(渝皖琼)2018-2019学年高中数学 第一章 立体几何初步 2 直观图学案 北师大版必修2.pdf
22直观图直观图学习目标1.掌握斜二测画法的作图规则.2。会用斜二测画法画出简单几何体的直观图知识点斜二测画法思考 1边长 2 cm 的正方形ABCD水平放置的直观图如下，在直观图中，AB与CD有何关系?AD与BC呢？在原图与直观图中，AB与AB相等吗?AD与AD呢？答案ABCD,ADBC，ABAB，AD错误错误! !AD.思考 2正方体ABCDA1B1C1D1的直观图如图所示，在此图形中各个面都画成正方形了吗？答案没有都画成正方形梳理(1）水平放置的平面图形直观图的画法斜二测画法规则：在已知图形中建立平面直角坐标系xOy，画直观图时，它们分别对应x轴和y轴,两轴相交于点O，使xOy45，它们确定的平面表示水平平面已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴或y轴的线段已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的错误错误! !。（2）立体图形直观图的画法1用斜二测画法画水平放置的A时，若A的两边分别平行于x轴和y轴，且A90，则在直观图中，A45.（)2用斜二 测画法 画平 面图形的 直观图时 ，平行的 线段在直 观图中仍 平行，且 长度不变（)3在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度保持不变()类型一水平放置的平面图形的直观图例 1画出如图水平放置的直角梯形的直观图考点平面图形的直观图题点平面图形的直观图解画法：(1)在已知的直角梯形OBCD中,以底边OB所在直线为x轴,垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系画出相应的x轴和y轴，使xOy45，如图（1）（2)所示；（2）在x轴上截取OBOB，在y轴上截取OD错误错误! !OD，过点D作x轴的平行线l，在l上沿x轴正方向取点C使得DCDC。连接BC，如图(2)；(3)去掉辅助线，所得四边形OBCD就是直角梯形OBCD的直观图，如图（3)引申探究若得本例中的直角梯形改为等腰梯形,画出其直观图解画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立平面直角坐标系，画出对应的x轴和y轴,使xOy45；(2)以O为中点在x轴上取ABAB,在y轴上取OE错误错误! !OE，以E为中点画出CDx轴，并使CDCD；（3）连接BC,DA,所得的四边形ABCD就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图反思与感悟在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的平面直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可跟踪训练 1已知正五边形ABCDE,如图，试画出其直观图考点平面图形的直观图题点平面图形的直观图解画法：（1）在图（1)中作AGx轴于点G,作DHx轴于点H。(2)在图（2)中画相应的x轴与y轴，两轴相交于点O，使xOy45。(3）在图（2）中的x轴上取OBOB,OGOG，OCOC，OHOH，y轴上取OE错误错误! !OE，分别过G和H作y轴的平行线，并在相应的平行线上取GA错误错误! !GA，HD错误错误! !HD。（4）连接AB,AE，ED,DC，并擦去辅助线GA,HD,x轴与y轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图ABCDE(如图(3）类型二直观图的还原与计算例 2如图所示,梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图若A1D1Oy，A1B1C1D1，A1B1错误错误! !C1D12，A1D1OD11.试画出原四边形的形状,并求出原图形的面积考点平面图形的直观图题点由直观图还原平面图形解如图,建立平面直角坐标系xOy，在x轴上截取ODOD11，OCOC12。在过点D的y轴的平行线上截取DA2D1A12.在过点A的x轴的平行线上截取ABA1B12.连接BC，即得到了原图形由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB2，CD3,直角腰的长度AD2，所以面积为S错误错误! !25。反思与感悟(1)由直观图还原为平面图的关键是找与x轴，y轴平行的直线或线段，且平行于x轴的线段还原时长度不变，平行于y轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2 倍,由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可（2)若一个平面多边形的面积为S,其直观图的面积为S，则有S错误错误! !S或S2错误错误! !S。利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积跟踪训练2(1)如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形ABO，若OB1，那么原三角形ABO的面积是()A.错误错误! ! B。错误错误! ! C。错误错误! ! D2错误错误! !考点平面图形的直观图题点与直观图有关的计算答案C解析直观图中等腰直角三角形直角边长为 1，因此面积为错误错误! !,又直观图与原平面图形面积比为错误错误! !4，所以原图形的面积为错误错误! !,故选 C。(2）如图所示 ,矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中OA6cm，CD2 cm，则原图形是_(填四边形的形状)考点平面图形的直观图题点由直观图还原平面图形答案菱形解析如图所示，在原图形OABC中，应有OAOA6(cm)，OD2OD22错误错误! !4错误错误! !