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1 高考数学知识框架思维导图第一部分第一部分 集合、算法语言、简易逻辑、复数、推理与证明、排列组合集合、算法语言、简易逻辑、复数、推理与证明、排列组合 概念 元素与集合之间的关系：， 性质 确定性、互异性、无序性 集合 集合的表示 列举法、描述法、图示法 集合间的关系 子集、相等、真子集： ， ， = ， ， 运算：交集( )、并集( )、补集() 集合的分类 有限集、无限集、空集（） 含有个元素的集合的子集个数是2， 真子集个数是2 1，非空子集个数为2 1，非空真子集的个数是2 2(，) 数轴、Venn 图、函数图象 求解（两个）集合中的参数值，注意检验： 1.是否违反互异性；2.是否违反其他条件 包含关系的各种等价表示： = = () = () = 含参数的集合满足 或 = 等情形时，要分 = 与 两种情况讨论 概括性、逻辑性、有穷性、不唯一性、普遍性 顺序结构 条件结构 循环结构 算法语言 算法的特征 程序框图 基本算法语言 算法案例 1.进制数化为十进制数：110()= + 11+ + 1 + 00 2.十进制数化为进制数：除取余法 3.() = + 11+ + 1 + 0= = ( + 1) + 2) + + 1) + 0， 0= ，= 1 + ( = 1，2，)由里向外逐层计算1，2，即可得到= () 会执行、会补充 辗转相除法、更相减损术（求最大公约数） ； 秦九韶算法（求多项式函数值） ；进位制（k 进制与十进制互化） 若 ，则是的充分条件，是的必要条件 关系 充分条件、必要条件、充要条件 一真便真 一假则假 量词 简易逻辑 命题 真假相对 全称命题：xM，p(x) 特称命题：x0M，p(x0) 否定： p q 否定： p q p： 否定 p 的结论 命题的否定 改量词，否结论 复合命题 或：p q 且：p q 非： p 全称量词 存在量词 前充分、后必要 小充分、大必要 小范围推大范围 原命题：若 p 则 q 逆命题：若 q 则 p 否命题：若p 则q 逆命题：若q 则p 互逆 互逆 互否 互否 互为逆否 等价关系 /14 高中数学知识框架思维导图 高中数学知识框架思维导图2 两个原理 分类加法计算原理和分步乘法计算原理 排列与组合 排列数：= ( 1)( + 1) =!()! 组合数：Cmn!()! 性质 CmnCnmn Cm n1CmnCm1n 二项式定理 通项公式 Tr1Crnanrbr 首末两端“等距离”两项的二项式系数相等 C0nC2nC4nC1nC3nC5n2n1 C0nC1nCnn2n 二项式系数性质 ( + )= 0+ 11 + + + + 111+ (N*). 二项式系数最大项、系数最大项 应用 捆绑法、插空法、优先法、隔板法、间接法、建模法、分类法、树状图 计算原理 求三项式( + + )的指定项：利用多项式乘法法则及组合思想求解 赋值法 系数和、二项式系数和 复 数 概念 虚数单位i （满足i2= 1） 、 复数 + i、 实部、 虚部、 实数 （ = 0） 、 虚数 （ 0） 、 纯虚数（ = 0, 0） 、实轴（轴） 、虚轴（轴） 、模|、复数集 B； 共轭复数（ = + i、 = i） ； 复数相等的充要条件： + i + i = 且 = (，R) 运算 加法：( + i)( + i)(c)(bd)i； 减法：( + i)( + i)(c)(bd)i； 乘法：( + i) ( + i)(cbd)(dbc)i； 除法： +i+i=(+i)(i)(+i)(i)=+2+2+2+2i 几何意义 复数 = + i、复平面内点 Z(,)、向量 = (,)的一一对应关系； 复数模的几何意义：| = | + i| = 2+ 2= | | (1 i)2= 2i； 1+i1i= i；1i1+i= i； + i = i( i)， 如3+4i43i=i(43i)43i= i； i的周期性. 合情推理 演绎推理 归纳 类比 三段论 大前提、小前提、结论 直接证明 综合法 分析法 由因导果 执果索因 间接证明 反证法 推理 证明 推理与证明 猜想 1.验证 = 0（初始值）命题成立； 2.若 = ( 0)时命题成立，证明 = + 1时命题也成立. 