两条异面直线所成角.ppt

abcbacabbO一.定义:注意：注意：异面直线所成角的范围是异面直线所成角的范围是 直线直线a、b是异面直线，经过空间任意一点是异面直线，经过空间任意一点 O ,分别分别引直线引直线aa , b b.我们把直线我们把直线a和和b所成的锐角所成的锐角(或或直角直角)叫做异面直线叫做异面直线a和和b所成的角所成的角.（0， a2问题：正方体问题：正方体ABCDA1B1C1D1求：求：（1）A1B与与CC1所成的角是多少度？为什么？所成的角是多少度？为什么？（2）A1B1与与CC1所成的角是多少度？为什么？所成的角是多少度？为什么？（3）A1C1与与BC所成的角是多少度？为什么？所成的角是多少度？为什么？（4）在正方体）在正方体ABCDA1B1C1D1的棱中，与棱的棱中，与棱B1B垂直的棱有几条？（如图垂直的棱有几条？（如图)DB1A1D1C1ACB于是A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角（或其补角），长方体长方体ABCDABCD- -A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，ABAB= =AAAA1 1 = =2cm2cm， AD AD = =1cm1cm，求异面直线，求异面直线A A1 1C C1 1与与BDBD1 1所成角的余弦值所成角的余弦值. .取BB1的中点M，连O1M，则O1MD1B，如图，连B1D1与A1C1 交于O1，解：解：为什么？为什么？O1MDB1A1D1C1ACB,23212212122211=BDMO,512221=MA,2512212211=OA由余弦定理得,55cos11=MOAA1C1与BD1所成角的余弦值为方法归纳：( (平移法平移法) )连A1M，在A1O1 M 中即根据定义，以即根据定义，以“ “运动运动” ”的观点，用的观点，用“ “平移转化平移转化” ”的方法，使之成为相交直线所成的角的方法，使之成为相交直线所成的角. .55解法二解法二：方法归纳：方法归纳：( (补形法补形法) )把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、长方体等，其目的在于易于发如正方体、长方体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系现两条异面直线的关系. .3, 52, 51111=ECEACA在在 A1C1E中，中，由余弦定理得由余弦定理得55cos11=ECAA1C1与与BD1所成角的余弦值为所成角的余弦值为如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面连结连结A1E，C1E，则，则 A1C1E为为A1C1与与BD1所成的角所成的角(或补角或补角)，F1EFE1BDB 1A 1D 1C 1ACBC1的长方体的长方体B1F，55求异面直线所成角的步骤求异面直线所成角的步骤有哪些？有哪些？作角一般方法有：作角一般方法有：（1）平移法（常用方法）平移法（常用方法）（2）补形法）补形法1.作角作角2.证角证角3.算角算角正方体ABCD - A1B1C1D1中,AC、BD交于O ,则OB1与A1C1所成的角的度数为A1B1C1D1ABCDO练习1900在正四面体S -ABC中，SABC , E、F分别为SC、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（ ）CSABEFD(A)300 (B)450 (C)600 (D)900练习2BCSABEFFSABEC练习2（解法二）G.SACBEFSABEFC练习2 （解法三）（1）平移法（常用方法）平移法（常用方法）小结：小结： 1、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面角，体现了化、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面角，体现了化归的数学思想归的数学思想.2、用余弦定理求异面直线所成角时，要注意三角形中角、用余弦定理求异面直线所成角时，要注意三角形中角与异面与异面直线所成角的关系：直线所成角的关系： （1） 当当 cos 0 时，所成角为时，所成角为 （2） 当当 cos 0 时，所成角为时，所成角为 （3） 当当 cos = 0 时，所成角为时，所成角为 3、当异面直线当异面直线垂直垂直时，还可应用线面垂直的有关知识解决时，还可应用线面垂直的有关知识解决.90o（2）补形法）补形法作角作角证角证角算角算角（1）利用余弦定理）利用余弦定理（2）利用线面垂直的性质）利用线面垂直的性质说明说明：异面直线所成角的范围是（异面直线所成角的范围是（0， ，在把异面直线，在把异面直线所成的角平移转化为平面三角形中的角时，常用余所成的角平移转化为平面三角形中的角时，常用余弦定理求其大小，当弦定理求其大小，当余弦值为负值余弦值为负值时，其对应角为时，其对应角为钝角，这钝角，这不符合不符合两条异面直线所成角的定义，故其两条异面直线所成角的定义，故其补角为所求的角，这一点要注意补角为所求的角，这一点要注意. 2