23等腰三角形(二).ppt
2.32.3等腰三角形的性质有哪些？等腰三角形的性质有哪些？(1)从边看：从边看： 等腰三角形等腰三角形两边相等两边相等（定义）；（定义）；等腰三角形等腰三角形两底角相等两底角相等（性质定理）；（性质定理）；(2)从角看：从角看：(3)从重要线段看：从重要线段看：等腰三角形底边上的等腰三角形底边上的高高、底边上的、底边上的中线中线与与顶顶角的平分线角的平分线互相重合（互相重合（三线合一三线合一）；）；(4)从特殊图形看：从特殊图形看：等边三角形等边三角形每个角都相等每个角都相等并且每个角都等于并且每个角都等于60。(5)从对称性看：从对称性看：等腰三角形是等腰三角形是轴对称图形轴对称图形，对称轴是，对称轴是顶角平分线顶角平分线所在的直线所在的直线。等边三角形有。等边三角形有三条三条对称轴。对称轴。我测量后发现我测量后发现AB与与AC相等相等.3cm3cm探究探究 我们知道，等腰三角形的两底角相等，我们知道，等腰三角形的两底角相等，反过来，两个角相等的三角形是等腰三角形吗反过来，两个角相等的三角形是等腰三角形吗？ 如图，在如图，在ABC中，如果中，如果B=C，那么，那么AB与与AC之间有什么关系吗之间有什么关系吗？如何证明如何证明AB= =AC？事实上，如图，在事实上，如图，在ABC中，中，B=C. 沿过点沿过点A的直线把的直线把BAC对折，对折，得得BAC的平分线的平分线AD交交BC于点于点D，则则1=2. 又又B=C，由三角形内角和的性质得由三角形内角和的性质得ADB=ADC.D12沿沿AD所在直线折叠，所在直线折叠，由于由于ADB=ADC，1=2，所以射线所以射线DB与射线与射线DC重合，重合，射线射线AB与射线与射线AC重合重合.从而点从而点B与点与点C重合，重合，于是于是AB=AC.结论结论三个角都是三个角都是60的三角形是等边三角形的三角形是等边三角形.由此并且结合三角形内角和定理，还可以得到等边三角由此并且结合三角形内角和定理，还可以得到等边三角形的判定定理：形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形有两个角相等的三角形是等腰三角形( (简称简称“等角对等边等角对等边”).”).举举例例例例1 已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，AB=AC，点，点D，E分别是分别是AB，AC上的点，且上的点，且DEBC. 求证：求证：ADE为等腰三角形为等腰三角形.证明证明 AB=AC， B=C.又又 DEBC， ADE=B，AED=C. ADE=AED.于是于是ADE为等腰三角形为等腰三角形. 有一个角是有一个角是60的等腰三角形是的等腰三角形是等边三角形吗等边三角形吗？为什么为什么？动脑筋动脑筋如图，在等腰三角形如图，在等腰三角形ABC中，中，AB=AC.由三角形内角和定理得由三角形内角和定理得 A+B+C= 180.如果顶角如果顶角A=60，则则B+C= 180- -60=120.又又 AB=AC， B=C. B=C=A=60. ABC是等边三角形是等边三角形.结论结论由此得到另一条等边三角形的判定定理：由此得到另一条等边三角形的判定定理：有一个角是有一个角是60的等腰三角形是等边三角形的等腰三角形是等边三角形例例2 已知：如图，已知：如图，ABC是等边三角形，点是等边三角形，点D，E分别在分别在BA，CA的延长线上，且的延长线上，且AD=AE. 求证：求证：ADE是等边三角形是等边三角形.举举例例证明证明 ABC是等边三角形，是等边三角形，BAC=B=C= 60.EAD=BAC= 60，又又 AD =AE，ADE是等边三角形是等边三角形（ ）练习练习1. 已知：等腰三角形已知：等腰三角形ABC的底角的底角ABC和和 ACB的平分线相交于点的平分线相交于点O. 求证：求证：OBC为等腰三角形为等腰三角形.ABCDEO证明证明: : ABC和和ACB的平分线相交于点的平分线相交于点O， ABD =DBC= ，12ABC又又 ABC是等腰三角形，是等腰三角形， DBC =ECB， OBC是等腰三角形是等腰三角形. ABC =ACB，12ACBACE =ECB= 2、如图，在ABC中，ACB和ACB的平分线相交于点D，且DB=DC，请说明AB=AC的理由. ABCD3. 已知：如图，已知：如图，CD平分平分ACB，AEDC，AE 交交BC的延长线于点的延长线于点E，且，且ACE= 60. 求证：求证：ACE是等边三角形是等边三角形.证明证明CD平分平分ACB， 在在ACE中，中，CAE= 180- - E - -ACE =60 又又ACE=60， E=DCB=60， ACD =DCB， ACD=DCB=60，又又 AEDC， CAE = ACE=E=60 ACE是等边三角形是等边三角形.4、已知：如图，、已知：如图，ADBC，BD平分平分ABC。求证：求证：AB=ADADBC1235. 已知：如图已知：如图，AB=BC ，CDE= 120， DFBA且且DF平分平分CDE.求证：求证：ABC是等边三角形是等边三角形.证明证明 AB=BC，ABC是等边三角形是等边三角形.又又CDE=120，DF平分平分CDE. FDC=ABC=60， ABC是等腰三角形，是等腰三角形， EDF=FDC=60， 又又DFBA，6 6、求证：如果三角形一个外角的平分线、求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。是等腰三角形。ABCED12已知：已知：EAC是是ABC的外角，的外角，1=2，ADBC，求证：，求证：AB=AC7.7.已知：如图已知：如图, ,在等边三角形在等边三角形ABC的的AC边上的取中点边上的取中点D,BC的延长线上取一点的延长线上取一点E,E,使得使得CE=CD.求证：求证：BD=DE.证明：证明：ABC是等边三角形是等边三角形,D是是AC中中点点ACB=60,CBD=30CD=CE E=CDEBCD=E+CDE=2E=60E=30=CBD BD=DE8、上午上午10时，一条船从时，一条船从A处出发以处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达时到达B处，从处，从A、B望灯塔望灯塔C，测，测得得NAC=40，NBC=80，求从，求从B处到灯塔处到灯塔C的距离的距离8040CABN北北 1 1、如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠，、如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠， 重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？由折叠可知：由折叠可知：EBD=CBD，在矩形在矩形ABCD中，中，ADBC，则，则CBD=FDB,所以所以FDB=EBD 所以所以BF=DFABCDEF2、如图，在ABC中，BO、CO分别平分ABC和ACB，DE过点O，且DEBC.（1）图中共有几个等腰三角形？选其一加以说明.（2）试说明ADE的周长与AB+AC的关系.（3）若AC=13cm，AB=10cm，求ADE的周长.ABCDEO小结小结1、这节课我们学习了什么？、这节课我们学习了什么？2 2、等腰三角形的判定定理和性质定理有何联系？、等腰三角形的判定定理和性质定理有何联系？作业：作业：P66 A 5、6、7 B 9、10 定理：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等所对的边也相等( (等角对等边）。等角对等边）。 推论推论1 1：三个角相等的三角形是等边三角形。三个角相等的三角形是等边三角形。 推论推论2 2：有一个角等于有一个角等于6060的等腰三角形是等边三角的等腰三角形是等边三角形形
