(2021年整理)正弦定理、余弦定理和解斜三角形.pdf
（完整）正弦定理、余弦定理和解斜三角形（完整）正弦定理、余弦定理和解斜三角形（完整）正弦定理、余弦定理和解斜三角形编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心， 本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的， 发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（ （完整）正弦定理、余弦定理和解斜三角形）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以下为（完整）正弦定理、余弦定理和解斜三角形的全部内容。（完整）正弦定理、余弦定理和解斜三角形5 56 6 正弦定理、余弦定理和解斜三角形正弦定理、余弦定理和解斜三角形正弦定理正弦定理: :abcabc 2R ,（2R 为三角形外接圆直径)，sin Asin BsinC2S（S为三角形面积）,其他形式: a :b :c =sinA:sinB：sinC a=2RsinA, b=2RsinB ， c=2RsinCB余弦定理余弦定理: :a =b +c -2bccosA,(可按 a，b，c，轮换得另二式)aCb2 c2 a2余弦定理变式：余弦定理变式：cos A , （轮换得另二式)2bcb222cA余弦定理向量式余弦定理向量式: :如图a=b+ c， c= a bc =|c =a-b =(a-b) =a +b 2ab =a +b2222|2222 2abcosC（其中a=a,b=b,|c=c）【例【例 1 1】在ABC中，求证：错误错误! !错误错误! !。 变式训练变式训练 1 1在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边求证：错误错误! !错误错误! !。【例 2】在ABC中，若B60，2bac，试判断ABC的形状 变式训练变式训练 2 2在ABC中，已知(abc)(bca）3bc,且 sinA2sinBcosC，试确定ABC的形状（完整）正弦定理、余弦定理和解斜三角形【当堂训练】【当堂训练】1、在三角形ABC中, 如果sin A cosB, 那么这个三角形是（） A直角三角形 C钝角三角形B 锐角三角形D 直角三角形或钝角三角形12、在ABC 中， “A30”是“sinA”的(）2A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件3、在ABC 中，已知 B=30，b=50 3，c=150，那么这个三角形是（）A等边三角形C等腰三角形B直角三角形D等腰三角形或直角三角形a1，则实数 a 的取值范围是（）a14、设 A 是ABC 中的最小角，且cos AAa3Ba1 C1a3 Da05、 在ABC 中， a， b,c,分别是三内角 A、 B、 C 所对的边， 若 B=2A， 则 b:a 的取值范围是 （）A2,2B1,2C1,1D0,16、在ABC 中，若三个内角 A，B，C 成等差数列且 ABC,则cosAcosC的取值范围是（ )1 1A,2 43 11 1 3 1 B,C,D,4 42 44 42227、在ABC中,A、B、C所对的边长分别为a、b、c，设a、b、c满足条件b c bc ac1和3，求A和tanB的值b28、已知ABC的三边a、b、c成等比数列,且cot AcotC 4 7，a c 37（完整）正弦定理、余弦定理和解斜三角形（1)求cosB；（2）求ABC的面积【家庭作业】【家庭作业】一、填空题一、填空题1在ABC中，已知a 3,b 1,B ，则c _62已知等腰三角形的底边上的高与底边长之比为4:3，则它的顶角的正切值是_3在ABC中,若sin Asin B sin AcosB cos Asin B cos AcosB 2,那么三角形的形状为_4在ABC中,cot A1cot B1 2，则log2sinC _5在ABC中，A ,b 1,S 3，则3abcsin AsinBsinC6在锐角ABC中，若tan A t 1,tanB t 1，则t的取值范围是_7在ABC中，若sin2B sin2C sin2A1，则A _sin BsinC48在ABC中,已知a 2,A ,若此三角形有两解,则b的取值范围是_9(A）在ABC中，AC 2B,b2 ac,则三角形的形状为_ (B) 已知A A B B C C ,且sinsin A A coscosB B coscosC C,则在cotcotB B cotcotC C、 tantanB B tantanC C、s si i nB+nB+ s si i nCnC及coscosB B coscosC C中必为常数的有_10(A)在ABC中，c 1,a 2,则C的取值范围是_（B）已知三角形的三边长分别是2 2a a 3, 3,a a2 2 3 3a a 3, 3,a a2 2 2 2a a a a 0 0 ，则三角形的最大角等于_二、二、 选择题选择题（完整）正弦定理、余弦定理和解斜三角形11在ABC中，sin AsinB cos AcosB是C （）A。