反设、归谬、结论 数学归纳法 /14 高中数学知识框架思维导图3 第二部分第二部分 函数、导数及微积分函数、导数及微积分 对数的性质与运算性质对数的性质与运算性质 1.对数的性质：log1 = 0；log = 1；log= ；log= (0 且 1)；零和负数没有对数 2.对数的运算性质(0，且 1，0，0)：log( ) = log + log； log= log log； 【log= log./1= log】 log= log(nR) 【log1 = log】 3.对数的重要公式(，c 均大于零且不等于 1， 0)： 换底公式：log =loglog；推论：log=log；log= log；log =1log 定义 表示 解析法 列表法 三要素 图象法 定义域 对应关系 值域 性质 奇偶性 周期性 对称性 单调性 1.函数在某个区间递增(或减)与单调区间是某个区间的含义不同；2.证明单调性：作差（商） 、导数法；3.复合函数的单调性； 4.快速判断常见函数的单调性（如，取倒数、开方根、乘负数） 二次函数、基本不等式、双勾函数、三角函数有界性、数形结合、单调性、导数. 指数函数、对数函数、幂函数、三角函数 赋值法、典型的函数模型 零点 建立函数模型 使解析式有意义或有实际意义 函数 求解析式：换元法、代入法、凑配法、构造方程组法 注意应用函数的单调性求值域 f (x+T)f (T)；两种对称性与周期性的“知二求一” 复合函数的单调性：同增异减 一次、二次函数、反比例函数、双勾函数 图象、性质 和应用 1.f (a+x)f (b-x)，对称轴为 =+2 2.f (a+x)+f (b-x)=c，对称中心为(+2,2) 分段探究，整体考察 平移变换： = () = ( )， = () = () ，, 0 对称变换： = () = ()， = () = ()， = () = () 翻折变换： = () = |()|， = () = (|) 伸缩变换： = () = ()， = () = () 函数图象 及其变换 : ：一对一，或多对一 映射 基本初等函数 抽象函数 复合函数 函数与方程 函数的应用 分段函数 利用对称性求函数零点的和，或求两个函数图象交点横坐标、纵坐标之和. 求根法、二分法、图象法、 二次及三次方程根的分布 零点存在性定理 作图与识图：定义域、值域、极值；奇偶性、单调性、周期性；关键点，关键线 具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称； 奇函数()在 x0 处有定义f (0)0； 偶函数()(|) 最值 /14 高中数学知识框架思维导图4 第三部分第三部分 三角函数与平面向量三角函数与平面向量 和角、差角公式，二倍角公式，降幂公式，辅助角公式 sin( ) = sincos cossin； cos( ) = coscos sinsin； tan( ) =tantan1tantan. sin2 = 2sincos；cos2 = cos2 sin2 = 2cos2 1 = 1 2sin2；tan2 =2tan1tan2. sincos =12sin2；cos2 =1+cos22；sin2 =1cos22. sin cos = 2+ 2sin( )，其中， 0其中辅助角是方程 tan =在(0，2)内的解. 三角函数 同角三角函数的关系 终边相同的角：*| = + 360， + 三角函数线 同角三角函数的关系: sin2 + cos2 = 1, sincostan 诱导公式：奇变偶不变，符号看象限 和角、差角公式，辅助角公式（sin cos） 二倍角公式， 降幂公式 （cos2 =1+cos22, sin2 =1cos22） 公式的变形、逆用、 “1”的替换 化简、求值、 证明（恒等变形） 0 2时，sin lnln 2.1+1/ ln 12. 1/( 1). 1 1 = 1 1 = 1 = 1 = ln 1 =ln 1 1 =ln /14 高中数学知识框架思维导图5 三角函数的 图象与性质 定义域 奇偶性 单调性 周期性 最值 对称轴（正切函数除外）经过函数图象的最高（或低）点且垂直 x 轴的直线，对称中心是正余弦函数图象的零点，正切函数的对称中心为(2，0)（kZ）. 