195角的平分线1.ppt
动动 动动 脑脑如图三条公路，要求在如图三条公路，要求在M区建一个大型超级购物中心区建一个大型超级购物中心G到到这三条公路的距离都相等这三条公路的距离都相等.请问该如何找这一目标？请问该如何找这一目标？M公路3公路2公路1新华初级中学新华初级中学19.5 19.5 角的平分线角的平分线CBAOMDE而OPDOPE的条件由已知易知它满足公理(AAS). 故结论可证.分析:要证明PD=PE,只要证明它们所在的OPDOPE，P PA AO OB BC CE ED D证明在角平分线上的点到角的两边的距离相等证明在角平分线上的点到角的两边的距离相等已知已知: : 如图如图,OC,OC是是AOBAOB的平分线的平分线,P,P是是OCOC上任意一点上任意一点, , PDOA, PEOB, PDOA, PEOB, 垂足分别是垂足分别是D,E. D,E. 求证求证:PD=PE.:PD=PE.P PA AO OB BC CE ED D已知已知: : 如图如图,OC,OC是是AOBAOB的平分线的平分线,P,P是是OCOC上任意一点上任意一点, PDOA, , PDOA, PEOB, PEOB, 垂足分别是垂足分别是D,E. D,E. 求证求证:PD=PE.:PD=PE.证明：证明：OC平分平分 AOB （已知）（已知） 1= 2（角平分线的定义）（角平分线的定义） PD OA，PE OB（已知）（已知） PDO= PEO（垂直的定义）（垂直的定义） PDO= PEO（已证）（已证） 1= 2 （已证）（已证） OP=OP （公共边）（公共边） PDO PEO（A.A.S） PD=PE（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）在在PDO和和PEO中中12证明在角平分线上的点到角的两边的距离相等证明在角平分线上的点到角的两边的距离相等角角 平平 分分 线线 定定 理理在角平分线上的点到角的两边的距离相等在角平分线上的点到角的两边的距离相等用数学语言表示为：用数学语言表示为：P PA AO OB BC CE ED D 点点P P在在AOBAOB的平分线上的平分线上, , PD PDPE PE （在角的平分线上的点到（在角的平分线上的点到这个角两边距离相等）这个角两边距离相等）PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,例例 题题 讲讲 解解 例例1 1 已知：如图，点已知：如图，点P P、D D在在AOBAOB的平分线上，的平分线上，OA=OBOA=OB，PMBD,PNADPMBD,PNAD，垂足分别是点，垂足分别是点M M、N.N. 求证求证: :（1 1）BDO=BDO=ADO;ADO; （2 2）PM=PN.PM=PN.O ON NM MB BA AP PD D证明：证明： （1 1） 点点P、D在在AOB的平分线上（已知）的平分线上（已知） OD为为AOB的平分线的平分线 1=2（角平分线的定义）（角平分线的定义）12在在OBD和和OAD中中OA=OB（已知）（已知） 1=2（已证）（已证）OD=OD（公共边）（公共边） OBD OAD（S.A.S） BDO=ADO （全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等）例例 题题 讲讲 解解 例例1 1 已知：如图，点已知：如图，点P P、D D在在AOBAOB的平分线上，的平分线上，OA=OBOA=OB，PMBD,PNADPMBD,PNAD，垂足分别是点，垂足分别是点M M、N.N. 求证求证: :（1 1）BDO=BDO=ADO;ADO; （2 2）PM=PN.PM=PN.O ON NM MB BA AP PD D（2 2） BDO=ADO （已证）（已证） OD为为ADB的平分线的平分线 12 PMBD,PNAD（已知）（已知） PM=PN （在角的平分线上的点到这个（在角的平分线上的点到这个角两边距离相等）角两边距离相等）角角 平平 分分 线线 定定 理理逆命题：逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角到角两边距离相等的点，在这个角角的平分线可以看作是在这个角角的平分线可以看作是在这个角的内部（包括顶点）到角两边距的内部（包括顶点）到角两边距离相等的点的集合离相等的点的集合A AOOB BE EDD在角平分线上的点到角的两边的距离相等在角平分线上的点到角的两边的距离相等逆定理：逆定理：P P在一个角的在一个角的内部（包括顶点）内部（包括顶点）的平分线上的平分线上.QQ逆逆 定定 理理 用数学语言表示为：用数学语言表示为： PDPDPEPE，PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,点点OPOP是是AOBAOB的平分线的平分线（在一个角的内部（在一个角的内部（包括顶点）到角的两边的距离相等的点在角（包括顶点）到角的两边的距离相等的点在角的平分线上）的平分线上）在一个角的内部（包括顶点）到角的两边的距离在一个角的内部（包括顶点）到角的两边的距离相等的点在角的平分线上相等的点在角的平分线上P PA AO OB BC CE ED DD DE EA AO OC CB BE ED D例例 题题 讲讲 解解 证明：过点证明：过点O作作OFAC，垂足为点，垂足为点F. OD=OFOD=OF（等量代换）（等量代换）点点O O在在C C的平分线上的平分线上（在一个角的内部且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上）（在一个角的内部且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上）. .