（cm）,CDCD2（cm），OC错误错误! !错误错误! !6(cm)，OAOC,又OABC，OABC,故四边形OABC是菱形类型三简单几何体的直观图例 3画出底面是正方形,侧棱均相等的四棱锥的直观图考点简单几何体的直观图题点简单几何体的直观图解画法：(1)画轴画x轴，y轴,z轴，三轴相交于点O，使xOy45（或135)，xOz90,如图.(2)画底面，以O为中心在xOy平面内，画出正方形直观图ABCD.（3)画顶点在Oz轴上截取OP使OP的长度是原四棱锥的高(4)成图顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线,得四棱锥的直观图如图。反思与感悟简单几何体直观图的画法(1)画轴：通常以高所在直线为z轴建系（2)画底面：根据平面图形直观图的画法确定底面（3)确定顶点：利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点（4)连线成图跟踪训练 3用斜二测画法画棱长为 2 cm 的正方体ABCDABCD的直观图考点简单几何体的直观图题点简单几何体的直观图解画法:(1）画轴如图，画x轴,y轴，z轴，三轴相交于点O，使xOy45,xOz90.(2)画底面以点O为中心，在x轴上取线段MN，使MN2 cm;在y轴上取线段PQ,使PQ1cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B，C，D，四边形ABCD就是正方体的底面ABCD.(3)画侧棱过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上沿Oz轴方向分别截取 2 cm 长的线段AA,BB，CC，DD。（4）成图顺次连接A,B，C，D，并加以整理（去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线），得到正方体的直观图（如图）1利用斜二测画法画出边长为 3 cm 的正方形的直观图，图中正确的是()考点平面图形的直观图题点平面图形的直观图答案C解析正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为 21。2下列关于直观图的说法不正确的是()A原图形中平行于y轴的线段,对应线段平行于直观图中y轴，长度不变B原图形中平行于x轴的线段,对应线段平行于直观图中x轴，长度不变C在画与直角坐标系xOy对应的xOy时，xOy可以画成 45D在画直观图时，由于选轴的不同所画的直观图可能不同考点平面图形的直观图题点平面图形的直观图答案A解析平行于y轴的线段,直观图中长度变为原来的一半，故选 A.3有一个长为 5 cm，宽为 4 cm 的矩形,则其用斜二测画法得到的直观图的面积为_cm 。考点平面图形的直观图题点与直观图有关的计算答案5 2解析该矩形直观图的面积为错误错误! !545错误错误! !（cm ）4如图，水平放置的ABC的斜二测直观图是图中的ABC,已知AC6，BC4，则AB边的实际长度是_22考点平面图形的直观图题点与直观图有关的计算答案10解析在原图中,AC6，BC428，AOB90，AB错误错误! !10。5画出一个正三棱台的直观图(尺寸：上、下底面边长分别为 1 cm,2 cm，高为 2 cm）考点简单几何体的直观图题点柱、锥、台的直观图解画法：（1）作水平放置的下底面等边三角形的直观图ABC，其中O为ABC的重心,BC2 cm，线段AO与x轴的夹角为 45，AO2OD。(2)过O作z轴，使xOz90,在Oz轴上截取OO2 cm，作上底面等边三角形的直观图ABC，其中BC1 cm，连接AA，BB，CC,得正三棱台的直观图1画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点确定点的位置，可采用直角坐标系建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键 ,常利用图形的对称性，并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上2用斜二测画法画图时要紧紧把握住：“一斜”、“二测两点：（1）一斜：平面图形中互相垂直的Ox、Oy轴，在直观图中画成Ox、Oy轴，使xOy45。（2)二测：在直观图中平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度取一半，记为“横不变，纵折半”.一、选择题1关于斜二测画法所得直观图,以下说法正确的是（）A等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B正方形的直观图为平行四边形C梯形的直观图不是梯形D正三角形的直观图一定为等腰三角形考点平面图形的直观图题点平面图形的直观图答案B解析由直观图的性质知，B 正确2若把一个高为 10 cm 的圆柱的底面画在xOy平面上，则圆柱的高应画成（)A平行于z轴且长度为 10 cmB平行于z轴且长度为 5 cmC与z轴成 45且长度为 10 cmD与z轴成 45且长度为 5 cm考点简单几何体的直观图题点柱、锥、台的直观图答案A解析由直观图的性质知，与z轴平行的线段长度不变，高与原长相等3如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的（)考点平面图形的直观图题点由直观图还原平面图形答案C解析在x轴上或与x轴平行的线段在新坐标系中的长度不变，在y轴上或平行于y轴的线段在新坐标系中的长度变为原来的错误错误! !，并注意到xOy90,xOy45，因此由直观图还原成原图形为选项 C。