正弦函数 ysin x 余弦函数 ycos x 正切函数 ytan x yAsin(x)b 图象可由正弦曲线经过平移、 伸缩得到， 但要注意先平移后伸缩与先伸缩后平移不同；图象也可以用五点作图法； 研究的取值范围问题， 可根据用五点作图法的图象分析； 最小正周期 =2|； （带绝对值的三角函数的周期是否减半，需视具体函数而言） 用整体代换求单调区间（注意的符号） ；给定区间上的单调性可根据极值点回答； 用整体代换求对称轴 =+12，对称中心为(，b)（kZ） ； 若 yAsin(x)具有奇偶性，则 = 或 = +2（二者必居其一）. 值域 图象（五点作图法） 对称性 平面向量 概念 线性运算 平面向量基本定理： = 1 1+ 2 2， 1、 2不共线 加、减、数乘 几何意义 坐标表示及运算 数量积 | | |cos =x1x2y1y2 几何意义 模 共线与垂直 共线（平行） 垂直 a b bax1y2x2y1=0 a b a b0 x1x2y1y2=0 投影 b在 a方向上的投影为| b|cos | | 设 a与 b夹角，则 cos | | | | a|(x2x1)2(y2y1)2 夹角公式 三角形中线的向量表示：中边的中点为 + = 2 两个常用小结论 已知1 ，2 不共线，若 = 1 + (1 )2 ，则1，2三点共线 等和线：已知1 ，2 不共线，若 = 1 + 2 ， + = ，设 = 1 ， = 2 ， (则 = + ，+= 1)，则，三点共线.此时直线也称为等和线. 极化恒等式： =( + )2( )24. 奔驰定理：设为内一点，则 + + = 0 （可推广到四面体中） 解决向量问题的常用方法：基底法，坐标法，平方法，构造法 | |( )的几何意义 表示 ， 共起点时向量 的终点到向量 所在直线上的点的距离. 解三角形 余弦定理：2= 2+ 2 2cos， cos =2+222 正弦定理：sin=sin=sin= 2 应用：解三角形，解的个数的讨论 12ah12absinCp(pa)(pb)(pc)=4=12( + + ) =12|21 12|，其中 R、r 分别为外接圆、内切圆半径， p+2， = (1,1)、 = (2,2).（如何求 R，r？） sin2 = sin2 + sin2 2sinsincos 面积 实际应用 方法：三角变换、均值不等式 /14 高中数学知识框架思维导图6 第四部分第四部分 数列与不等式数列与不等式 给出递推关系+1= ()，或= ()，或= ()，求通项公式问题 混合型 如果给出的是含，的混合关系式，则可利用= 1，将混合关系式统一为+1= ()，或将混合关系式统一为+1= g()（此时也就考虑先求，再求） 如，已知1= 1，且+1= +1，求.已知1= 1，且=+23，求. 【对使用变量替换、两式相减(除)得到的结论，要注意的适用范围】 提示型 如果是证明数列*g()+为等差数列或等比数列，比较简单，按等差或等比的定义去处理即可；有时是直接要求求数列*g()+的通项公式，那么则往往意味着*g()+为等差数列或等比数列或其他特殊数列，这样就可以直接去探索g(+1)与g()的递推关系. 主动型 如果直接要求通项公式，那么就需要自己主动朝等差数列或等比数列转化，即会自己构造新的数列*g()+，使之为等差数列或等比数列，这就需要我们平时积累对+1= ()的变形经验. 如果给出的是关于+2，+1，的三项之间递推关系，则应先转化为关于+1，的两项之间的递推关系. 概念 数列 表示 等差数列与等比数列性质的类比 通项公式、递推公式 图象法 列表法 通项公式 求和公式 性质 判定 ana1(n1)d anam(nm)d ana1qn1 anamqnm anamapar anamapar 前 n 项和 =(1+)2 前 n 项积(an0) Tn (a1an)n 常见递推类型及方法 累加法、或化常数列 累乘法、或化常数列 构造等比数列an1 构造等差数列 an1anf (n) an + 1an f (n) an1an pan1ananan1 化为+1+1=1转为 an + 1panqn 等比数列 an0，q0 Snna1，q1a1(1qn)1q，q1 公式法：应用等差、等比数列的前 n 项和公式 分组求和法 倒序相加法 裂项求和法:=11 错位相加法:= ( + ) = ( + ) 常见求和方法 数列是特殊的函数、增减性、周期性 1. 