[名校联盟]山东省巨野一中高二数学选修2-3《132“杨辉三角”与二项式系数的性质》课件.ppt
普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修2-3 1.3 二项式定理二项式定理项？共有几项，分别是第几的正整数次幂的项的展开式中，含xxx123).(25.5.42340123423)若xaa xa xa xa x 1 1 （, ,则则2202413)()aaaaa （的值是的值是_._.1.求求(1 + x + x2)(1x)10展开式中含展开式中含 x 项的系数项的系数3.3.求求(1+(1+x)+(1+)+(1+x) )2 2+ +(1+(1+x) )1010展开式中展开式中x3 3的系数的系数6.若若( x + 1 )n = x n + ax3 + bx2 +1(nN*)， 且且 a : b=3 : 1 ，那么，那么 n =_ （95上海高考）上海高考） 1008 4. 4.今天是星期三，那么今天是星期三，那么 天后天后的这一天是星期几？的这一天是星期几？2.2., ,则则普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修2-3 1.3 二项式定理二项式定理1.3.2 “1.3.2 “杨辉三角杨辉三角”与二项式系数的性质与二项式系数的性质普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修2-3 1.3 二项式定理二项式定理一般地，对于一般地，对于n N*有有011222()nnnnnnnrnrrnnnnabC aC abC abC abC b 二项定理二项定理:新课引入新课引入二项展开式中的二项式系数指的是那些？共二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？有多少个？ 下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过观察们先通过观察n为特殊值时，二项式系数有什么特为特殊值时，二项式系数有什么特点？点？学科网学科网普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修2-3 1.3 二项式定理二项式定理(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6议一议议一议1 1）请看系数有没有明显的规律？）请看系数有没有明显的规律？2 2）上下两行有什么关系吗？上下两行有什么关系吗？ 3 3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修2-3 1.3 二项式定理二项式定理每行两端都是每行两端都是1 Cn0= Cnn=1从第二行起，每行除从第二行起，每行除1以外的每一个数都等以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和于它肩上的两个数的和 Cn+1m= Cnm + Cnm-1(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6+普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修2-3 1.3 二项式定理二项式定理详解九章算法详解九章算法中记载的表中记载的表杨杨 辉辉杨辉三角杨辉三角普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修2-3 1.3 二项式定理二项式定理 展开式的二项式展开式的二项式系数依次是：系数依次是： nba)( nnnnnC,C,C,C210 从函数角度看，从函数角度看， 可看可看成是以成是以r为自变量的函数为自变量的函数 , ,其定义域是：其定义域是： rnC)(rfn, 2 , 1 , 0 当当 时，其图象是右时，其图象是右图中的图中的7个孤立点个孤立点6n学学. .科科. .网网普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修2-3 1.3 二项式定理二项式定理对称性对称性 与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两个二项式系数相等的两个二项式系数相等 这一性质可直接由公式这一性质可直接由公式 得到得到mnnmn CC图象的对称轴：图象的对称轴：2nr 普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修2-3 1.3 二项式定理二项式定理2、若（、若（a+b）n的展开式中，第三项的二项的展开式中，第三项的二项式系数与第七项的二项式系数相等，式系数与第七项的二项式系数相等，知识对接测查知识对接测查11、在、在(ab)展开式中，与倒数第三项二展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是项式系数相等是( )A 第项第项 B 第项第项 C 第项第项 D 第项第项则则n=_B8普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修2-3 1.3 二项式定理二项式定理增减性与最大值增减性与最大值 !C! ()!knnknk 由于由于：所以所以 相对于相对于 的增减情况由的增减情况由 决定决定knC1Cknkkn1由由：2111nkkkn 即二项式系数即二项式系数前前半部分半部分是是逐渐增大逐渐增大的，由对称性可知它的的，由对称性可知它的后后半部分是半部分是逐逐渐减小渐减小的，且的，且中间项取得最大值中间项取得最大值。