2016年高考文科数学全国卷2含答案.pdf

数学试卷第 1页（共 18页）数学试卷第 2页（共 18页）数学试卷第 3页（共 18页） 绝密启用前 2016 年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷 2) 文科数学文科数学 使用地区：海南、宁夏、黑龙江、吉林、辽宁、新疆、内蒙古、青海、甘肃、重庆、陕西、西藏 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 24 题，共 150 分，共 6 页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码 区域内. 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写， 字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草 稿纸、试题卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 第卷 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合12 3A ， ， 2 |9Bx x，则AB （） A. 2, 1,0,1,2,3B. 2, 1,0,1,2 C.1,2,3D.1,2 2.设复数 z 满足3zii ，则=z（） A.1 2i B.1 2iC.32iD.32i 3.函数sinyAx的部分图像如图所示，则 A.2sin(2) 6 yx B.2sin(2) 3 yx C.2sin() 6 yx D.2sin() 3 yx 4.体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（） A.12B. 32 3 C.8D.4 5.设F为抛物线C： 2 4yx的焦点，曲线0 k yk x （）与C交于点P，PFx轴，则=k （） A. 1 2 B.1 C. 3 2 D.2 6.圆 22 28130 xyxy的圆心到直线10axy 的距离为 1，则=a（） A. 4 3 B. 3 4 C.3D.2 7.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积（） A.20B.24 C.28D.32 8.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为 40 秒.若一名行人来 到该路口遇到红灯，则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为（） A. 7 10 B. 5 8 C. 3 8 D. 3 10 9.中国古代有计算多项式值得秦九韶算法， 下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图， 若输入的2x ，2n，依次输入的a为 2，2，5，则输出的s （） A. 7B. 12 C. 17D. 34 10.下列函数中，其定义域和值域分别与函数 lg 10 x y 的定义域和值域相同的是（） A.yxB.lgyx C.2xy D. 1 y x 11.函数( ) = cos26cos() 2 f xxx 的最大值为（） A. 4B. 5 C. 6D. 7 12.已知函数( )()f x xR满足( )(2)f xfx， 若函数 2 23yxx与( )yf x图象的交 点为 11 x y（ , ）， 22 xy（ , ）， mm xy（, ），则 1 m i i x = A.0B.m C.2mD.4m 姓名_准考证号_ -在-此-卷-上-答-题-无-效 - 数学试卷第 4页（共 6 页）数学试卷第 5页（共 6 页）数学试卷第 6页（共 6 页） 第第卷卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第1312题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第2224 为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分. 13.已知向量 a4m，b32，且 ab，则m _. 14.若 x，y 满足约束条件 1 0, 3 0, 30, xy xy x 则2zxy的最小值为_. 15.ABC的内角A BC， ，的对边分别为abc， ，若 4 cos 5 A ， 5 cos 13 C ，1a，则 b_. 16.有三张卡片，分别写有 1 和 2，1 和 3，2 和 3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看 了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我 与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的 卡片上的数字是_. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17.