2(21)(2+11)=12112+11 2. +12(+2)2=14(121(+2)2) 3.(1)4(21)(2+1)= (1)(121+12+1). 与的关系 = 1 ， = 1， 1， 2 解析法：anf (n) 1+(1)2 等差数列 ,2 ,3 2, ，成等差数列 ,2 ,3 2, ，成等比数列 求和型不等式的证明，如 1+ 2+ + 0)，() = (+1)2。由于()与()的符号是一致的，所以可以先讨论()的符号，讨论标准同（1） 。在确定() 0，及() 0以后，要想确定()有零点时()的单调性，则需对()的表达式作进一步变形，即() =1(+1)2=2+(21)+(+1)2=(1)(2)(+1)2，其中1=12142，2=12+142. 3.求导后参数混合型（无限制条件下的直接因式分解型） ： 如() = ( 2)e+ ( 1)2， () = ( 1)(+ 2)， 由后一个因式有无零点得讨论标准 0， 及有零点ln(2)时与 1 的大小关系得讨论标准e2. 4.求导后参数混合型（有限制条件下的间接因式分解型） ： 如() = ln +1，() =1(+1)2=2+(21)+(+1)2( 0)，分两类讨论： （1） 0及 0（对应() 0） ，【一靠观察二靠变形计算】 ， （2）在（1）中参数取值范围的补集下，进行因式分解，并确认此时()的单调性. 5.定义域人为限制型： 如() = 2 (2 1) ln 2， ,1，4-，() = 2 (2 1) 1=22(21)1=(2+1)(1)，考虑端点是极值点：12= 1 = 12， 12= 4 = 18，讨论标准为12 ,18。 z 的几何意义： z 是直线 axbyz0 在 x 轴上截距的 a 倍， 在 y 轴上截距的 b 倍. z 的几何意义： 过可行域内一点 （,）向直线 = ， = 作垂线， 它们围成的矩形面积=| 不等式 不等式的性质 简单的线性规划 基本不等式 +2 借助二次函数的图象 三个二次的关系 可行域 目标函数 zaxby：构造截距 z：构造斜率 z(xa)2(yb)2：构造距离 应用题 最值问题 变形 和定值，积最大；积定值，和最小 应用时注意：一正二定三相等 2+ +2 2+22 z(x-a)(y-b)：构造面积 比较大小：比较法 绝对值三角不等式 | | | | | + |（常用于求最值） 柯西不等式 (2+ 2)( 2+ 2) ( + )2， = 时等号成立 一元二次不等式及其解法 解绝对值不等式 零点分段讨论法；绝对值几何意义；函数图象法 | | + | | (0)和| | + | | (0) 不等式证明方法 比较法、综合法、分析法、放缩法、 构造法、换元法、反证法、数学归纳法 /14 高中数学知识框架思维导图8 第五部分第五部分 解析几何、坐标系与参数方程解析几何、坐标系与参数方程 相离、外切 = + 、相交、内切 = 、包含.（ )） 两圆的位置关系 圆的方程 相离 0，或 dr 0，或 dr 0，或 dr 弦长公式| = 22 2 圆的标准方程：()2()22( 0) 圆的一般方程：2+ 2+ + + = 0 直线与圆的位置关系 阿波罗尼斯圆：满足| = |( 1)的点的轨迹 相交 相切 与圆有关的几个最值状态你掌握了吗？ 倾斜角和斜率 直线的方程 位置关系 直线方程的形式 斜率公式、倾斜角的变化与斜率的变化: = tan， =2121 重合 平行 相交 垂直 A1B2A2B10，C1B2C2B10 A1B2A2B10 A1A2B1B20 点斜式：yy0k(xx0) 斜截式：ykxb 两点式：121=121 截距式：+= 1 一般式：AxByC0 注意各种形式的转化和运用范围. 两直线的交点 距离 两点间的距离公式|12| = (1 2)2+ (1 2)2 点到线的距离： =|0+0+|2+2，平行线间距离： =|21|2+2 截距 注意：截距可正、可负，也可为 0. A1B2A2B10，C1B2C2B10 平行：1= 2，1 2 垂直：1 2= 1 1:1 + 1 + 1= 0. 2:2 + 2 + 2= 0. 