4下面每个选项的 2 个边长为 1 的正ABC的直观图不是全等三角形的一组是()考点平面图形的直观图题点平面图形的直观图答案C解析可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论5已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积为（)A16C16 或 64考点平面图形的直观图题点与直观图有关的计算答案C解析等于 4 的一边在原图形中可能等于 4，也可能等于 8,所以正方形的面积为 16 或 64.6水平放置的ABC,有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正三角形ABC，则ABC是（)A锐角三角形C钝角三角形考点平面图形的直观图题点由直观图还原平面图形答案C解析如图所示,斜二测直观图还原为平面图形，故ABC是钝角三角形B直角三角形D任意三角形B64D无法确定7。用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴已知四边形ABCD的面积为 2错误错误! ! cm ,则原平面图形的面积为（)2A4 cmC8 cm考点平面图形的直观图题点与直观图有关的计算答案C22B4错误错误! ! cmD8错误错误! ! cm22解析依题意可知BAD45,则原平面图形为直角梯形，且上下底边的长分别与BC，AD相等，高为梯形ABCD的高的 2错误错误! !倍，所以原平面图形的面积为 8 cm 。8已知两个底面半径相等的圆锥，底面重合在一起 (底面平行于水平面）,其中一个圆锥顶点到底面的距离为 2 cm,另一个圆锥顶点到底面的距离为 3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为()A2 cm B3 cm C2。5 cm D5 cm考点简单几何体的直观图题点柱、锥、台的直观图答案D解析圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为 235(cm），在直观图中与2z轴平行的线段长度不变，仍为 5 cm。故选 D。二、填空题9水平放置的ABC的斜二测直观图如图所示，已知BC4，AC3,BCy轴，则ABC中AB边上的中线的长度为_考点平面图形的直观图题点与直观图有关的计算答案错误错误! !解析由斜二测画法规则知ACBC，即ABC为直角三角形，其中AC3，BC8,所以AB错误错误! !，AB边上的中线长度为错误错误! !。10在如图所示的直观图中，四边形OABC为菱形且边长为 2 cm，则在坐标系xOy中原四边形OABC为_(填形状)，面积为_ cm 。2考点平面图形的直观图题点与直观图有关的计算答案矩形8解析由题意结合斜二测画法，可得四边形OABC为矩形，其中OA2 cm，OC4 cm，四边形OABC的面积为S248(cm ）11如图所示,四边形OABC是上底为 2，下底为 6，底角为 45的等腰梯形，用斜二测画法画出这个梯形的直观图OABC，则在直观图中,梯形的高为_2考点平面图形的直观图题点与直观图有关的计算答案错误错误! !解析作CD，BEOA于点D,E，则ODEA错误错误! !2，又COD45，ODCD2，在直观图中梯形的高为 2错误错误! !sin 45错误错误! !。三、解答题12如图所示，画出水平放置的四边形OBCD的直观图考点平面图形的直观图题点平面图形的直观图解画法：(1)过点C作CEx轴，垂足为E，如图(1)所示画出对应的x轴,y轴，使xOy45，如图（2）所示；(2）如图（2)所示，在x轴正半轴上取点B，E,使得OBOB,OEOE.在y正半轴上取一点D，使得OD错误错误! !OD.过E作ECy轴，使EC错误错误! !EC；（3）连接BC，CD，并擦去x轴与y轴及其他一些辅助线，如图（3)所示,四边形OBCD就是所得直观图13一个机器部件，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥 ,并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合,圆柱的底面直径为 3 cm，高为 3 cm，圆锥的高为 3 cm,画出此机器部件的直观图考点简单几何体的直观图题点简单几何体的直观图解画法:（1)如图.画x轴,y轴，z轴，三轴相交于点O，使xOy45,xOz90。(2）画圆柱的两底面在xOy平面上画出底面圆O，使直径为 3 cm,在z轴上截取OO，使OO3 cm，过O作Ox的平行线Ox，Oy的平行线Oy，利用Ox与Oy画出底面圆O，使其直径为 3 cm.(3)画圆锥的顶点在z轴上取一点P，使PO等于圆锥的高 3 cm.（4）成图连接AA,BB，PA，PB，擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得到此几何体(机器部件)的直观图，如图。四、探究与拓展14.如图所示，一个水平放置的正方形ABCO，在直角坐标系xOy中，点B的坐标为（2，2）,则用斜二测画法画出正方形的直观图中,顶点B到x轴的距离为_考点平面图形的直观图题点与直观图有关的计算答案错误错误! !解析画出直观图，则B到x轴的距离为错误错误! !错误错误! !OA错误错误! !OA错误错误! !。15在水平放置的平面内有一个边长为 1 的正方形ABCD，如图，其中的对角线AC在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积考点平面图形的直观图题点与直观图有关的计算解四边形ABCD的真实图形如图所示，AC在水平位置，ABCD为正方形，DACACB45，在原四边形ABCD中，DAAC,ACBC，DA2DA2,ACAC错误错误! !，S四边形ABCDACAD2错误错误! !。尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。This article is collected and compiled by my colleagues and I in ourbusy schedule. 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