意得 sincos，显然 cos0，则 tan1, 1，ab，ab0.2经过P(0，1)作直线l，若直线l与连接A(1，2),B（2，1)的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角的取值范围分别为_，_.解析：如图所示，结合图形，若l与线段AB总有公共点,则abkPAkkPB，而kPB0，kPA0，故k0 时,倾斜角为钝0，k0 时，为锐角又kPA错误错误! !1，11kPB201,1k1.角，k0 时，又当 0k1 时，0错误错误! !；当1k0 时，错误错误! !.故倾斜角的取值范围为错误错误! !错误错误! !。答案：1，1错误错误! !错误错误! !3若A(2，2）,B(a，0),C(0，b）(ab0）三点共线,求错误错误! !错误错误! !的值解：kAB错误错误! !错误错误! !，kAC错误错误! !错误错误! !，且A，B,C三点共线，kABkAC，即错误错误! !错误错误! !，整理得ab2(ab)，将该等式两边同除以 2ab得错误错误! !错误错误! !错误错误! !.谨记通法1倾斜角与斜率的关系当错误错误! !且由 0 增大到错误错误! !错误错误! !时,k的值由 0 增大到。当错误错误! !时，k也是关于的单调函数，当在此区间内由错误错误! !错误错误! !增大到 （）时，k的值由趋近于 0（k0)2斜率的 3 种求法（1)定义法：若已知直线的倾斜角或的某种三角函数值，一般根据ktan求斜率（2)公式法：若已知直线上两点A（x1，y1），B(x2,y2)，一般根据斜率公式k错误错误! !（x1x2)求斜率（3)方程法：若已知直线的方程为AxByC0（B0），则l的斜率k错误错误! !.错误错误! !错误错误! !典例引领求适合下列条件的直线方程：(1）经过点（4，1），且在两坐标轴上的截距相等;(2)经过点(1，3），倾斜角等于直线y3x的倾斜角的 2 倍;（3)经过点（3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形解：（1)设直线方程在x，y轴上的截距均为a,若a0，即直线方程过点(0，0)和（4，1），直线方程为y错误错误! !x，即x4y0；若a0，则设直线方程为错误错误! !错误错误! !1，直线方程过点（4，1)，错误错误! !错误错误! !1,解得a5，直线方程为xy50.综上可知，所求直线的方程为x4y0 或xy50.(2）由已知,设直线y3x的倾斜角为 ,则所求直线的倾斜角为 2。tan3，tan 2错误错误! !错误错误! !。又直线经过点(1，3),因此所求直线方程为y3错误错误! !(x1），即 3x4y150。(3）由题意可知，所求直线的斜率为1。又过点(3,4)，由点斜式得y4（x3）即所求直线的方程为xy10 或xy70.由题悟法求直线方程的 2 个注意点(1）在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件（2）对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用 (若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零）即时应用求倾斜角是直线y错误错误! !x1 的倾斜角的错误错误! !，且分别满足下列条件的直线方程：(1）经过点（错误错误! !，1）;（2）在y轴上的截距是5。解：直线y 3x1 的倾斜角120。所求直线的倾斜角为 30,即斜率k错误错误! !。(1)所求直线方程为y1错误错误! !（x错误错误! !），即 3x3y60。(2)所求直线方程为y错误错误! !x5，即错误错误! !x3y150.考点三直线方程的综合应用错误错误! !锁定考向直线方程的综合应用是常考内容之一，它常与函数、导数、不等式、圆相结合，命题多为客观题常见的命题角度有:(1）与基本不等式相结合的最值问题;(2）与导数的几何意义相结合的问题;(3)由直线方程解决参数问题题点全练角度一：与基本不等式相结合的最值问题1过点P(2,1）作直线l，与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，求：(1）AOB面积的最小值及此时直线l的方程;（2)直线l在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l的方程；（3）|PA|PB的最小值及此时直线l的方程解：（1）设直线l的方程为y1k(x2)，则可得A错误错误! !，B（0，12k)直线l与x轴,y轴正半轴分别交于A，B两点，错误错误! !得k0.S AOB错误错误! !|OA|OB错误错误! !错误错误! !（12k)1错误错误! !错误错误! !错误错误! !24，当且仅当错误错误! !4k，11即k 时,AOB的面积有最小值 4，此时直线l的方程为y1 (x2），即x222y40.(2）A错误错误! !