1: = 1 + 1. 2: = 2 + 2. 对称性问题 中心对称 轴对称 点(x1，y1) 关于点(a，b)对称点(2ax1，2by1) 曲线 f (x，y)=0 关于点(a，b)对称曲线 f (2ax，2by)=0 1+22+1+22+ = 02121./= 1 特殊对称轴 xyC0 直接代入法 点(x1，y1)与点(x2，y2)关于直线 AxByC0 对称 曲线与方程 轨迹方程的求法：直接法、定义法、相关点法 圆锥曲线 椭圆 双曲线 抛物线 定义及标准方程 性质 范围、对称性、顶点、焦点、长轴（实轴） 、短轴（虚轴） 、渐近线（双曲线） 、准线（只要求抛物线） 、通径 离心率： =1 ./2. 抛物线2= 2的焦半径公式：| = 0+2=1cos 直线与圆锥曲线的位置关系 相交时韦达定理法，相切时判别式法. /14 高中数学知识框架思维导图9 直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直. 直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行. 平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直. 平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 椭圆、双曲线中的垂径定理（又称椭圆、双曲线的第三定义） 圆的垂径定理(如图 1)； 直径与端点处的切线垂直(如图 2)； 直径所对的圆周角是直角(如图 3)； 它们都含有斜率之积12= 1这个关系。 推广到椭圆、双曲线中 若焦点在轴上，则斜率之积为2 1 若焦点在轴上，则斜率之积为121. 说明：结论可用点差法证明。 图 2 图 1 图 3 弦长公式（两点间的距离公式） | = (1 2)2+ (1 2)2= 1 + 2|1 2| = 1 + 2(1+ 2)2 412= 1 + 2|； | = (1 2)2+ (1 2)2=1 + .1/2|1 2| =1 + .1/2(1+ 2)2 412 =1 + .1/2| 伸缩变换：= ，( 0)，= ，( 0). 极坐标系 直角坐标与极坐标互化： = cos = sin，2= 2+ 2 tan( 0) |12| = 12+ 22 21 2cos(2 1)； 12=12|12sin(2 1)|(，)， = 1，2 参数方程 椭圆： = cos， = sin( 为参数) 直线： = 0+ cos， = 0+ sin(为参数) = ()， = g()(为参数) 常见曲线的参数方程 坐标系 圆： = + cos， = + sin ( 为参数) 直线： = 0+ ， = 0+ (为参数) = 0|2+2， = 0+|2+2(为参数，的符号确定，即正“+”负“”) /14 高中数学知识框架思维导图10 第六部分第六部分 立体几何立体几何 异面直线所成的角 直线与平面所成的角 二面角的平面角 范围：(0，90 范围：0，90 范围：(0，180) 点到面的距离 直线与平面的距离 平行平面之间的距离 相互之间的转化 cos| | | | sin| | | | cos1 2 |1 |2 | =| | | 空 间 向 量 空 间 直 角 坐 标 系 空间的距离 空间的角 空间向量基本定理: ，其中 ，为空间的一个基底 若 = + + ( + + = 1)，P，A，B，C 四点共面. 点与线 空间点、 线、面的 位置关系 点在直线上，或点在直线外，或 点与面 点在平面内，或点在平面外，或 线与线 共面直线 异面直线 没有公共点 只有一个公共点 线与面 平行/ 相交 = 只有一个公共点 没有公共点 直线在平面外 直线在平面内 面与面 平行/ 相交 = 垂直关系的相互转化 证明 平行关系的相互转化 线线 平行 线面 平行 面面 平行 线线 垂直 线面 垂直 面面 垂直 无数个公共点 没有公共点 相交 = 平行/ 综合法、基底法、坐标法 空间几何体 柱体 棱柱 圆柱 设1，2分别经过圆心1，2， 且1圆面1，2圆面2， 则1与2的交点为球心. 台体 棱台 圆台 锥体 棱锥 圆锥 球 直观图（斜二测画法） ： = 22 侧面积、表面积 三视图：长对正、高平齐、宽相等 根据三视图还原几何体的步骤 1.