231平面向量基本定理、正交分解与坐标表示.ppt
:力力学学中中力力的的分分解解F1F2F 引入引入探究（一）：探究（一）：平面向量基本定理平面向量基本定理 思考思考1 1：给定平面内任意两个向量给定平面内任意两个向量e1 1，e2 2，如何求作向量如何求作向量3 3e1 12 2e2 2和和e1 12 2e2 2？ e1 1e2 22 2e2 2B BC CO O3 3e1 1A Ae1 1D D3 3e1 12 2e2 2e1 1-2-2e2 2.,2121之间的关系与试探究一平面的任一向量是这线的向量是同一平面内两个不共设eeaaeeOABCMNa1e2e 新课新课1e2e1 1e22e .eea2211 a平面向量基本定理平面向量基本定理: : 有且只有一对实数有且只有一对实数 、 使使21向量，那么对于这一平面内的任向量，那么对于这一平面内的任一向量一向量 如果如果 、 是同一平面内的两个不是同一平面内的两个不共线共线2e1e这一平面内所有向量的一组这一平面内所有向量的一组基底基底。我们把不共线的向量我们把不共线的向量 、 叫做表示叫做表示1e2e1 12 2aeea研究更一般的情况研究更一般的情况(4)基底基底 给定时，分解形式唯一给定时，分解形式唯一. 平面向量基本定理平面向量基本定理: : 1 12 2aee探究：探究：(1)我们把我们把不共线不共线向量向量 、 叫做表示这一叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；平面内所有向量的一组基底；(2)基底不唯一，关键是不共线；基底不唯一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量由定理可将任一向量 在给出基底在给出基底 、 的条件下进行分解；的条件下进行分解；1e2e1e2e1e2e12, aa是由是由 、 、 唯一确定的数量唯一确定的数量平面向量基本定理平面向量基本定理 1 12 2aee探究：探究：（5 5）一组平面向量的基底有多少对？）一组平面向量的基底有多少对？（有无数对）（有无数对） (6)若基底选取不同，则表示同一向量的实若基底选取不同，则表示同一向量的实数数 、 是否相同？是否相同？ 21（可以不同，也可以相同）（可以不同，也可以相同）(7)特别的，若特别的，若 a = 0 ，则有且只有，则有且只有 ：21= 012000ee (8)特别的，若特别的，若 与与 共线，则有，共线，则有，1ea2 20 01 121 10aeee 使得使得:你理解定理了吗？1.判断下列说法是否正确：A、一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；B、一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；C C、零向量不可为基底中的向量。2.设O是平行四边形ABCD的两对角线交点，下列向量组：AD与AB；DA与BC；CA与DC；OD与OB。其中可作为这个平行四边形所在平面内所有向量的一组基底的是?的值和求，且，如果ktbaeekbetea21213. 3，K=1,t=-3例例1.已知向量已知向量e1,e2，求作向量，求作向量-2.5e1+3e2作法作法:1、任取一点、任取一点O,作作 .eOB,e.OA21352 1e2eOABC2、作、作 OACB.12.5e23e OC3、 就是求作的向量就是求作的向量例例2 如图，如图， 、 不共线，不共线， ， 用用 、 , 表示表示 .OA OB APtAB )(RtOA OB OP OABP解：解：APtAB OPOAAP ABtOA()OA t AO OB OAtOAtOB OBtOAt)1 ( 例例3 3 ABCD ABCD中，中，E E、F F分别是分别是DCDC和和ABAB的中点，的中点，试判断试判断AE,CFAE,CF是否平行？是否平行？FBADCE解：2e1e12,ABe ADe 取基底取基底则有则有AEADDE 2112eeFCFBBC 1212eeAE /AEFC 共线，又无公共点共线，又无公共点,AE FC /AEFCFs OABFS 我们学过功的概念，即一个物体在我们学过功的概念，即一个物体在力力F的作用下产生位移的作用下产生位移s(如图如图):向量的夹角.使两个向量的起点重合, 0_;,0) 1 (ba与时当_;,)2(ba与时当._,2)3(ba与时当同向反向垂直ab平面向量的正交分解平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解叫作把向量正交分解探索探索1:以以O为起点，为起点， P 为终点的向量能为终点的向量能否用坐标表示？如何表示？否用坐标表示？如何表示？oPxya），（ 23），（ 234321-1-2-3-2246ij），（ 23P3 2OPij O3i2j(3,2)4321-1-2-3-2246ij），（yxPO P xi yj 向量的坐标表示O向量向量 P（x ，y）一一 一一 对对 应应O P ( , )xyyjxi 在平面直角坐标系内，起点不在坐标在平面直角坐标系内，起点不在坐标原点原点O的向量如何用坐标来表示的向量如何用坐标来表示?探索探索2: Aoxyaa 可通过向量的可通过向量的平移，将向量的起点平移，将向量的起点移到坐标的原点移到坐标的原点O处处. 解决方案解决方案: :OxyAijaxy +axiy j +OAxiy j ABCDoxyija平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示 +aaijxyxy 对 对于于该该平平面面内内的的任任一一向向量量 ， ，有有且且只只有有一一对对实实数数 、 ，可可使使 这里，我们把（这里，我们把（x,y）叫做向量的（直角）坐标，记作）叫做向量的（直角）坐标，记作a( , )ax y 其中，其中，x叫做叫做 在在x轴上的坐标，轴上的坐标，y叫做叫做 在在y轴上轴上的坐标，的坐标，式叫做向量的坐标表示。式叫做向量的坐标表示。aa 如图，如图， 是分别与是分别与x轴、轴、y轴方轴方向相同的单位向量，若以向相同的单位向量，若以 为基为基底，则底，则, i j , i j :向向量量的的坐坐标标表表示示xyoijajyixa )y,x(a _;i )( 1_;j )( 2._)( 03(1,0)(0,1)(0,0)例例1.如图，分别用基底如图，分别用基底 ， 表示向量表示向量 、 、 、 ，并求出，并求出 它们的坐标。它们的坐标。ijabcd AA1A2解：如图可知解：如图可知1223aAAAAij (2,3)a同理同理23( 2,3);23( 2, 3);23(2, 3).bijcijdij 例题例题 小结小结1 、平面向量的基本定理、平面向量的基本定理2、平面向量的坐标的概念；、平面向量的坐标的概念； 作业作业课本习题课本习题2.3A组组1，2，3题题