，B（0，12k)（k0)，截距之和为 2错误错误! !12k32k错误错误! !32错误错误! !32错误错误! !,当且仅当2k错误错误! !，即k错误错误! !时等号成立故截距之和的最小值为 32错误错误! !，此时直线l的方程为y1错误错误! !（x2),即x 2y错误错误! !20.(3)A错误错误! !，B(0,12k)（k0)，|PAPB|错误错误! !错误错误! !2错误错误! !4，当且仅当k错误错误! !,即k1 时上式等号成立故PA|PB的最小值为 4,此时直线l的方程为y1（x2)，即xy30.角度二：与导数的几何意义相结合的问题2设P为曲线C:yx2x3 上的点,且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为错误错误! !，则点P横坐标的取值范围为（)2A。错误错误! !C0，1B.错误错误! !D.错误错误! !解析：选 A由题意知y2x2，设P（x0,y0），则k2x02。因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为错误错误! !，所以 0k1，即 02x021,故1x0错误错误! !.角度三：由直线方程解决参数问题3已知直线l1：ax2y2a4，l2:2xa y2a4,当 0a2 时,直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值解:由题意知直线l1，l2恒过定点P（2，2),直线l1在y轴上的截距为 2a,直线l2在x轴上的截距为a2,所以四边形的面积S错误错误! !(2a）2错误错误! !（a2）2aa4错误错误! !错误错误! !，当a错误错误! !时,四边形的面积最小，故a错误错误! !.通法在握处理直线方程综合应用的 2 大策略（1)含有参数的直线方程可看作直线系方程,这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”(2)求解与直线方程有关的最值问题 ,先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值演练冲关1设mR，过定点A的动直线xmy0 和过定点B的动直线mxym30 交于点222222P(x，y)，则|PA|PB|的最大值是_解析：易求定点A（0,0），B（1,3）当P与A和B均不重合时,因为P为直线xmy0 与mxym30 的交点，且易知两直线垂直，则PAPB，所以PA| |PB22|AB 10，所以|PA|PB错误错误! !5（当且仅当PAPB错误错误! !时，等号成立)，当P与A或B重合时，PA|PB0，故|PAPB的最大值是 5。答案:52已知直线l：kxy12k0（kR）(1）证明：直线l过定点；(2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围;（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B,O为坐标原点，设AOB的面积为S,求S的最小值及此时直线l的方程解：(1)证明：直线l的方程可化为yk（x2）1，故无论k取何值,直线l总过定点(2,1）（2）直线l的方程为ykx2k1，则直线l在y轴上的截距为 2k1，要使直线l不经过第四象限，则错误错误! !解得k0，故k的取值范围为错误错误! !。（3）依题意，直线l在x轴上的截距为错误错误! !，在y轴上的截距为 12k，A错误错误! !，B(0，12k）又错误错误! !0 且 12k0，k0.故S错误错误! !|OA|OB错误错误! !错误错误! !(12k）错误错误! !错误错误! !错误错误! !(44）4,当且仅当 4k错误错误! !，即k错误错误! !时取等号故S的最小值为 4，此时直线l的方程为x2y40。2一抓基础，多练小题做到眼疾手快1直线l:xsin 30ycos 15010 的斜率是()A.错误错误! !C错误错误! !B.错误错误! !D错误错误! !解析:选 A设直线l的斜率为k，则k错误错误! !错误错误! !。2倾斜角为 135，在y轴上的截距为1 的直线方程是（）Axy10Cxy10Bxy10Dxy10解析:选 D直线的斜率为ktan 1351，所以直线方程为yx1,即xy10。3(2018湖州质检）若直线l与直线y1，x7 分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为（1，1)，则直线l的斜率为(）1A.3C错误错误! !1B3D.错误错误! !解析：选 B依题意，设点P（a，1），Q（7，b），则有错误错误! !解得a5，b3，从而可得直线l的斜率为错误错误! !错误错误! !.4.