（本小题满分 12 分） 等差数列 n a中， 34 4aa， 57 6aa. （）求 n a的通项公式； （）设 nn ba，求数列 n b的前 10 项和，其中 x表示不超过x的最大整数，如 0.90，2.62. 18.（本小题满分 12 分） 某险种的基本保费为a（单位：元） ，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本 年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 上年度出险次数012345 保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a 随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表： 出险次数012345 频数605030302010 （）记 A 为事件： “一续保人本年度的保费不高于基本保费” 。求P A（ ）的估计值； （） 记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”. 求( )P B的估计值； （）求续保人本年度的平均保费估计值. 19.（本小题满分 12 分） 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上， AE CF，EF交BD于点H.将DEF沿EF折到D EF的位置. （）证明：ACHD； （）若5AB，6AC ， 5 4 AE ，2 2OD ,求五棱锥DABCEF体积. 20.（本小题满分 12 分） 已知函数( )()l(n11)xxxa xf. （）当=4a时，求曲线= ( )y f x在(1(1)f，处的切线方程； （）若当(1)x，时，( )f x 0，求a的取值范围. 21.（本小题满分 12 分） 已知A是椭圆E： 22 1 43 xy 的左顶点，斜率为0k k （）的直线交E于A，M两点， 点N在E上，MANA. （）当AMAN时，求AMN的面积； （）当2 AMAN时，证明：32k. 请考生在第 2224 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.（本小题满分 10 分）选修41：几何证明选讲 如图， 在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上 （不与端点重合） ， 且DEDG， 过D点作DFCE，垂足为F. （）证明：B，C，G，F四点共圆； （）若1AB ，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积. 23.（本小题满分 10 分）选修4 4 ：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，圆C的方程为 2 2 6=25xy. （）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程； （） 直线l的参数方程是 = cos sin x ta yta ， ， （t为参数） ，l与C交于A，B两点，10AB , 求l的斜率. 24.（本小题满分 10 分）选修45：不等式选讲 已知函数 11 22 fxxx （ ），M为不等式f x （ ）的解集. （）求M； （）证明：当abM，时，1abab. 数学试卷第 7页（共 18页）数学试卷第 8页（共 18页）数学试卷第 9页（共 18页） 2016 年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷 2） 文科数学答案解析 第卷 一、选择题 1.【答案】D 【解析】由A ， ， 得33x ，所以 | 33Bxx ，因为 1,2,3A ，所以 1,2AB ，故选 D. 【提示】先求出集合AB和，由此利用交集的定义能求出AB的值. 【考点】一元二次不等式的解法，集合的运算. 2.【答案】C 【解析】由i3iz 得32iz ，所以32iz ，故选 C. 【提示】根据已知求出复数 z，结合共轭复数的定义，可得答案. 【考点】复数的运算，共轭复数 3.【答案】A 【解析】由题图知，2A，最小正周期 2 36 T ，所以 2 2 ，所以 2sin(2)yx .因为图象过点 ,2 3 ，所以 22sin 2 3 ，所以 2 sin1 3 ， 所以 2 2 () 32 kkZ，令0k ，得 6 ，所以 2sin 2 6 yx ，故选 A. 【提示】根据已知中的函数 sin()yAx 的部分图象，求出满足条件A ， ， 值，可 得答案. 【考点】三角函数的图像与性质 4.【答案】A 【解析】因为正方体的体积为 8，所以棱长为 2，所以正方体的体对角线长为2 3后，所 以正方体的外接球的半径为3后，所以该球的表面积为 2 4 ( 3)12，故选 A 【提示】先通过正方体的体积，求出正方体的棱长，然后求出球的半径，即可求出球的表 面积. 【考点】正方体的性质，球的表面积 5.【答案】D 【解析】因为F是抛物线 2 4yx的焦点，所以 (1,0)F ，又因为曲线(0) k yk x 与C交 于点P，PFx轴，所以2 1 k ，所以 22222222 341616120 341616120kxk xkkxk xk（）（），选 D. 