选一个视图扩充成几何体（通常为直棱柱） ； 2.对照三个视图对该几何体进行删点、补点，再连线成体. 柱体： = 体积 结构特征 台体： =13( + + ) 锥体： =13 球： =433 外接球球心的定位 /14 高中数学知识框架思维导图11 第七部分第七部分 统计与概率统计与概率 统计 随机抽样 抽签法 随机数表法 简单随机抽样 系统抽样 分层抽样 共同特点：抽样过程中每个个体被抽到的可能性（概率）相等 用样本估计总体 样本数字特征估计总体 众数、中位数、平均数 期望、方差2、标准差 变量间的相关关系 两个变量的线性相关 回归直线 = + 过样本中心点(, ) 正态分布：(,2)， = ()，2= ()；对称轴 = ；3原则 列联表（22）独立性分析、等高条形图 散点图 样本频率分布估计总体 二项分布：(,) 总体密度曲线 茎叶图 正态分布：(,2) 频率分布表和频率分布直方图 概率 概率的基本性质 互斥事件， P(AB)P(A)P(B) 对立事件，P()1P(A) 古典概型：() =包含的基本事件的个数基本事件的总数=()() 几何概型：() =构成事件的区域长度(面积或体积或角度)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积或角度) 事件的独立性 用随机模拟法求概率、求面积 随机变量 两点分布 XB(1，p) E(X)p，D(X)p(1p) E(X)np，D(X)np(1p) E(X)n，D(X).1 /1 n 次独立重复试验恰好发生 k 次的概率为 Pn(k)Ckn pk(1p)nk 超几何分布 P(A B)P(A)P(B) (|) =()() P(X=k)Ckn pk(1p)nk XB(n，p) ( = ) = XH(N，M，n) 性质：若 YaXb，则 E(Y)aE(X)b，D(Y)a2D(X). 期望()= =1，方差() =1( ()2 条件概率 期望、方差 常用的分布 离散型随机变量分布列及其性质 二项分布 /14 高中数学知识框架思维导图12 第八部分第八部分 数学思想方法数学思想方法 常见题型的解题规律或方法集锦常见题型的解题规律或方法集锦 1.求多面体外接球半径的常见模型： （掌握了常见模型，就不一定要画外接球与多面体的直观图） （1）截面圆的半径、大圆半径可由正弦定理 =2sin求出； （2）必要时可将多面体补形为共外接球的特殊几何体. （3）多面体内切球的半径一般用等体积法求. 2.同构不等式：若() 0能等价变形为,g()- ,()-，然后利用()的单调性，如递增，再转化为g() ()， 这种方法就称为同构不等式，简称同构法. 近似估算法(可能性) 逻辑分析法(充要条件) 数形结合法 特值检验法(定值问题) 逆推代入法(淘汰法) 求解对照法(直接法) 选择题的解法 合理存在性法(针对选项) 特征分析法(针对选项) 四 个 选 项有 极 大 的参考价值！千 万 不 要小题大做！ 2+ 2+ 2= (2)2. 1 1 1 1 2= 2 2. d 数学方法 割补法 构造法 分子常数化 分离参数法 数学归纳法 待定系数法 放缩法 等积法 判别式法 反证法 解析法 归纳法 配方法 换元法 分析法 比较法 综合法 定义法 数学思想 或然与必然的思想 特殊与一般的思想 有限与无限的思想 正难则反的思想 数形结合的思想 分类与整合的思想 函数与方程的思想 转化与化归的思想 等价转化法 特例法(定值问题) 直接法 填空题的解法 数形结合法 数学语言 相互转换 普通语言相符号语言 图形语言 h-R = 2+ ( )2= 2 由sin= 2求 h 若 圆 面，则 2= (2)2 (2)2， 或2= 2 2. 1 2 1 2 1 /14 高中数学知识框架思维导图13 3. 极点与极线的性质：关于二次曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）的“四线一方程” 一般变换 已知二次曲线：2+ + 2+ + + = 0，点(0，0)，对二次曲线的方程作如下变换： 平方项：2替换为0，2替换为0；一次项：替换为+02，替换为+02；替换为0+02. 