如图中的直线l1,l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3,Ak1k2k3Bk3k1k2Ck3k2k1Dk1k3k2解析：选 D直线l1的倾斜角1是钝角，故k10，直线l2与l3的倾斜角2与3均为锐角且23，所以 0k3k2，因此k1k3k2，故选 D.5（2018豫西五校联考 )曲线yxx5 上各点处的切线的倾斜角的取值范围为_解析:设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为（0，)），因为y3x11，所以 tan1,结合正切函数的图象可知，23则（）的取值范围为错误错误! !错误错误! !.答案：错误错误! !错误错误! !二保高考，全练题型做到高考达标1直线x（a1）y10 的倾斜角的取值范围是()A.错误错误! !C.错误错误! !错误错误! !B。错误错误! !D。错误错误! !错误错误! !2解析:选 B由直线方程可得该直线的斜率为错误错误! !，又1错误错误! !0,所以倾斜角的取值范围是错误错误! !.2已知直线l的斜率为3，在y轴上的截距为另一条直线x2y40 的斜率的倒数，则直线l的方程为(）Ay错误错误! !x2Cy错误错误! !x错误错误! !By错误错误! !x2Dy错误错误! !x2解析：选 A直线x2y40 的斜率为错误错误! !，直线l在y轴上的截距为 2，直线l的方程为y 3x2，故选 A.3(2018温州五校联考）在同一平面直角坐标系中，直线l1:axyb0 和直线l2：bxya0 的图象可能是（)解析：选 B当a0，b0 时，a0，b0，选项 B 符合4若直线x2yb0 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于 1,那么b的取值范围是()A2，2C2，0）（0，2B(,22，）D（，）解析：选 C令x0，得y错误错误! !，令y0，得xb，所以所求三角形面积为错误错误! !错误错误! !b错误错误! !b,且b0，因为错误错误! !b1,所以22b24，所以b的取值范围是2，0)(0，25函数ya1x（a0，a1)的图象恒过定点A，若点A在mxny10(mn0)上，则错误错误! !错误错误! !的最小值为（)A2C8解析：选 B函数ya1xB4D1（a0，a1)的图象恒过定点A(1,1）把A（1,1)代入直线方程得mn1(mn0）错误错误! !错误错误! !错误错误! !(mn)2错误错误! !错误错误! !22错误错误! !4（当且仅当mn错误错误! !时取等号)，错误错误! !错误错误! !的最小值为 4.6(2018温州调研）已知三角形的三个顶点为A(5，0)，B（3，3),C（0，2）,则BC边上中线所在的直线方程为_解析：BC的中点坐标为错误错误! !，BC边上中线所在直线方程为错误错误! !错误错误! !,即x13y50。答案：x13y507直线l：（a2)x(a1）y60,则直线l恒过定点_解析：直线l的方程变形为a(xy）2xy60，由错误错误! !解得x2,y2，所以直线l恒过定点（2,2)答案：(2,2)8已知直线l过坐标原点,若直线l与线段 2xy8(2x3)有公共点，则直线l的斜率的取值范围是_解 析 ： 如 图 所 示 , 设 直 线l与 线 段 2xy共点为P（x,y）则点P（x,y)在线段AB上移动，且A(2，4)，设直线l的斜率为k。又kOA2，kOB错误错误! !.2可知 k2。3故直线l的斜率的取值范围是错误错误! !.答案：错误错误! !9已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为 3,分别求满足下列条件的直线l的方程:（1)过定点A(3，4);(2)斜率为错误错误! !。4解:(1)设直线l的方程为yk(x3)4，它在x轴，y轴上的截距分别是 3,3k8(2x3) 的 公B(3,2），k4，由已知，得（3k4)错误错误! !6，解得k1错误错误! !或k2错误错误! !。故直线l的方程为 2x3y60 或 8x3y120。(2）设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y错误错误! !xb,它在x轴上的截距是6b,由已知,得|6bb|6，b1.直线l的方程为x6y60 或x6y60。10。如图，射线OA,OB分别与x轴正半轴成 45和30 角 ， 过 点点C恰好落在直P(1,0）的直线AB分别交OA，OB于A，B两点,当AB的中线y错误错误! !x上时,求直线AB的方程解:由题意可得kOAtan 451，kOBtan（18030）错误错误! !，所以直线lOA:yx，lOB：y错误错误! !x.设A(m，m),B(错误错误! !n，n），所以AB的中点C错误错误! !,由点C在直线y错误错误! !x上，且A，P，B三点共线得错误错误! !解得m 3，所以A（错误错误! !,错误错误! !)又P(1，0）,所以kABkAP错误错误! !错误错误! !，所以lAB:y错误错误! !（x1)，即直线AB的方程为（3 3)x2y3错误错误! !0。三上台阶，自主选做志在冲刺名校1已知曲线y错误错误! !,则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为_解析：yxexe 1xx2错误错误! !