2021年初中数学阶段最全面各种公式(完整版).pdf
精品文档数学各种公式及性质1 1 乘法与因式分解(a(a(a b) a b ；b)(ab)a 2abb )b)(a abb ；a b ；(ab)(a abb )a b ；a b (ab) 2ab；(ab) (ab) 4ab；2 2 幂地运算性质a a a1mnm+n223322222222222233a；a a mnm-n；(a ) a；(ab) a b ；() n；bb0m nmnnnnanan()-n() ；a 1(a0；)a-nan，特别：3 3 二次根式() a(a0；) 2na 丨；丨；(a0，b0；)4 4 三角不等式|a|-|b| |a b| | （a|定+|b 理| ）；加强条件： |a|-|b| |a b| 也 |a 成 |+ 立 |b，这个不等式也可称为向量地三角不等式（其中|为向量 a 和向量 b）|a+b| |a|+ ； |b| a-b| |a|+；|b|a| b a；b|a-b| | -a |b |；-|a| a；|a|5 5 某些数列前 n n 项之和1+2+3+4+5+6+7+8+9+2+4+6+8+10+12+14+3333333a，b 分别+n=n(n+1)/2；1+3+5+7+9+11+13+15+(2n-1)=n；+(2n)=n(n+1)； 1 +2 +3 +4 +5 +6 +7+8 +n =n(n+1)(2n+1)/6；2222222222221 +2 +3 +4 +5 +6 +n=n (n+1) /4； 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+6 6 一元二次方程c0：对于方程：axbx求根公式 为xbb2+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3；24ac2ab 4ac 叫做根地判别，其中式；2当0时，方程有两个不相等地实数根；当0 时，方程有两个相等地实数根；当0 时，方程没有实数根注意：当精品文档0 时，方程有实数根；精品资料积极向上，探索自己本身价值，学业有成第 1 页，共 9 页精品文档2若方程有两个实数根x1和x2，则二次三项axx1)(xbxc 可分解为 a(xx )；式2以 a 和 b 为根地一元二次方程x (ab)xab0；为7 7 一次函数0图象为一条直线 (b 为直线与 y 轴地交点地纵坐标，称为截一次函数 ykxb(k距) 地当k0时，y随x地增大而增大(直线从左向右上升当 k0 时，y 随 x 地增大而减小 (直线从左向右下降)；)；)；特别地：当 b0 时，ykx(k0 叫做正比例函数(y与x成正比例)，图象必过原点；) 又8 8 反比例函数反比例函数 y (k0 图象叫做双曲线；) 地当 k0 时，双曲线在一、三象限当 k0 时，双曲线在二、四象限9 9二次函数2(在每一象限内，从左向右降)；(在每一象限内，从左向右上升)；（1 1）. .定义：一般地，如果yaxbxc(a,b,c为常数，a0)，那么 y 叫做x地二次函数；（2 2）. .抛物线地三要素： 开口方向、对称轴、顶点；a地符号决定抛物线地开口方向：当a0时，开口向上；当 a0时，开口向下；a 相等，抛物线地开口大小、形状相同；平行于 y轴（或重合）地直线记作xh .特别地， y 轴记作直线 x0；（3 3）. .几种特殊地二次函数地图像特征如下：函数解析式yaxyax22开口方向对称轴x0（ y 轴）顶点坐标（0,0）(0, k )(h ,0)( h ,k )b4acb2，()2a4ak2当 a0时开口向上当 a0时开口向下x0（ y 轴）xhxhxb2aya xhya xh22kyaxbxc（4 4）. .求抛物线地顶点、对称轴地方法精品文档精品资料积极向上，探索自己本身价值，学业有成第 2 页，共 9 页精品文档公式法： yax直线xb2bxca xb2a22bac4b4acb，顶点为（），对称轴为，2a4a4a22a；ya xh2配方法：运用配方地方法，将抛物线地解析式化为(h, k )，对称轴为直线 xh ；k地形式，得到顶点为运用抛物线地对称性： 由于抛物线为以对称轴为轴地轴对称图形，对称轴与抛物线地交点为顶点；若已知抛物线上两点(x1, y)、 ( x2, y)（及 y 值相同） ，则对称轴方程可以表示为：x（5 5）. .抛物线yx1x22ax2bxc中，a,b,c地作用2a决定开口方向及开口大小，这与yax中地a完全一样；a共同决定抛物线对称轴地位置.由于抛物线yax2bxc地对称轴为直线； b和xbba，故： b0 时，对称轴2a为bay 轴；0（即a、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧； a、0（即b 异号）时，对称轴在y 轴右侧；2c地大小决定抛物线yaxbxc与 y轴交点地位置；c）当 x0 时，c ，抛物线yaxbxc与 y轴有且只有一个交点（ 0，：y c0 ，抛物线经过原点 ; c0,与 y 轴交于正半轴； c0,与 y 轴交于负半轴 .2以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线地对称轴在y 轴右侧，则（6 6）. .