§761圆的方程（一）.ppt
7.6.17.6.1圆的方程圆的方程 （一）（一）教学目标：教学目标：使学生掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆使学生掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程简单的实际问题，并会推导圆的标准方程 教学重点：教学重点：圆的标准方程的推导步骤；根据具体条件正确写出圆的标准方程的推导步骤；根据具体条件正确写出圆的标准方程圆的标准方程 教学难点教学难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题 问题问题1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？具有什么性质的点的轨迹称为圆？平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆.问题问题2：图中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具图中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？ 圆心圆心C是定点，圆周上的点是定点，圆周上的点M是是动点，它们到圆心距离等于定长动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小的位置和大小问题问题3：求曲线的方程的一般步骤求曲线的方程的一般步骤是什么？是什么？其中哪几个步骤必不可少？其中哪几个步骤必不可少？（1）建立适当的坐标系，用有序实数对例如）建立适当的坐标系，用有序实数对例如(x,y)表表示曲线上任意一点示曲线上任意一点M的坐标；的坐标；（2）写出适合条件）写出适合条件 p 的点的点M的集合的集合P=M|p(M)； （3）用坐标表示条件）用坐标表示条件p(M)，列出方程，列出方程f(x,y)=0； （4）化方程）化方程f(x,y)=0为最简形式；为最简形式； （5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点上的点 其中步骤其中步骤(1)(3)(4)必不可少必不可少下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方程标准方程( , )C a br求圆心是，半径是 的圆的方程。解：设解：设M(x,y)是圆上任意一点，是圆上任意一点，xyOrM根据圆的定义根据圆的定义|MC|=rC由两点间距离公式，得由两点间距离公式，得22xaybr把式两边平方，得把式两边平方，得222x ay br说明：1.特点：明确给出了特点：明确给出了圆心圆心和和半径半径。2.确定圆的方程必须具备确定圆的方程必须具备三个三个独立的条件。独立的条件。v提问：如果圆心为坐标原点，则圆的方程是什提问：如果圆心为坐标原点，则圆的方程是什么么?222x y r 练习练习 1.写出下列各圆的方程：写出下列各圆的方程： （1）圆心在圆点，半径是）圆心在圆点，半径是3；（3）经过点）经过点P(5,1)，圆心在点，圆心在点C(8,-3)229xy22345xy（2）圆心在点）圆心在点C(3,4)，半径是，半径是 ；5228325xy练习练习2.写出下列各圆的圆心坐标和半径写出下列各圆的圆心坐标和半径（1）2216xy（2）22129xy（3）222xaya1,06（-1，2） 3,0|aa例例1.求以求以C(1,3)为圆心，并且和直线为圆心，并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的方程。相切的圆的方程。解：设所求圆的方程为解：设所求圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=r2因为圆因为圆C和直线和直线3x-4y-7=0相切，相切，所以圆心到直线的距离等于半径所以圆心到直线的距离等于半径rCxyOr根据点到直线距离公式，得根据点到直线距离公式，得223 14371653( 4)r 因此，所求的圆的方程是因此，所求的圆的方程是222561325xy练习练习3.3.已知一个圆的圆心在原点，并与直线已知一个圆的圆心在原点，并与直线4x+3y-70=04x+3y-70=0相切，求圆的方程。相切，求圆的方程。22196xy例例2.已知圆的方程是已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点，求经过圆上一点M(x0,y0) 的切线的方程。