(2021年整理)证明圆的切线方法.pdf
证明圆的切线方法证明圆的切线方法证明圆的切线方法编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心， 本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的， 发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望 （证明圆的切线方法）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以下为证明圆的切线方法的全部内容。1证明圆的切线方法证明圆的切线方法我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题,就是证明一直线是圆的切线。在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有：一、若直线一、若直线 l l 过过O O 上某一点上某一点 A A，证明，证明 l l 是是O O 的切线，只需连的切线，只需连 OAOA，证明，证明 OAOAl l 就行了，就行了，简称简称“连半径，证垂直”“连半径，证垂直” ，难点在于如何证明两线垂直难点在于如何证明两线垂直. .例例 1 1如图，在ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的O 交 BC 于 D，交 AC 于 E,B 为切点的切线交 OD 延长线于 F。求证：EF 与O 相切。证明证明: :连结 OE，AD。AB 是O 的直径，ADBC。又AB=BC，3=4.BD=DE，1=2.又OB=OE，OF=OF，BOFEOF（SAS）.OBF=OEF.BF 与O 相切，OBBF。OEF=90 .EF 与O 相切。说明说明: :此题是通过证明三角形全等证明垂直的20证明圆的切线方法例例 2 2如图，AD 是BAC 的平分线，P 为 BC 延长线上一点，且 PA=PD。求证:PA 与O 相切.证明一：证明一：作直径 AE,连结 EC.AD 是BAC 的平分线，DAB=DAC。PA=PD，2=1+DAC.2=B+DAB，1=B.又B=E,1=EAE 是O 的直径，ACEC，E+EAC=900。1+EAC=900。即 OAPA。PA 与O 相切.证明二：证明二：延长 AD 交O 于 E,连结 OA,OE。AD 是BAC 的平分线，BE=CE，OEBC.E+BDE=900。OA=OE，3证明圆的切线方法E=1.PA=PD,PAD=PDA。又PDA=BDE,1+PAD=900即 OAPA.PA 与O 相切说明：说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.例例 3 3如图,AB=AC，AB 是O 的直径，O 交 BC 于 D,DMAC 于 M求证：DM 与O 相切。证明一：证明一：连结 OD.AB=AC，B=C。OB=OD，1=B.1=C。ODAC。DMAC，DDMOD。DM 与O 相切证明二：证明二：连结 OD，AD.AB 是O 的直径，ADBC。4证明圆的切线方法又AB=AC，1=2。CDMAC，2+4=90OA=OD，1=3.3+4=90 。即 ODDM.DM 是O 的切线00说明：说明：证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用已知及图上已知.例例 4 4如图，已知：AB 是O 的直径,点 C 在O 上,且CAB=30 ，BD=OB，D 在 AB 的延长线上.求证：DC 是O 的切线证明：证明：连结 OC、BC。OA=OC，A=1=30 .00BOC=A+1=60 。又OC=OB，OBC 是等边三角形.OB=BC.OB=BD，OB=BC=BD。50D证明圆的切线方法OCCD.DC 是O 的切线.说明：说明：此题是根据圆周角定理的推论 3 证明垂直的,此题解法颇多，但这种方法较好。例例 5 5如图,AB 是O 的直径，CDAB,且 OA =ODOP.求证:PC 是O 的切线.证明：证明：连结 OCOA =ODOP，OA=OC，OC =ODOP，OCOP。ODOC222又1=1，OCPODC.OCP=ODC。CDAB，OCP=90 .PC 是O 的切线.说明：说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的例例 6 6如图,ABCD 是正方形，G 是 BC 延长线上一点，AG 交 BD 于 E，交 CD 于 F。求证：CE 与CFG 的外接圆相切。分析：分析：此题图上没有画出CFG 的外接圆,但CFG 是直角三角形，圆心在斜边 FG 的中点，为此我们取 FG 的中点 O，连结 OC，证明 CEOC 即可得解.证明：证明：取 FG 中点 O,连结 OC。ABCD 是正方形，0BCCD，CFG 是 Rt6证明圆的切线方法O 是 FG 的中点，O 是 RtCFG 的外心.OC=OG,3=G，ADBC，G=4.AD=CD，DE=DE，0ADE=CDE=45 ,ADECDE(SAS）4=1，1=3.2+3=90 ，1+2=90 。即 CEOC。00CE 与CFG 的外接圆相切二、若直线二、若直线 l l 与与O O 没有已知的公共点，又要证明没有已知的公共点，又要证明 l l 是是O O 的切线的切线, ,只需作只需作 OAOAl l，A A 为垂为垂足，证明足，证明 OAOA 是是O O 的半径就行了的半径就行了, ,简称：简称： “作垂直“作垂直; ;证半径”证半径”例例 7 7如图，AB=AC,D 为 BC 中点，D 与 AB 切于 E 点.求证：AC 与D 相切.证明一：证明一：连结 DE，作 DFAC,F 是垂足。AB 是D 的切线，DEAB。DFAC,DEB=DFC=90 .70证明圆的切线方法AB=AC，B=C。又BD=CD，BDECDF（AAS）DF=DE.F 在D 上。AC 是D 的切线证明二：证明二：连结 DE，AD，作 DFAC，F 是垂足.AB 与D 相切，DEAB.AB=AC，BD=CD，1=2.DEAB，DFAC，DE=DF。F 在D 上.AC 与D 相切。说明：说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE 的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE 的，这类习题多数与角平分线有关.例例 8 8已知：如图，AC，BD 与O 切于 A、B,且 ACBD,若COD=90 .求证：CD 是O 的切线.证明一：证明一：连结 OA，OB，作 OECD，E 为垂足。0AC,BD 与O 相切，ACOA，BDOB。8证明圆的切线方法ACBD，1+2+3+4=1800.COD=900，O2+3=900，1+4=900。4+5=900.1=5.RtAOCRtBDO.ACOCOBOD.OA=OB，ACOCOAOD。又CAO=COD=900，AOCODC，1=2。又OAAC，OECD,OE=OA。E 点在O 上.CD 是O 的切线.证明二：连结 OA,OB，作 OECD 于 E，延长 DO 交 CA 延长线于 F.AC,BD 与O 相切,ACOA,BDOB.ACBD,F=BDO.又OA=OB，9证明圆的切线方法AOFBOD（AAS）OF=OD。COD=900,CF=CD，1=2.又OAAC，OECD,OE=OA.E 点在O 上.CD 是O 的切线.证明三：连结 AO 并延长，作 OECD 于 E，取 CD 中点 F，连结 OF。AC 与O 相切,ACAO.ACBD,AOBD.BD 与O 相切于 B，AO 的延长线必经过点 B。AB 是O 的直径.ACBD,OA=OB,CF=DF，OFAC，1=COF.COD=900，CF=DF，OF 12CD CF。2=COF.1=2.10证明圆的切线方法OAAC，OECD,OE=OA。E 点在O 上.CD 是O 的切线说明：证明一是利用相似三角形证明1=2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明1=2.证明三是利用梯形的性质证明1=2，这种方法必需先证明 A、O、B 三点共线.此题较难，需要同学们利用所学过的知识综合求解.以上介绍的是证明圆的切线常用的两种方法供同学们参考。11