例例2 2 已知：如图AO、BO分别是BAC、ABC的平分线， ODBC，OEAB，垂足分别为D、E.求证：点O在C的平分线上.AOAO、BOBO分别是分别是BACBAC、ABCABC的平分线的平分线( (已知已知) ) OEAB OEAB，ODBCODBC（已知）（已知）,OFAC(,OFAC(所作所作) ) OE=ODOE=OD，OE=OFOE=OF（在角的平分线上的点到这个角（在角的平分线上的点到这个角两边距离相等）两边距离相等）F F 证明：证明：过点过点O O作作ODBCODBC，OEABOEAB， OFACOFAC，垂足分，垂足分别为别为D D、E E 、F.F.动动 动动 脑脑如图三条公路，要求在如图三条公路，要求在M区建一个大型超级购物中心区建一个大型超级购物中心G到到这三条公路的距离都相等这三条公路的距离都相等.请问该如何找这一目标？请问该如何找这一目标？M公路3公路2公路1动动 动动 脑脑如图三条公路，要求在如图三条公路，要求在M区建一个大型超级购物中心区建一个大型超级购物中心G到到这三条公路的距离都相等这三条公路的距离都相等.请问该如何找这一目标？请问该如何找这一目标？M公路3公路2公路1ACBG深化新知，学以致用深化新知，学以致用深化新知，学以致用深化新知，学以致用 动动 动动 手手如图，要在如图，要在M区建一个大型超级购物中心区建一个大型超级购物中心G，使它到两条公路，使它到两条公路的距离相等，离两公路交叉处的距离相等，离两公路交叉处1000米，这个超级购物中心应建米，这个超级购物中心应建于何处（在图上标出点于何处（在图上标出点G的位置，比例的位置，比例尺尺1：50000）？）？ M公路1公路2例例2 2 已知：如图AO、BO分别是BAC、ABC的平分线， 求证：点O在C的平分线上.A AO OC CB B 例例3 3 如图，已知ABC的外角BAE 和ABD的平分线相交于点O， 求证：点O在DCE的平分线上 E ED DO O证明：证明：过点过点O O作作OGAEOGAE于于G G，OHABOHAB于于H H，OMBDOMBD于于M M点点O O在在BAEBAE的平分线上，的平分线上，OGAEOGAE， OHABOHABOGOGOH(OH(在角的平分线上的点到这个在角的平分线上的点到这个角两边距离相等角两边距离相等) )又又点点O O在在ABDABD的平分线上，的平分线上，OHABOHAB， OMBDOMBDOHOHOM OM (在角的平分线上的点到这个在角的平分线上的点到这个角两边距离相等角两边距离相等)OGOGOM OM （等量代换）（等量代换）点点O O在在DCEDCE的平分线上的平分线上（在一个角的内部且到角两边距离相等的点，在这个角（在一个角的内部且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上）的平分线上） G GH HM MM公路1公路2找找 一一 找找公路3要求在要求在M M区建一个大型超级购物中心区建一个大型超级购物中心G G到这三条公路的距离到这三条公路的距离都相等都相等. .请问该如何找这一目标？请说明理由请问该如何找这一目标？请说明理由. . G G公路1公路2试试 一一 试试公路3若在三条公路的周边建造到三条公路距离相等的大型超级若在三条公路的周边建造到三条公路距离相等的大型超级购物中心购物中心G G，有几种方案？，有几种方案？1432答：答：4种种小小 结结小结：小结：角平分线定理：角平分线定理： 在角平分线上的点到角的两边的距离相等在角平分线上的点到角的两边的距离相等用数学语言表示为：用数学语言表示为：P PA AO OB BC CE ED D 点点P P在在AOBAOB的平分线上的平分线上, , PDOA,PEOB, PDOA,PEOB, PD PDPE PE （在角的平分线上的点到这个（在角的平分线上的点到这个角两边距离相等）角两边距离相等）逆定理：逆定理： 在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边的在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上距离相等的点，在这个角的平分线上用数学语言表示为：用数学语言表示为： PDPDPEPE，PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,点点OPOP是是AOBAOB的平分线的平分线（在一个角的内（在一个角的内部（包括顶点）到角的两边的距离相等的部（包括顶点）到角的两边的距离相等的点在角的平分线上）点在角的平分线上）P PA AOOB BC CE EDD小小 结结练习册、堂堂练：练习册、堂堂练： 19.519.5（1 1） 角的平分线角的平分线作业：作业：作作 业业新华初级中学新华初级中学