的切线的方程。解：如图，解：如图，xyOM(x0,y0)设切线的斜率为设切线的斜率为k半径半径OM的斜率为的斜率为k1,因为圆的切线垂直于过切点的因为圆的切线垂直于过切点的半径，于是半径，于是11kk 010ykx00 xky 经过点经过点M的切线方程是的切线方程是0000 xyyxxy 整理得，整理得，x0 x+y0y=x02+y02因为点因为点M(x0,y0)在圆上，所以在圆上，所以x02+y02=r2所求切线方程是所求切线方程是x0 x+y0y=r2当点当点M在坐标轴上时，可以验证上面方程同样适用。在坐标轴上时，可以验证上面方程同样适用。P(x , y ),(00yxM 由勾股定理：由勾股定理：|OM|2+|MP|2=|OP|2解法二（利用平面几何知识）解法二（利用平面几何知识）在直角三角形在直角三角形OMP中中yxOx0 x +y0 y = r2例例2.已知圆的方程是已知圆的方程是x2+y2=r2，求经，求经过圆上一点过圆上一点M(x0,y0) 的切线的方程。的切线的方程。P(x , y ),(00yxMyxO解法三（利用平面向量知识）：解法三（利用平面向量知识）：OM MP= 0OM MPx0 x +y0 y = r2例例2.已知圆的方程是已知圆的方程是x2+y2=r2，求经，求经过圆上一点过圆上一点M(x0,y0)的切线的方程。的切线的方程。练习练习4.写出过圆写出过圆x2+y2=10上一点上一点M 的切线的方程的切线的方程 2, 62610 xy练习练习5.已知圆的方程是已知圆的方程是x2+y2=1，求求（1）斜率等于）斜率等于1的切线的方程；的切线的方程；（2）在）在y轴上截距是轴上截距是 的切线的方程。的切线的方程。2所以切线方程为：所以切线方程为：提示提示：(1)设切线方程为设切线方程为 y=x+b ,由圆心到切线的由圆心到切线的距离等于半径距离等于半径1，得：，得：()b 22111b 2yx2（2）在）在y轴上截距是轴上截距是 的切线方程的切线方程:2yx 2例例3 3：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度拱跨度AB=20mAB=20m，拱高，拱高OP=4mOP=4m，在建造时每隔，在建造时每隔4m4m需用需用一个支柱支撑，求支柱一个支柱支撑，求支柱A A2 2P P2 2的长度（精确到的长度（精确到0.01m)0.01m)yx解：建立如图所示的坐标系，设圆心坐标是（解：建立如图所示的坐标系，设圆心坐标是（0 0，b b）圆的半径是圆的半径是r ,r ,则圆的方程是则圆的方程是x x2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2 。yx把把P(0,4)、 B(10,0)代入圆的方程得方程组：代入圆的方程得方程组：02+(4-b)2= r2102+(0-b)2=r2解得：解得：b= -10.5 r2=14.52所以圆的方程是：所以圆的方程是： x2+(y+10.5)2=14.52把点把点P2的横坐标的横坐标x= -2 代入圆的方程，得代入圆的方程，得 (-2)2+(y+10.5)2=14.52因为因为y0,所以所以y=14.52-(-2)2 -10.514.36-10.5=3.86(m)答：支柱答：支柱A2P2的长度约为的长度约为3.86m。小结小结:(1) 圆心为圆心为C(a,b)，半径为，半径为r 的圆的标准方程为的圆的标准方程为 (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 当圆心在原点时当圆心在原点时 a=b=0，圆的标准方程为：，圆的标准方程为：x2 + y2 = r2 (2) 由于圆的标准方程中含有由于圆的标准方程中含有 a , b , r 三个参数，因三个参数，因此必须具备三个独立的条件才能确定圆；对于由已知此必须具备三个独立的条件才能确定圆；对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标列方程的问题一般采用圆的标准方程。列方程的问题一般采用圆的标准方程。 (3) 注意圆的平面几何知识的运用以及应用圆的方注意圆的平面几何知识的运用以及应用圆的方程解决实际问题。程解决实际问题。2.求圆心求圆心C在直线在直线 x+2y+4=0 上，且过两定点上，且过两定点A(-1 , 1)、B(1,-1)的圆的方程。的圆的方程。3.从圆从圆x2+y2=10外一点外一点P(4,2)向该圆引切线，求向该圆引切线，求切线方程。切线方程。 x+3y=10 或 3x-y=10(x+ )2+(y+ )2=3 43 4950作业：1.习题习题7.6_4