，x因为 e 0，所以 e 错误错误! !2错误错误! !2（当且仅当 e 错误错误! !，即x0 时取等号)，所以1e x24，ex故y错误错误! !错误错误! !（当且仅当x0 时取等号)所以当x0 时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为错误错误! !,切线的方程为y1 错误错误! !(x0),即x4y20.该切线在x轴上的截距为 2，在y轴上的截距为错误错误! !，2所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S错误错误! !2错误错误! !错误错误! !。1答案：22.已知直线l过点P（3，2)，且与x轴、y轴的正半轴分两点，如图所示，当ABO的面积取最小值时，求直线l的方解：法一:设A(a,0），B（0，b)（a0,b0），则直线l的方程为错误错误! !错误错误! !1.因为l过点P（3,2），所以错误错误! !错误错误! !1。3因为 1 错误错误! !2错误错误! !，整理得ab24，别交于A，B程a所以SABO错误错误! !ab12，当且仅当错误错误! !错误错误! !，即a6,b4 时取等号此时直线l的方程是错误错误! !错误错误! !1，即 2x3y120。法二：依题意知,直线l的斜率k存在且k0,可设直线l的方程为y2k（x3)(k0)，则A错误错误! !，B（0，23k)，SABO错误错误! !(23k)错误错误! !错误错误! !错误错误! !错误错误! !错误错误! !错误错误! !（1212）12,当且仅当9k错误错误! !，即k错误错误! !时，等号成立所以所求直线l的方程为 2x3y120。第二节两条直线的位置关系1两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行：对于两条不重合的直线l1，l2,若其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2.当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1l2.（2)两条直线垂直：如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1,k2,则有l1l2k1k21.当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为 0 时，l1l2.2两条直线的交点的求法直线l1:A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则l1与l2的交点坐标就是方程组错误错误! !的解3三种距离公式P1（x1，y1）,P2（x2,y2)两点之间的距离点P0（x0，y0）到直线l：AxByC0 的距离平行线AxByC10 与AxByC20 间距离小题体验|P1P2错误错误! !d错误错误! !d错误错误! !1（2018金华四校联考）直线 2x(m1)y40 与直线mx3y20 平行，则m(）A2B3C2 或3D2 或3解析：选 C直线 2x（m1）y40 与直线mx3y20 平行，错误错误! !错误错误! !错误错误! !,解得m2 或3。2过两直线l1：x3y40 和l2：2xy50 的交点和原点的直线方程为()A19x9y0C19x3y0解析：选 D由错误错误! !得错误错误! !则所求直线方程为y错误错误! !x错误错误! !x，即 3x19y0。3（2018浙江五校联考)已知动点P的坐标为（x,1x），xR，则动点P的轨迹方程为_，它到原点距离的最小值为_解析：设点P的坐标为（x,y），则y1x，即动点P的轨迹方程为xyB9x19y0D3x19y010。原点到直线xy10 的距离为d错误错误! !错误错误! !,即为所求原点到动点P的轨迹的最小值答案：xy10错误错误! !1在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在 ,两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑2运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x，y的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错小题纠偏1已知P：直线l1：xy10 与直线l2:xay20 平行，Q:a1，则P是Q的(）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件解析：选 A由于直线l1：xy10 与直线l2：xay20 平行的充要条件是 1a（1)10,即a1。所以P是Q的充要条件2(2018安庆模拟)若直线l1：x3ym0(m0）与直线l2：2x6y30 的距离为错误错误! !