得到直线：0 + 0+02+ 0 + +02+ +02+ = 0，记为 (，) = 0 常用变换 对于圆：2+ 2+ + + = 0，点(0，0)， 直线：0 + 0 + +02+ +02+ = 0； 对于椭圆：22+22= 1，点(0，0)， 直线：02+02= 1； 对于双曲线：2222= 1，点(0，0)， 直线：0202= 1； 对于抛物线：2= 2，点(0，0)， 直线：0 = ( + 0). 几何含义 当(0，0)在曲线上时，为曲线的切线方程切线方程； 当(0，0)在曲线包围的区域外时，为过作曲线的两切线后经过两个切点的切点弦方程切点弦方程； 当(0，0)在曲线包围的区域内时，为过的动弦12两个端点为切点的两切线交点的轨迹方程切线交点的轨迹方程； 当(0，0)为曲线的弦中点时，中点弦所在直线方程为(，) (0，0) = 0中点弦方程中点弦方程. . 说明 点又叫极点，直线又叫极线；若极线方程含参数，则极线过定点. 4. 伸缩变换中椭圆与圆的对应关系 椭圆、双曲线中的数量（变换前） 伸缩变换 圆、等轴双曲线中的数量（变换后） 方程2222= 1 2 ()2= 2 令 = =， 则 = = 【说明】 这样变换只对 纵坐标及 与纵坐标有关 的结论有影响. 方程2 2= 2 直线 + + = 0 直线+ + = 0 点(0，0) 点(0，0) 点(0，0) 点(0，0) 斜率 = 斜率= 面积 = 面积= 弦长| = 1 + 2|1 2| 弦长| = 1 + 2|1 2| 变换前后的弦长关系：|=1+21+2 直线与椭圆的关系需不需要变换为直线与圆的关系， 关键在于能不能利用圆的相关性质解决变换后的问题 掌握：相交弦定理，割线定理，切割线定理，垂径定理；圆心角，圆周角，弦切角定理 5. 成立与恒成立问题，即函数有无零点，方程有解、无解，不等式成立、恒成立，求参数取值范围，一般优先考虑分离参数法： 若 ()恒成立，则 ,()-max； 若 ()恒成立，则 ,()-min； 若 = ()有解，则 *| = ()+； 若 = ()无解，则 *| = ()+； 若 ()成立，则 ,()-min； 若 ()成立，则 ,()-max 解决含参数问题的常用方法：分离参数法；分离函数法；含参转化法 /14 高中数学知识框架思维导图14 6. 洛必达法则，一个很实用的法则，主要用于求分式函数()g()在 时，00型或型的极限，可反复循环使用. 若lim() = 0 且limg() = 0 ，则lim()g()= lim() g() （可以为常数，也可以为） 若lim() = 且limg() = ，则lim()g()= lim()g() （可以为常数，也可以为） 用分离参数法（避免分类讨论）解决成立、或恒成立命题时，经常需要求在区间端点处的函数（最）值，若出现00或时，就必须用洛必达法则！ 7函数凹凸性定义及性质：设()在区间上连续，如果对上任意两点1，2， （1）凹函数：(1+22) (1)+(2)2 ()在上的图形是（向上）凹的 () 0（即切线的斜率递增） 如图 1 （2）凸函数：(1+22) (1)+(2)2 ()在上的图形是（向上）凸的 () 0（即切线的斜率递减） 如图 2 其中的不等式又叫琴生不等式. 若()在 = 0处取得极值(0) = 0)，且(0) 0，则(0)为极小值； 若()在 = 0处取得极值(0) = 0)，且(0) 0？所谓超越型不等式， 就是不能不能通过等价变形， 变成一元一次不等式或一元二次不等式，或变成可解的特殊的三角函数不等式由ln，e， ，2+ + ， + ，sin，cos等其中几个组合成的不等式，可称为超越型不等式 一般来说，解超越型不等式，主要注意以下两个方面： 确定函数()的定义域，并观察出函数()的零点，常见零点有 = 0，1，e等； 确定()的单调性，结合，即可求出() 0的解集 如何解超越型方程() = 0？如果在研究函数问题中出现了超越型方程() = 0，而通过观察又可以找到一个满足这个方程的根，那么这个根极有可能是方程的唯一根，然后要做的工作就是研究函数 = ()的单调性. 图 1 1 2 1+ 22 图 2 1+ 22 1 2 满足(0) = 0的实数0， 叫做函数()的拐点. /14 高中数学知识框架思维导图