21第2课时三角形的高、中线和角平分线.ppt
2.1 三角形第2章 三角形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时 三角形的高、角平分线和中线1.了解三角形的高、角平分线与中线的概念，会用工具准确画出三角形的高、角平分线与中线;（重点）2. 学会用数学知识解决实际问题，发展应用和自主探究意识，并培养学生的动手实践能力.（难点）学习目标复习回顾导入新课导入新课定义 图示垂线线段中点角平分线OBAAB当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线把一条线段分成两条相等的线段的点一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线画一画如图，P为线段AB右上方一点，过点P作线段AB的垂线.P P A AB B讲授新课讲授新课三角形的高一问题1 什么是三角形的高？怎样画三角形的高？u定义 如图，从ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D,所得线段AD叫做ABC的边BC上的高.问题2 由三角形的高你能得到什么结论？ADB= ADC=90 A AB BC CD D垂足注意:标明垂直的记号和垂足的字母.高的叙述方法（如图）：有三种有三种. .ADBC,垂足为D.点D在BC上，且BDA=CDA=90.AD是ABC的高.A AB BC CD D锐角三角形的三条高问题1:每人画一个锐角三角形.(1) 你能画出这个三角形的三条高吗?(2) 这三条高之间有怎样的位置关系？O O问题2:锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?A AB BC CD DE EF F锐角三角形的三条高交于同一点.锐角三角形的三条高都在三角形的内部.探究交流直角三角形的三条高问题：在纸上画出一个直角三角形.(1)画出直角三角形的三条高.直角边BC边上的高是_;_;ABAB直角边AB边上的高是 CBCB(2)它们有怎样的位置关系？斜边AC边上的高是_._.BDBD直角三角形的三条高交于直角顶点.AB BC CD DE EF F钝角三角形的三条高问题：(1) 钝角三角形的三条高交于一点吗？(2)它们所在的直线交于一点吗？钝角三角形的三条高不相交于一点钝角三角形的三条高所在直线交于一点三角形的三条高的特性高所在的直线是否相交高之间是否相交高在三角形内部的数量钝角三角形直角三角形锐角三角形3 31 11 1相交相交相交相交不相交不相交相交相交相交相交相交相交三条高所在直线的交点的位置三角形三角形内部内部直角顶点直角顶点三角形三角形外部外部典例精析方法总结: :面积法的应用：若涉及两条高求长度，一般需结合面积(但不求出面积)，利用三角形面积的两种不同表示方法列等式求解.例1：如图所示，在ABC中，ABAC5，BC6，ADBC于点D，且AD4，若点P在边AC上移动，求BP的最小值.解：根据垂线段最短，可知当BPAC时，BP有最小值由ABC的面积公式可知, ADBC BPAC.1212代入数值，可解得BP .245三角形的角平分线二问题1 如图，若OC是AOB的平分线，你能得到什么结论？ACBOAOC= BOC 问题2 你能用同样的方法画出任意一个三角形的一个内角的平分线吗?A AB BC CD D想一想：三角形的角平分线与角的角平分线相同吗?相同点是： 都平分角;不同点是：前者是线段，后者是射线. ABD= CBD;问题4：请画出这个三角形的另外两条角平分线,你发现了什么？三角形的三条角平分线交于一点ABCDEF问题3：一个三角形有几条角平分线？3称之为三角形的内心 观察下面三种三角形的三条角平分线，你又有什么发现？三种三角形的三条角平分线都相交于三种三角形的三条角平分线都相交于三角形内部三角形内部例2：如图，DC平分ACB，DEBC,AED=80，求ECD的度数.解：DC平分ACB,又DEBC,AED=ACB=80.ECD=40.ECD=BCD= ACB.三角形的中线三问题1 如图，如果点C是线段AB的中点，你能得到什么结论？ACBAC=BC= AB12问题2 如图，如果点D是线段BC的中点，那么线段AD就称为ABC的中线类比三角形的高的概念，试说明什么叫三角形的中线？ABCu定义：如图，连接ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D,所得线段AD叫做ABC的边BC上的中线.想一想：由三角形的中线能得到什么结论？BD=CD= BC12D画一画：如图，分别画出下列三角形的三条中线，并观察它们中线的交点有什么规律？u画图发现三角形的三条中线交于三角形内部一点.