【提示】根据已知，结合抛物线的性质，求出 P 点坐标，再由反比例函数的性质，可得 k 值. 【考点】抛物线的性质，反比例函数的性质. 6.【答案】A 【解析】由 22 28 +130 xyxy配方得 22 (1) +(4)4xy，所以圆心为(1,4)， 因为圆 22 28130 xyxy的圆心到直线10axy 的距离为 1， 所以 22 | +4 1| 1 +1 a a ， 解得 4 3 a ， 故选 A. 【提示】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案. 【考点】圆的方程，点到直线的距离公式 7.【答案】C 【 解 析 】 由 题 意 可 知 ， 圆 柱 的 侧 面 积 为 1 2 2 416S ， 圆 锥 的 侧 面 积 为 2 1 2 2 48 2 S ， 圆 柱 的 底 面 面 积 为 2 3 24S ， 故 该 几 何 体 的 表 面 积 为 123 28SSSS，故选 C. 【提示】 空间几何体是一个组合体， 上面是一个圆锥， 圆锥的底面直径是 4， 圆锥的高是2 3， 在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出表面积，下面是一个圆柱，圆柱的底 面直径是 4，圆柱的高是 4，做出圆柱的表面积，注意不包括重合的平面. 【考点】三视图，空间几何体的体积 8.【答案】B 【解析】因为红灯持续时间为 40 秒，所以这名行人至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率 为 40 155 408 ，故选 B. 【提示】求出一名行人前 25 秒来到该路口遇到红灯，即可求出至少需要等待 15 秒才出现 绿灯的概率. 【考点】几何概型 9.【答案】C 【解析】由题意，2200 xnks，输入2a ，则0 2221sk，循环； 输入2a ，则2 2262sk，循环；输入5a ，6 251732sk，结束 循环.故输出的17s ，选 C 【提示】 根据已知的程序框图可得， 该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值， 模拟程序的运行过程，可得答案. 【考点】程序框图，直到型循环结构 10.【答案】D 【解析】 lg 10 x yx，定义域与值域均为(0, )，只有 D 满足，故选 D. 【提示】分别求出各个函数的定义域和值域，比较后可得答案. 【考点】函数的定义域、值域，对数的计算 11.【答案】B 【解析】因为 2 2 311 ( )12sin6sin2 sin 22 f xxxx ，而sin 1,1x ，所以当 sin1x 时，( )f x取得最大值 5，选 B. 【 提 示 】 运 用 二 倍 角 的 余 弦 公 式 和 诱 导 公 式 ， 可 得 2 12sin6sinyxx ， 令 sin ( 11)txt ，可得函数 2 261ytt ，配方，结合二次函数的最值的求法，以及 正弦函数的值域即可得到所求最大值. 【考点】正弦函数的性质、二次函数的性质 12.【答案】B 【解析】因为 2 ( )|23|yf xyxx，的图像都关于1x 对称，所以它们图像的交点也 关于1x 对称， 当m为偶数时， 其和为2 2 m m； 当m为奇数时， 其和为 1 21 2 m m ， 因此选 B. 【提示】根据已知中函数 ( )()f x xR，满足( )(2)f xfx ，分析函数的对称性，可得函 数学试卷第 10页（共 6 页）数学试卷第 11页（共 6 页）数学试卷第 12页（共 6 页） 数 2 23|( )yxxyf x与图象的交点关于直线1x 对称，进而得到答案. 【考点】函数图像的对称性 第卷 二、填空题 13.【答案】6 【解析】因为a b ，所以 2430m，解得6m . 【提示】直接利用向量共线的充要条件列出方程求解即可. 【考点】平面向量的坐标运算 （14） 【答案】5 【解析】 由 +10 +30 xy x y 得 1 2 x y ， 记为点 (1,2)A ； 由 +10 30 xy x 得 3 4 x y ， 记为点 (3,4)B ； 由 30 +30 x x y 得 3 0 x y ，记为点 (3,0)C ，分别将, ,A B C的坐标代入 2zxy 的最小值 为5. 【提示】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解， 联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得答案. 【考点】简单的线性规划 15.【答案】 21 13 【解析】 因为 4 cos 5 A， 5 cos 13 C ,且AC，为三角形的内角， 所以 3 sin 5 A， 12 sin 13 C ， 63 sinsin()sin()sincoscossin 65 BACACACAC，又因为 sinsin ab AB ， 所以 sin21 sin13 aB b A . 【提示】运用同角的平方关系可得sin A，sinC，再由诱导公式和两角和的正弦公式，可 得sin B，运用正弦定理可得 sin sin aB b A ，代入计算即可得到所求值. 