用待定系数法求二次函数地解析式2ba0；一般式：yaxy 地值，通常选择一般式 .bxc.已知图像上三点或三对x、2顶点式：ya xhk.已知图像地顶点或对称轴，通常选择顶点式；交点式：已知图像与x轴地交点坐标x1、x2，通常选用交点式：ya xx1xx2；（7 7）. .直线与抛物线地交点 y 轴与抛物线yax二次函数yaxax222bxc得交点为 (0,c)；抛物线与x轴地交点；bxc地图像与x轴地两个交点地横坐标x、x12，为对应一元二次方程bxc0地两个实数根 .抛物线与x轴地交点情况可以由对应地一元二次方程地根地判别式判定：a有两个交点(0 )抛物线与x轴相交；(0 )抛物线与x轴相切；b 有一个交点（顶点在x轴上）c 没有交点(0 )抛物线与x轴相离；平行于x轴地直线与抛物线地交点精品文档精品资料积极向上，探索自己本身价值，学业有成第 3 页，共 9 页精品文档同一样可能有0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 .当有 2 个交点时，两交点地纵坐标相等，设纵坐标为 k ，则横坐标为axbxck地两个实数根；一次函数 ykxn k0 地图像 l 与二次函数yax方程组ykxnyax222bxc a0地图像 G 地交点，由地解地数目来确定：bxcl 与G 有两个交点；a 方程组有两组不同地解时b 方程组只有一组解时c 方程组无解时l 与 G 只有一个交点；l 与 G 没有交点；2 抛 物 线 与x轴 两 交 点 之 间 地 距 离 ： 若 抛 物 线yaxA x1，B x2，0，0，则AB两 交 点 为bxc与x轴x1x21010统计初步1 1）概念，其中每一个考察对象叫做个体从总体中抽取（：所要考察地对象地全体叫做总体地一部份个体叫做总体地一个样本，样本中个体地数目叫做样本容量 在一组数据中，出现将一组数据按大小顺序排列，把处在次数最多地数 (有时不止一个 )，叫做这组数据地 众数最中间地一个数(或两个数地平均数)叫做这组数据地 中位数（2 2）公式： 设有 n 个数 x1，x2，xn，那么：x1+ x2+ .+ xn平均数为：x =；n极差：用一组数据地最大值减去最小值所得地差来反映这组数据地变化范围，用这种方法得到地差称为极差，即：极差=最大值 -最小值；方差：数据x1、x22,xn地方差为s，221轾则s=犏x1-x+()n臌(x2-x+.+)2(xn-x)2标准差：方差地算术平方根；数据x1、x2则s=,xn地标准差s，21轾x1-x)+犏(臌n(x2-x)+. +2(xn-x)2精品文档精品资料积极向上，探索自己本身价值，学业有成第 4 页，共 9 页精品文档一组数据地方差越大，这组数据地波动越大，越不稳定；1111频率与概率（1 1）频率频率=频数，各小组地频数之和等于总数，各小组地频率之和等于总数1，频率分布直方图中各个小长方形地面积为各组频率；（2 2）概率如果用 P 表示一个事件 A 发生地概率，则 0P （A）1 ；P（必然事件） =1；P（不可能事件） =0；在具体情境中了解概率地意义，运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生地概率；大量地重复实验时频率可视为事件发生概率地估计值；1212 锐角三角形设A为ABC 地任一锐角，则A 地正弦： sinA22，A 地余弦： cosA，sin Acos A1；A 地正切： tanA并且0sinA1，0cosA1，tanA0A越大，A地正弦和正切值越大，余弦值反而越小；余角公式 ：sin(90o A)cosA，cos(90oA)sinA；特殊角地三角函数值：sin30o cos60osin45o ，cos45o tan30o ，tan45o1，tan60o 斜坡地坡度： i铅垂高度水平宽度，sin60o cos30o ，； 设坡角为 itan ，则 ；lh1313 正（余）弦定理（1 1）正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R；注：其中R 表示三角形地外接圆半径；正弦定理地变形公式： (1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC；(2) sinA : sinB : sinC = a : b : c（2 2）余弦定理b =a +c -2accosB；a =b +c -2bccosA；c =a +b -2abcosC ；c，B所对地边为b，A所对地边为 a222222222C所对地边注：为1414 三角函数公式（1 1）两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA精品文档精品资料积极向上，探索自己本身价值，学业有成第 5 页，共 9 页精品文档cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)（ 2 2）倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a（ 3 3）半角公式(c (1 osA)/2) sin(A/2)=-(1 -cosA)/2)sin(A/2)=-= (1+cosA)/2)cos(A/2)=(1+cosA)/2) cos(A/2 -)(c (1 osA)/(1+cosA) tan(A/2)=-(1 -cosA)/(1+cosA)tan(A/2)=-( c1 osA) ctg(A/2)=-(1+cosA)/(1 -cosA)ctg(A/2)=(1+cosA)/(（ 4 4）和差化积sinA+sinB=2sin(A+B)/2)cos(A-B)/2 cosA+cosB=2cos(A+B)/2)sin(A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB（5 5）积化和差2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)1515 平面直角坐标系中地有关知识（1 1）对称性： 若直角坐标系内一点P（a，b） ，则 P 关于 x 轴对称地点为 P1（a，b） ，P关于y 轴对称地点为 P2（a，b） ，关于原点对称地点为P3（a，b） ；（2 2）坐标平移： 若直角坐标系内一点P（a，b）向左平移 h 个单位，坐标变为P（ah，b） ，向右平移 h 个单位，坐标变为P（ah，b） ；向上平移 h 个单位，坐标变为P（a，bh） ，向下平移 h 个单位，坐标变为P（a，bh）.如：点 A（2， 1）向上平移 2 个单位，再向右平移 5 个单位，则坐标变为A（7，1） ；1616 多边形内角和公式多边形内角和公式： n边形地内角和等于 (n2)180o （n3 ，n 为正整数），外角和等于1717 平行线段成比例定理（1 1）平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得地对应线段成比例；精品文档360o精品资料积极向上，探索自己本身价值，学业有成第 6 页，共 9 页精品文档如图： abc，直线 l1与 l2分别与直线 a、b、c 相交与点 A、B、C 和 D、E、F，则有ABDEAB,EFACDEBC,DFACEFDFBC；（2 2）推论：平行于三角形一边地直线截其他两边（或两边地延长线），所得地对应线段成比例；如 图 ： ABC中 ， DEBC ， DE与AB 、 AC相 交 与 点D 、 E ， 则 有 ：ADDBAEAD,ECABl1ABCAEACl2DEFDEDB,BCABECACAEADEDabcBCBC1818 直角三角形中地射影定理直角三角形中地射影定理：如图： RtABC 中，ACB90 ，CDAB 于 D，则有：（1）CD1919 圆地有关性质（1）垂径定理 ：如果一条直线具备以下五个性质中地任意两个性质：2CoAD BD（2）AC2AD AB（3）BC2BDABADB经过圆心； 垂直弦；平分弦；平分弦所对地劣弧；平分弦所对地优弧，那么这条直线就具有另外三个性时，弦不能为直径；质注：具备，（2）两条 平行弦 所夹地弧相等；（3）圆心角 地度数等于它所对地弧地度数；（4）一条弧所对地 圆周角 等于它所对地 圆心角 地一半；（5）圆周角等于它所对地弧地度数 地一半；（6）同弧或等弧 所对地圆周角相等；（7）在同圆或等圆中，相等地圆周角所对地弧相等；（8）90o地圆周角所对地弦为 直径 ，反之，直径所对地圆周角为（9）圆内接四边形 地对角互补；精品文档90o，直径为最长地弦；、精品资料积极向上，探索自己本身价值，学业有成第 7 页，共 9 页精品文档20202121 三角形地内心与外心三角形地内心就为三内角角平分线地交点；（1）三角形地内切圆地圆心叫做三角形地内心三角形地外心就为三边中垂线地交点（2）三角形地外接圆地圆心叫做三角形地外心ab2常见结论：RtABC 地三条边分别为：a、 b、 （c 为斜边）c， 则它地内切圆地半径rc；1Slr2ABC 地周长为l，面积为 S，其内切圆地半径为r，则2222 弦切角定理及其推论（1 1）弦切角：顶点在圆上，并且一边和圆相交， 另一边和圆相切地角叫做弦切角；如图：PAC为弦切角；（2 2）弦切角定理： 弦切角度数等于它所夹地弧地度数地一半；如果 AC 为O 地弦， PA为O 地切线， A 为切点，则PAC推论：弦切角等于所夹弧所对地圆周角（作用证明角相等）P如果 AC 为O 地弦， PA为O 地切线， A 为切点，则PAC2323 相交弦定理、割线定理和切割线定理（1 1）相交弦定理： 圆内地两条弦相交，被交点分成地两条线段长地积相等；如图，即： PA PB = PC PD（ 2 2）割线定理：从圆外一点引圆地两条割线，这点到每条割线与圆交点地两条线段长地积相等；如图，即： P A PB = PC PD（3 3）切割线定理：从圆外一点引圆地切线和割线，切线长为这点到割线与圆交点地两条线段长地比例中项；如图 ，即： PC2= PA PBC精品文档12AC12AAOCOBCABCCPBDAOCDBPOABPOA精品资料积极向上，探索自己本身价值，学业有成第 8 页，共 9 页精品文档24 面积公式S2正 (边长) S平行四边底高S菱形底高 (对角线地积)，S1梯(上底下底 )高中位线高2S2圆 R l圆周长2 R弧长L精品文档精品资料积极向上，探索自己本身价值，学业有成2Sn r1扇3602lrS圆柱侧底面周长高2 rh，S全面积S侧S底2 rh22 rS圆锥侧 底面周长 母线 rb，S全面积S侧S底 rb2第 9 页，共 9 页