，则m()A7C14B错误错误! !D17解析：选 B直线l1:x3ym0（m0)，即 2x6y2m0，因为它与直线l2：2x6y30 的距离为 10，所以错误错误! !错误错误! !，解得m错误错误! !.错误错误! !（基础送分型考点自主练透）题组练透1(2018诸暨模拟)已知a，b为正数，且直线axby60 与直线 2x（b3）y50 平行，则 2a3b的最小值为_解析：由两直线平行可得，a（b3)2b,即 2b3aab，错误错误! !错误错误! !1。又a，b为正数，所以 2a3b(2a3b）错误错误! !13错误错误! !错误错误! !132错误错误! !25,当且仅当ab5时取等号,故 2a3b的最小值为 25。答案：252已知直线l1:x3y7 与直线l2:kxy2，以及与x轴，y轴围成的凸四边形有外接圆,求实数k的值解：如图所示，由直线l1，l2及x轴，y轴所围成四边有外接圆的充要条件是对角互补COA90，CBA90,即l1l2.k错误错误! !1,解得k3.3已知两直线l1:mx8yn0 和l2：2xmy10,试确定m,n的值，使(1）l1与l2相交于点P(m，1）；（2)l1l2；(3)l1l2，且l1在y轴上的截距为1.解：（1）由题意得错误错误! !解得m1，n7.即m1，n7 时,l1与l2相交于点P(m,1）（2)l1l2，错误错误! !解得错误错误! !或错误错误! !即m4，n2 或m4，n2 时,l1l2.（3)当且仅当 2m8m0，即m0 时，l1l2.又错误错误! !1,n8。即m0，n8 时,l1l2,且l1在y轴上的截距为1.谨记通法1已知两直线的斜率存在，判断两直线平行垂直的方法(1）两直线平行两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；形为OABC，其(2)两直线垂直两直线的斜率之积等于1。提醒当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况2由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l1：A1xB1yC10(A错误错误! !B错误错误! !0）l2：A2xB2yC20（A错误错误! !B错误错误! !0）A1A2B1B20l1与l2垂直的充要条件l1与l2平行的充分条件错误错误! !错误错误! !错误错误! !（A2B2C20）l1与l2相交的充分条件错误错误! !错误错误! !（A2B20）l1与l2重合的充分条件A1错误错误! !错误错误! !(A2B2C20)A2提醒在判断两直线位置关系时，比例式错误错误! !与错误错误! !,错误错误! !的关系容易记住，在解答选择、填空题时,建议多用比例式来解答考点二距离问题错误错误! !典例引领1(2018衢州模拟)若直线l1：xay60 与l2：（a2)x3y2a0 平行，则l1与l2间的距离为()A。 2C。错误错误! !B.错误错误! !D。错误错误! !解析：选 B因为l1l2，所以错误错误! !错误错误! !错误错误! !，解得a1,所以l1：xy60，l2:xy错误错误! !0，所以l1与l2之间的距离d错误错误! !错误错误! !。2直线 3x4y30 上一点P与点Q(2，2)的连线的最小值是_解析：点Q到直线的距离即为P,Q两点连线的最小值,PQ|min错误错误! !1.答案:13若直线l过点P（1,2)且到点A(2，3）和点B(4，5)的距离相等，则直线l的方程为_解析：法一：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y2k（x1)，即kxyk20。由题意知错误错误! !错误错误! !，即3k1|3k3|，k错误错误! !.直线l的方程为y2错误错误! !(x1），即x3y50。当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，也符合题意故所求直线l的方程为x3y50 或x1。法二:当ABl时，有kkAB错误错误! !，直线l的方程为y2错误错误! !（x1)，即x3y50.当l过AB中点时，AB的中点为(1,4)直线l的方程为x1。故所求直线l的方程为x3y50 或x1。答案：x3y50 或x1由题悟法处理距离问题的 2 大策略(1）点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求（2）动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而使计算简便即时应用1已知P是直线 2x3y60 上一点，O为坐标原点，且点A的坐标为(1,1)，若PO|PA|，则P点的坐标为_解析：法一：设P（a,b），则错误错误! !解得a3，b4。P点的坐标为(3，4）法二：线段OA的中垂线方程为xy10，则由错误错误! !解得错误错误! !