充分非必要条件 B.必要非充分条件 C。充要条件 D。既非充分又非必要条件12在ABC中,若sin A:sinB:sinC 3:4:5则此三角形是 ( ) A。 等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D。钝角三角形13在ABC中，若acos2CA3bccos22222，那么其三边关系式为（）A.ab 2c B。ac 2b C.bc 2a D.2a2c 3b14(A）在ABC中，a,b,c为三角形三条边，且方程x22cxa2b2 0有两个相等的实数根，则该三角形是（） A。直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D。等腰三角形（B)已知关于x x的方程x x2 2 x x coscos A AcoscosB B 1 1 coscosC C 0 0的两根之和等于两根之积的一半,则ABC是 (）A。等腰三角形 B。直角三角形 C.等腰或直角三角形 D。等腰直角三角形三、解答题三、解答题15在ABC中，若sin B sinC cos2A，试判断三角形的形状216在ABC中，若abcabc ac，求B。17在ABC中,若4sin2B C7cos 2A 22。 （1)求A;（2）若a 3,bc 3,求b,c的值。18 （A）已知A 码头在 B 码头的南偏西7575处，两码头相距200 千米，甲、乙两船同时分别由A码头和 B 码头出发，乙船朝着西北方向航行，乙船的航行速度为40 海里/小时，如果两船出发后 5 小时相遇，求甲船的速度。 （1 海里=1.852 千米)（精确到 0。1 海里）（完整）正弦定理、余弦定理和解斜三角形(B）甲船在A点发现乙船在北偏东60的B点处,测的乙船以每小时a海里的速度向正北行使。已知甲船速度是每小时3a海里，问：甲船如何行驶才能最快与乙船相遇？19、(A)在 ABC中，若sin A sin B sinC， （1)判断三角形的形状；(2）如果三角形面积为4，求cos BcosC三角形周长的最小值。 （B）三条线段长分别为sinsin ,sin,sin 和sinsin ，其中 、 0 0， ，是否能以此三条线 2 2 段构成三角形？并说明理由。参考答案参考答案例例 1 1、证明方法一左边错误错误! !错误错误! !错误错误! !错误错误! !错误错误! !右边,所以错误错误! !错误错误! !。方法二右边错误错误! !错误错误! !错误错误! !错误错误! !错误错误! !错误错误! !错误错误! !左边，所以错误错误! !错误错误! !.变式变式 1 1 证明方法一左边错误错误! !错误错误! !右边错误错误! !错误错误! !等式成立方法二右边错误错误! !错误错误! !错误错误! !左边等式成立222例例 2 2、解方法一根据余弦定理得bac2accosB.222B60，2bac，错误错误! !ac2accos 60,2整理得（ac) 0，ac。（完整）正弦定理、余弦定理和解斜三角形ABC是正三角形方法二根据正弦定理，2bac可转化为 2sinBsinAsinC.又B60,AC120。C120A，2sin 60sinAsin(120A） ，整理得 sin(A30）1，A60，C60.ABC是正三角形222变式变式 2 2 解由(abc)（bca）3bc，得b2bcca3bc，222即abcbc，cosA错误错误! !错误错误! !错误错误! !，A错误错误! !.又 sinA2sinBcosCa2b错误错误! !错误错误! !，22bc，bc，ABC为等边三角形【当堂训练】【当堂训练】1、答案:D解析：利用正、余弦定理将角变为边求解2、答案:B解析：利用三角形内角和与三角函数的性质来解决3 3、答案：D解析：利用正弦定理4 4、答案：A解析：因为 A 是最小的角,根据 A 的范围来求.5 5、答案：B6 6、答案：C解析：2B=A+C，B 3设A 3d，C 3d(d 0）1则cos AcosC sin2d,又0 d 430 sind 31 1cos AcosC,22 47 7、答案：A 60，tanB 121，2解析：解法一：由余弦定理cos A因此，A 60在ABC 中，C=180AB=120B.