【考点】正弦定理，两角和、差的三角函数公式 16.【答案】1 和 3 【解析】由题意分析可知甲的卡片上的数字为 1 和 3，乙的卡片上的数字为 2 和 3，丙的卡 片上的数字为 1 和 2. 【提示】可先根据丙的说法推出丙的卡片上写着 1 和 2，或 1 和 3，分别讨论这两种情况， 根据甲和乙的说法可分别推出甲和乙卡片上的数字，这样便可判断出甲卡片上的数字是多 少. 【考点】推理 三、解答题 17.【答案】 （） 23 5 n n a （）24 【解析】试题解析： （）设数列 n a的公差为 d，由题意有 11 2+54+53adad，. 解得 1 2 1 5 ad，； 所以 n a的通项公式为 2 +3 5 n n a . （）由（）知 2 +3 5 n n b 当1,2,3n 时， 2 +3 121 5 n n b， 当4,5n 时， 23 232 5 n n b ， 当6,7,8n 时， 2 +3 343 5 n n b， 当9,10n 时， 2 +3 454 5 n n b， 所以数列 n b的前 10 项和为1 322334224. 【提示】 （）根据等差数列的通项公式及已知条件求 1 a，d，从而求得 n a； （）由（）求 n b，再求数列 n b的前 10 项和. 【考点】等差数列的通项公式，数列的求和. 18.【答案】 （）0.55 （）0.3 （）1.1925a 【解析】试题解析： （）事件 A 发生当且仅当一年内出险次数小于 2，由所给数据知，一 年内险次数小于 2 的频率为 6050 0.55 200 ，故( )P A的估计值为 0.55. （）事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 1 且小于 4.由所给数据知，一年内出险次 数大于 1 且小于 4 的频率为 3030 0.3 200 ，故( )P B的估计值为 0.3. （）由所给数据得 保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a 频率0.300.250.150.150.100.05 调查的 200 名续保人的平均保费为 0.850.300.251.250.151.50.151.750.1020.051.1925aaaaaaa， 因此， 续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a. 【提示】 （）求出 A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”的人数；总事 件人数，即可求 ( )P A的估计值； （） 求出 B 为事件： “一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%” 的人数.然后求 P B（ ）的估计值； （）利用数与保费乘积的和除以总续保人数，可得本年度的平均保费估计值. 【考点】样本数据的频率，由频率估计概率，平均值的计算 19.【答案】 （）由已知得ACBDADCD，。 又由AECF得 AECF ADCD ，故ACEF。 由此得EFHDEF HD ，所以AC HD 。 （）由EFAC得 1 4 OHAE DOAD 。 由56ABAC，得： 22 4DOBOABAO 所以13OHD HDH， 于是 22222 (2 2)19ODOHD HODOH，故 由（）知AC HD ，又ACBDBDHDH ，； 所以ACBHDACOD平面，于是。 又由ODOHACOHO ，所以ODABC 平面. 又由 EFDH ACDO ，得 9 2 EF ； 数学试卷第 13页（共 18页）数学试卷第 14页（共 18页）数学试卷第 15页（共 18页） 五边形ABCFE的面积 11969 6 83 2224 S ； 所以五棱锥 DABCFE 体积 16923 2 2 2 342 V . 【提示】 （）根据直线平行的性质以及线面垂直的判定定理先证明EFDD H平面即可. （）根据条件求出底面五边形的面积，结合平行线段的性质证明OD是五棱锥 D ABCFE-的高，即可得到结论. 【考点】空间中线面位置关系的判断，几何体的体积 20.【答案】 （）2 20 xy （）,2 【解析】 （） ( )f x的定义域为(0,). 当4a 时， 1 ( )( +1)ln4(1)( )ln +3f xxxxfxx x ，(1)2(1)0ff ， 曲线 ( )yf x 在(1, (1)f 处的切线方程为2 + 20 x y （）当 (1,)x时，( )0f x ，等价于 (1) ln0 1 a x x x (1) ( )ln +1 a x g xx x 设，则 2 22 122(1)1 ( ) (1)() axa x g x xxx x ， (1)0g （）2(1,)ax，时 22 +2(1) +12 +10( )0( )xa xxxg xg x，故，在(1,)上单 调递增， 因此 ( )0g x ； （）当2a 时，令( )0g x 得 22 12 1(1)11(1)1xaaxaa ，. 由 2 1x 和 12 1x x 得 1 1x ，故当 2 (1,)xx时，( )0g x，( )g x在 2 (1,)x单调递减，因此 ( )0g x . 