则P点的坐标为(3,4)答案:(3，4)2已知直线l：axy10 和点A（1，2)，B(3,6）若点A，B到直线l的距离相等，则实数a的值为_解析：法一：要使点A，B到直线l的距离相等，则ABl，或A，B的中点(2，4)在直线l上所以a错误错误! !2 或 2a410，解得a2 或错误错误! !。法二：要使点A，B到直线l的距离相等,则错误错误! !错误错误! !，解得a2 或错误错误! !。答案：2 或错误错误! !错误错误! !错误错误! !锁定考向对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型常见的命题角度有：（1)点关于点对称;(2)点关于线对称；(3）线关于线对称题点全练角度一:点关于点对称1过点P（0，1）作直线l使它被直线l1：2xy80 和l2:x3y100 截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_解析：设l1与l的交点为A(a,82a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B（a，2a6)在l2上，把B点坐标代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4,即点A(4,0)在直线l上,所以由两点式得直线l的方程为x4y40.答案：x4y402已知直线l：2x3y10，点A(1，2），则直线l关于点A（1,2)对称的直线l的方程为_解析：法一：在l:2x3y10 上任取两点，如M（1,1），N(4，3)，则M，N关于点A的对称点M，N均在直线l上易知M（3，5),N(6，7），由两点式可得l的方程为 2x3y90。法二：设P(x，y）为l上任意一点,则P（x,y)关于点A（1,2）的对称点为P(2x，4y），P在直线l上，2（2x)3（4y）10，即 2x3y90。答案：2x3y90角度二：点关于线对称3已知直线l：2x3y10，点A(1,2）求：（1)点A关于直线l的对称点A的坐标；(2)直线m:3x2y60 关于直线l的对称直线m的方程解：（1）设A（x，y),则错误错误! !解得错误错误! !A错误错误! !.（2)在直线m上取一点，如M(2，0）,则M（2,0)关于直线l的对称点M必在直线m上设M（a，b）,则错误错误! !解得M错误错误! !.设直线m与直线l的交点为N，则由错误错误! !得N（4,3）又m经过点N（4,3)，由两点式得直线m的方程为 9x46y1020。角度三：线关于线对称4直线 2xy30 关于直线xy20 对称的直线方程是(）Ax2y30Bx2y30Cx2y10Dx2y10解析：选 A设所求直线上任意一点P（x，y),则P关于xy20 的对称点为P(x0，y0)，由错误错误! !得错误错误! !由点P（x0，y0)在直线 2xy30 上，2(y2)（x2)30，即x2y30.通法在握1中心对称问题的 2 个类型及求解方法(1)点关于点对称：若点M（x1,y1)及N(x，y）关于P（a，b）对称,则由中点坐标公式得错误错误! !进而求解(2）直线关于点的对称,主要求解方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标 ,再由两点式求出直线方程；求出一个对称点,再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程2轴对称问题的 2 个类型及求解方法(1)点关于直线的对称：若两点P1（x1，y1）与P2(x2，y2）关于直线l：AxByC0 对称，由方程组错误错误! !可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B0,x1x2）(2）直线关于直线的对称:一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交 ;二是已知直线与对称轴平行演练冲关1与直线 3x4y50 关于x轴对称的直线方程为_解析:设A(x，y）为所求直线上的任意一点，则A（x，y)在直线 3x4y50 上，即 3x4（y）50,故所求直线方程为 3x4y50。答案：3x4y502 已知入射光线经过点M(3，4)，被直线l：xy30 反射，反射光线经过点N（2,6），则反射光线所在直线的方程为_解析：设点M(3,4)关于直线l:xy30 的对称点为M（a,b)，则反射光线所在直线过点M，所以错误错误! !解得a1，b0。又反射光线经过点N（2，6)，所以所求直线的方程为错误错误! !错误错误! !，即 6xy60.答案：6xy603已知ABC中，顶点A（4，5），点B在直线l：2xy20 上,点C在x轴上，求ABC周长的最小值解:设点A关于直线l：2xy20 的对称点为点A关于x轴的对称点为A2（x2，y2）,连接A1A2交l于点B,A1(x1，y1） ，交x轴 于 点C，则此时ABC的周长取最小值，且最小值为错误错误! !。A1与A关于直线l：2xy20 对称，错误错误! !