21nk 可知，当可知，当 时，时，111!C()! ()!knnknk Z.x.x.kZ.x.x.kZ.x.x.kZ.x.x.k普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修2-3 1.3 二项式定理二项式定理 因此因此, ,当当n为偶数时为偶数时, ,中间一项的二项式中间一项的二项式2Cnn系数系数 取得最大值；取得最大值； 当当n为奇数时为奇数时, ,中间两项的二项式系数中间两项的二项式系数 12Cnn 12Cnn 相等，且同时取得最大值。相等，且同时取得最大值。增减性与最大值增减性与最大值 普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修2-3 1.3 二项式定理二项式定理1.在在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为的展开式中，二项式系数最大为 ； 在在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为的展开式中，二项式系数最大为 .510C611C511C3.在二项式在二项式(x-1)11的展开式中的展开式中,求系数最小的项求系数最小的项的系数。的系数。462462C C5 51111最大的系数呢？最大的系数呢？知识对接测查知识对接测查22.指出（指出（a+2b）15的展开式中哪些项的二项式的展开式中哪些项的二项式系数最大，并求出其最大的二项式系数系数最大，并求出其最大的二项式系数最大最大。解解: 第第8、9项的二项式系数项的二项式系数815715CC 与即即6435最大。最大。611462C 普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修2-3 1.3 二项式定理二项式定理 418 444454 118313060TTCxxx 变式变式:若将若将“只有第只有第10项项”改为改为“第第10项项”呢？呢？43110,nxx 4.4.已已知知的的展展开开式式中中只只有有第第项项系系数数最最大大求求第第五五项项为偶数依题意 n,110182,.nn 且且解Zx.xkZx.xkZx.xkZx.xk普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修2-3 1.3 二项式定理二项式定理各二项式系数的和各二项式系数的和 在二项式定理中，令在二项式定理中，令 ，则：，则： 1bannnnnn2CCCC210 这就是说，这就是说， 的展开式的各二项式系的展开式的各二项式系数的和等于数的和等于：nba)( n2同时由于同时由于 ，上式还可以写成：，上式还可以写成：1C0n12CCCC321nnnnnn这是组合总数公式这是组合总数公式 z.xx.k z.xx.k普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修2-3 1.3 二项式定理二项式定理例例 证明在证明在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。数的和等于偶数项的二项式系数的和。在二项式定理中，令在二项式定理中，令 ，则：，则： 1, 1 bannnnnnnnCCCCC) 1(113210 nnnrrnrnnnnnnbCbaCbaCaCba 110)()()(03120 nnnnCCCC证明：证明：1222 nn3 3n n1 1n n2 2n n0 0n nC CC CC CC C普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修2-3 1.3 二项式定理二项式定理121010101013579111111111111111._;_ .CCCCCCCCC 1021024 1021 1023 知识对接测查知识对接测查3 2.求证：求证：01212312 2nnnnnnCCCnCn证明：证明：0122231nnnnnCCCnC01201123112nnnnnnnnnnnCCCnCnCnCCC0122()nnnnnnCCCC22nn01212311 2nnnnnnCCCnCn倒序相加法倒序相加法 z.xx.k z.xx.k普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修2-3 1.3 二项式定理二项式定理(1)二项式系数的三个性质二项式系数的三个性质 (2) 数学思想：函数思想数学思想：函数思想 a 单调性；单调性； b 图象；图象；c 最值。最值。 各各二二项项式式系系数数的的和和增增减减性性与与最最大大值值对对称称性性小结小结普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修2-3 1.3 二项式定理二项式定理6、已知、已知a,bN，m,n Z ，且，且2m + n = 0，如果二，如果二项式项式( ax m + bx n )12 的展开式中系数最大的项恰好是的展开式中系数最大的项恰好是常数项，求常数项，求 a : b 的取值范围。的取值范围。 nrrmrrrrnrmrrxbaCbxaxCT )12(121212121)()(解：解：令令m (12 r )+ nr = 0，将，将 n =2m 代入，解得代入，解得 r = 4故故T5 为常数项，且系数最大。为常数项，且系数最大。 的系数的系数的系数的系数的系数的系数的系数的系数6545TTTT 57512484123931248412baCbaCbaCbaC即即4958 ba解得解得 z.xx.k z.xx.k