综上，a的取值范围是,2. 【提示】 （）先求 ( )f x的定义域，再求( )fx ，(1) f ， (1)f ，由直线方程的点斜式可求 曲线 ( )yf x 在(1, (1)f 处的切线方程为2 20 xy . （）构造新函数 (1) ( )ln 1 a x g xx x ，对实数a分类讨论，用导数法求解. 【考点】导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性. 21.【答案】 （）设 11 (,)M x y，则由题意知 1 0y . 由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为 4 . 又 ( 2,0)A ，因此直线AM的方程为 2yx . 将 2xy 代入 22 1 43 xy 得 2 7120yy. 解得 0y 或 12 7 y ，所以 1 12 7 y . 因此AMN的面积 11212144 2 27749 AMN S. （）将直线AM的方程 (2)(0)yk xk 代入 22 1 43 xy 得 2222 (34)1616120kxk xk. 由 2 1 2 1612 ( 2) 34 k x k 得 2 1 2 2(34) 34 k x k ，故 2 2 1 2 12 1 | |2| 1 34 k AMxk k . 由题设，直线AN的方程为 1 (2)yx k ，故同理可得 2 2 121 | 3+4 kk AN k . 由2| | |AMAN 得 22 2 343+4 k kk ，即 32 46380kkk. 设 32 ( )4638f tttt，则k是 ( )f t的零点， 22 ( )121233(21)0f tttt， 所以 ( )f t在(0,)单调递增.又 ( 3)15 3260(2)60ff， 因此 ( )f t在(0,)有唯一的零点，且零点k在( 3,2)内，所以 32k. 【提示】 （）先求直线AM的方程，再求点M的纵坐标，最后求AMN的面积； （）设 11 ,M x y，将直线AM的方程与椭圆方程组成方程组，消去y，用k表示 1 x，从 而表示| |AM ，同理用k表示| |AN，再由2 AMAN 求k的取值范围. 【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系 22.【答案】 （）因为DFEC，所以,DEFCDF 则有 DFDEDG GDFDEFFCB CFCDCB ， 所以DGFCBF，由此可得DGFCBF ， 由此180CGFCBF ，所以BCGF， ， ，四点共圆. （）由BCGF， ， ，四点共圆，CGCB知FGFB，连结GB. 由 G 为RtDFC斜边 CD 的中点，知GFGC故RtBCGRtBFG，因此四边形 BCGF的面 积 S 是GCB面积 GCB S的 2 倍，即 111 221 222 GCB SS 【提示】 （）证DGFCBF，再证BCGF， ， ，四点共圆； （ ） 在RtDFC中 ，GFCDGC， 因 此 可 得RtBCGRtBFG， 则 2 BCGBCGF SS 四边形 ，据此解答. 【考点】三角形相似与全等，四点共圆 23.【答案】 （） 2 12 cos110 （） 15 3 【解析】 （）由 cossinxy， 可得圆C的极坐标方程 2 12 cos110 。 （）在（）中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为 () R. 设AB，所对应的极径分别为 12 ，.将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得 2 12 cos110 。 于是 1212 12cos11 ，。 22 121212 | |()4144cos44AB 。 由|10AB 得 2 315 cos,tan 83 . 所以l的斜率为 15 3 或 15 3 . 【提示】 （）利用 222 xy，cosx可得 C 的极坐标方程； （）由直线l的参数方程求出直线l的一般方程，再求出圆心到直线距离，由此能求出直 线l的斜率. 【考点】圆的极坐标方程与普通方程互化，直线的参数方程，弦长公式 数学试卷第 16页（共 6 页）数学试卷第 17页（共 6 页）数学试卷第 18页（共 6 页） 24.【答案】 （） 1 2 , 2 11 ( )1, 22 1 2 ,. 2 x x f xx x x 1 ( )2221 2 xf xxx 当时，由得，解得； 11 ( )2 22 xf x当时，由； 1 ( )2221 2 xf xxx当时，由得，解得. 所以 ( )2f x 的解集 | 11Mxx . （）由（）知，当abM，时，11a ，11b 从而 22222222 ( + )(1+)+1(1)(1)0a bababa bab ， 因此| | |1+|abab . 【提示】 （）先去掉绝对值，再分 1 2 x ， 11 22 x和 1 2 x 三种情况解不等式，即可 得M； （）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当a，bM时，1abab. 【考点】绝对值不等式，不等式的证明