（完整）正弦定理、余弦定理和解斜三角形由已知条件，应用正弦定理：311csinCsin(120 B)sin120cosB cos120sin Bcot B ,3 sin B222bsin Bsin B解得cotB 2从而tanB 124 7sin(AC)4 77sin AsinC7解析： （1）由cot AcotC sin AsinC sin2B，sin(AC) sinBsinB4 77sin2BsinB 74由a、b、c成等比数列，知b2 ac，且b不是最大边73cosB 1sin2B 144222 (2）由余弦定理b a c 2accosB得2ac a2c22ac1737SABCacsinB (a c)2ac42，ac 224【家庭作业】【家庭作业】一、填空题1. 2 或 12。48553. 等腰直角三角形4. 5。2393126。（7. 32， )8. 2, ,2 2 9。 （A)等边三角形，(B）tantanB B tantanC C（完整）正弦定理、余弦定理和解斜三角形10. （A) 0, , 6 ，（B)120120二、选择题11。 C 12。 B 13. B 14。 （A） A（B) A三、解答题15 。由sinsin B BsinsinC C coscos2A A2， 得2sinsin B BsinsinC C 1 coscos A A 1 coscos B B C C ， 化 简 得coscos B B C C 1， B B C C ，B B C C，即 ABCABC是等腰三角形。16。 a a b b c c a a b b c c acac,b b2 a a2 c c2 acac，a a2 c c2 b b2a a2 c c2 a a2 c c2 acac1coscosB B ，B B 1202acac2acac2 17. （1)由题设得2 1 coscos B B C C 2coscos2A A 1 72,即2 1 coscos A A 2coscos2A A 1 72，解得coscos A A ，故121b b2 c c2 a a21coscos A A , ,（2）即 b b c c 2 a a2 3bcbc， 将a a 3, ,b b c c 3代入， 得bcbc 2,A A 60; ，22bcbc2解得b b 2, ,c c 1或b b 1, ,c c 2.18。(A)如右图，设两船在C C处相遇，由题意， ABCABC 6060 , , ABAB 200,200,BCBC 200200 1.8521.852 370.4370.4（ 单位：千米） 。所以ACAC2 2 2002002 2 370.4370.42 2 2 2 200200 370.4370.4 0.50.5 103116.16103116.16即ACAC 321.1170503321.1170503千米，所以甲船的速度为（B） 设两船的相遇处为点C C， 如图： ,可知， 在 ABCABC定值,ACAC, ,BCBC分别是甲船与乙船在相同时间里的显然有ACAC : : BCBC 3a a : :a a 3 : :1，由正弦定理可得321.1170503321.1170503 34.734.7海里/小时.5 5 1.8521.852ABAB为中，B B 120，行程。 由已知条件sinsin A A BCBC1sinsin B B ACAC2,再由0 A A 60，得A A 30,即甲船航行的方向为北偏东30。 a a2 c c2 b b2a a2 b b2 c c2 19. (A） （1)由正弦定理、余弦定理得a a 2acac2abab b b c c， 2bcbc b b c c a a2 b b c c b b2 c c2 c c b b ，b b c c 0,两边同除以b b c c，得 （完整）正弦定理、余弦定理和解斜三角形2bcbc a a2 b b c c c c b b ,化简得b b2 c c2 a a2， A A 90， ABCABC为直角三角形。(2) A A 90，S S 12bcbc 4, ,bcbc 8。所以周长C C a a b b c c b b2 c c2 b b c c 2bcbc 2 bcbc 4 2 1 ; ;，当且仅当b b c c时等号成立。因此三角形周长的最小值为4 2 1 ，此时b b c c 2 2。（B)由于 、 0 0，2 2 ，sinsin sinsin sinsin sinsin sinsin sinsin coscos coscos sinsin sinsin 1 1 coscos sinsin 1 1 coscos 0 0,即sinsin sinsin sinsin 。sinsin sinsin sinsin sinsin sinsin sinsin coscos coscos sinsin sinsin 1 1 coscos sinsin 1 1 coscos 0 0sinsin sinsin sinsin 。同理可证sinsin sinsin sinsin 。所以可构成三角形。即