解得错误错误! !A1（0,7)易求得A2（4,5),ABC周长的最小值为错误错误! !错误错误! !4错误错误! !。一抓基础，多练小题做到眼疾手快1直线 2xym0 和x2yn0 的位置关系是（)A平行B垂直C相交但不垂直D不能确定解析：选 C由错误错误! !可得 3x2mn0,由于 3x2mn0 有唯一解，故方程组有唯一1解,故两直线相交，两直线的斜率分别为2， ，斜率之积不等于1，故不垂直22（2018浙江名校协作体联考）“a1”是“直线ax3y30 和直线x（a2）y10 平行”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选 C因为直线ax3y30 和直线x(a2）y10 平行的充要条件是错误错误! !解得a1,故选 C.3（2018丽水调研)已知直线l1过点（2，0）且倾斜角为 30,直线l2过点(2，0）且与直线l1垂直，则直线l1与直线l2的交点坐标为()A(3， 3)B（2，错误错误! !)C（1， 3)D。错误错误! !解析：选 C直线l1的斜率为k1tan 30错误错误! !，因为直线l2与直线l1垂直，所以k2错误错误! !错误错误! !,所以直线l1的方程为y错误错误! !(x2),直线l2的方程为y错误错误! !（x2）两式联立，解得错误错误! !即直线l1与直线l2的交点坐标为（1,错误错误! !）4(2018诸暨期初）已知点A(7，4)关于直线l的对称点为B(5，6)，则该对称直线l的方程为()A6x5y10C5x6y10B5x6y10D6x5y10解析：选 D由题可得,直线l是线段AB的垂直平分线因为A(7,4),B（5,6)，所以kAB错误错误! !错误错误! !，所以kl错误错误! !。又因为A(7， 4)，B(5,6）的中点坐标为（1,1)所以直线l的方程为y1错误错误! !（x1）,即 6x5y10.5若直线 2xy10，yx1，yax2 交于一点，则a的值为_解析:由错误错误! !得错误错误! !即直线 2xy10 与yx1 相交于点(9，8)又因为直线 2xy10，yx1，yax2 交于一点,所以89a2,解得a错误错误! !.答案:错误错误! !二保高考,全练题型做到高考达标1(2018舟山调研）在直角坐标平面内,过定点P的直线l：axy10 与过定点Q的直线m:xay30 相交于点M,则|MP| |MQ 的值为（）A。错误错误! !C5B错误错误! !D1022解析：选 D由题意知P（0，1)，Q（3,0)，过定点P的直线axy10 与过定点Q的直线xay30 垂直,M位于以PQ为直径的圆上，PQ|错误错误! !错误错误! !，|MP| |MQ| |PQ| 10.2（2018慈溪模拟）曲线y2xx在x1 处的切线为l,则点P（3,2）到直线l3222的距离为（）A.错误错误! !C。错误错误! !B。错误错误! !D。错误错误! !2解析：选 A由题可得，切点坐标为 (1,1）y23x，由导数的几何意义可知，该切线的斜率为k231，所以切线的方程为xy20。所以点P(3，2）到直线l的距离为d错误错误! !错误错误! !.3(2018绵阳模拟)若P，Q分别为直线 3x4y120 与 6x8y50 上任意一点，则PQ|的最小值为(）A。错误错误! !C。错误错误! !B。错误错误! !D。错误错误! !解析：选 C因为错误错误! !错误错误! !错误错误! !，所以两直线平行，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离,即错误错误! !错误错误! !，所以|PQ|的最小值为错误错误! !.4(2018厦门模拟）将一张坐标纸折叠一次，使得点 (0，2)与点(4，0）重合，点(7，3）与点(m，n)重合,则mn等于(）A。错误错误! !C。错误错误! !B.错误错误! !D。错误错误! !解析:选 A由题意可知，纸的折痕应是点（0,2）与点(4，0)连线的中垂线，即直线y2x3，它也是点（7,3)与点（m,n)连线的中垂线,则错误错误! !解得错误错误! !故mn错误错误! !.5从点(2,3）射出的光线沿与向量a（8，4)平行的直线射到y轴上,则反射光线所在的直线方程为（）Ax2y40Cx6y160B2xy10D6xy80解析：选 A由直线与向量a(8,4）平行知，过点(2,3）的直线的斜率k错误错误! !，所以直线的方程为y3错误错误! !(x2)，其与y轴的交点坐标为(0,2)，又点(2，3）关于y轴的对称点为（2，3),所以反射光线过点(2,3）与(0，2)，由两点式可得反射光线所在的直线方程为x2y40。6（2018余姚检测）已知直线l过点P（3，4)且与点A（2，2），B（4，2)等距离，则直线l的方程为_解析：显然直线l的斜率不存在时，不满足题意;设所求直线方程为y4k(x3)，即kxy43k0，由已知，得错误错误! !错误错误! !,k2 或k错误错误! !。所求直线l的方程为 2xy20 或 2x3y180.答案：2xy20 或 2x3y1807.如图所