这一点我们称为三角形的重心.ABCABCABCDEFDDEFEFOOO问题3 如图所示，在ABC中，AD是ABC的中线，AE是ABC的高试判断ABD和ACD的面积有什么关系？为什么？BCDEA答：相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等.问题4 通过问题3你能发现什么规律？答：三角形的中线能将三角形的面积平分.例3 如图，AD是ABC的中线， AE是ABC的高.（1）图中共有几个三角形？请分别列举出来;解: （1）图中有6个三角形，它们分别是：ABD， ADE，AEC，ABE，ADC， ABC;（2）其中哪些三角形的面积相等？解: 因为AD是ABC的中线，所以 BD=DC.因为AE是ABC的高，也是ABD和ADC的高，所以SABD = SADC .又SABD = BDAE，12SADC = DCAE， 12总结：三角形的中线把三角形分成面相等的两个部分.如图,在ABC中, 1=2,G为AD中点,延长BG交AC于E,F为AB上一点,CFAD于H,判断下列说法的正误.ABCDE12FGHAD是ABE的角平分线( )BE是ABD边AD上的中线( )BE是ABC边AC上的中线( )CH是ACD边AD上的高( )练一练 例4 如图，ABC中，AD是BC边上的中线，若ABC的周长为35cm，BC=11cm，且ABD与ACD的周长差为3cm，求AB与AC的长.ACDB解: AD是ABC的中线，CD=BD.ABC的周长为35cm，BC=11cm，AC+AB=35-11=24（cm）.又ABD与ACD的周长差为3cm,AB-AC=3cm，AB=13.5cm,AC=10.5cm.有关三角形的高、角平分线、中线的计算四例5：如图，在ABC中，E是BC上的一点，EC2BE，点D是AC的中点，SABC12，求SADFSBEF的值.SABDSABE(SADFSABF)(SABFSBEF)SADFSBEF，即SADFSBEFSABDSABE642.解：点D是AC的中点，AD AC.12SABC12，SABD SABC 126.1212EC2BE，SABC12，SABE SABC4.13 D C B A D C B A 2 1 D C B A三角形的重要线段概念图形表示法三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段AD是ABC的高线.ADBCADB=ADC=90.三角形的中线三角形中,连结一个顶点和它对边中的线段 AD是ABC的BC上的中线. BD=CD= BC. 三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段.AD是ABC的BAC的平分线 1=2= BAC 知识归纳知识归纳课堂小结课堂小结三角 形 重要 线 段高中 线会把原三角形面积平分一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差角平分线当堂练习当堂练习1下列说法正确的是 （）A三角形三条高都在三角形内 B三角形三条中线相交于一点C三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可能在三角 形外D三角形的角平分线是射线B2在ABC中，AD为中线，BE为角平分线，则在以下等式中：BAD=CAD；ABE=CBE；BD=DC；AE=EC其中正确的是 （）A B C DD3.如图，ABC中,C=90，CDAB，图中线段中可以作为ABC的高的有 （）A2条 B3条 C4条 D5条下列各组图形中哪一组图形中AD是ABC 的BC边上的高( )BD5.填空：（1）如图，AD,BE,CF是ABC的三条中线，则 AB= 2_,BD= _,AE= _.(2)如图，AD,BE,CF是ABC的三条角平分线，则1= _， 3= _,ACB=2 _. 图图AFDCAC2ABC46.如图，AD是ABC的中线，CE是ACD的中线，SAEC=3cm2，则SABC =_.127.在ABC中,CD是中线,已知BC-AC=5cm, DBC的周长为25cm,求ADC的周长.ADBC解： CD是ABC的中线，BD=AD .BC-AC=5cm, DBC与与ADC的周长差是5cm, ,又又 DBC的周长为25cm， ADC的周长=25-5=20(cm).能力提升：王大爷有一块三角形的菜地,现在要将它们平均分给四个儿子,在菜地的一角A处有一口池塘,为了使分开后的四块菜地都就近取水,王大爷为此很伤脑筋.你能想出什么办法帮帮王大爷吗？ 如果不考虑水源,你认为还可以怎样分?A（思路提示：想到三角形的中线能把三角形分成面积相等的两部分.）见学法大视野本课时练习课后作业课后作业
