江苏省溧水高级中学2019届高三数学上学期10月学情调研考试试题.pdf

江苏省溧水高级中学 2019 届高三数学上学期 10 月学情调研考试试题江苏省溧水高级中学江苏省溧水高级中学 20192019 届高三数学上学期届高三数学上学期 1010 月学情调研考试试题月学情调研考试试题一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 1414 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分，共分，共 7070 分请把答案填写在答题卡相应位置上分请把答案填写在答题卡相应位置上1 集合A x|0 x 2，xR，集合B x|1x3,xR,则AB 2 设i是虚数单位，若复数z 32ii，则z的虚部为ReadReadx x3 执行所示伪代码，若输出的y的值为 17，则输入的x的值是 If Ifx x2 2 Then Thenyy5 5x+x+2 24 在平面直角坐标系xoy中，点P在角2ElseElse3的终边上,且OP 2，则yy2 2x x+ +1 1EndEndIf If点P的坐标为 PrintPrinty y（第 3 题）5 某学校要从A，B，C，D这四名老师中选择两名去新疆支教（每位老师被安排是等可能的） ，则A,B两名老师都被选中的概率是6 函数y 182x1的定义域为7 在等差数列an中,a49，a817，则数列an的前n项和Sn8 已知sin 35，32，则tan 29 已知实数2,m,8构成一个等比数列,则椭圆x2m y21的离心率是10若曲线y x2x1在x 1处的切线与直线ax y1 0垂直，则实数a等于 11在ABC中，已知B 2A，则2tan A3tan B的最小值为12已知圆C:(x2)2(y2)21,直线l:y k(x5)，若在圆C上存在一点P，在直线l上存在一点Q，使得PQ的中点是坐标原点O，则实数k的取值范围是 13在直角梯形ABCD中,AB/CD，AB 2，DAB 90，AD DC 1,AC与BD相交于点Q,P是线段BC上一动点，则BQ AP的取值范围是14已知函数f (x) x2axb(a,bR),若存在非零实数t，使得f (t) f (1t) 2，- 1 -江苏省溧水高级中学 2019 届高三数学上学期 10 月学情调研考试试题则a 4b的最小值为二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 6 小题小题, ,共计共计 9090 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过22程或演算步骤程或演算步骤15(本小题满分 14 分）在ABC中，角A,B，C所对的边分别为a，b，c，且(abc)(abc) 3ab（1）求角C的大小；（2）若sin(B3) 35，求sin A的值16(本小题满分 14 分)如图，在三棱锥P ABC中，AC BC，点D在AB上，E为AC的中点，且BC /平面PDE（1）求证:DE /平面PBC；（2）若平面PCD 平面ABC,求证:平面PAB 平面PCD17 （本小题满分 14 分）已知函数f (x) x| x 1| 14(1)解方程f (x) 0；（2）设g(x) xf (x)，求g(x)在0,2上的最小值- 2 -江苏省溧水高级中学 2019 届高三数学上学期 10 月学情调研考试试题18 （本小题满分 16 分）江苏省第十九届运动会将于2018年在扬州举行，为此某礼品公司计划推出一系列纪念品，其中一个工艺品需要设计成如图所示的一个结构(该图为轴对称图形）,其中ABC的支撑杆AB，CD由长为3的材料弯折而成（即AB CD 3）,AB边的长为2t（1t3） （CA，CB另外用彩色线连结,此处不计） 。在如图所示2的平面直角坐标系中，支撑杆曲线AOB拟从以下两种曲线中选择一种：曲线C1是一段余弦曲线,其表达式为y 1cos x，记结构的最低点O到点C的距离为h1(t)；曲线C2是抛物线y 最低点O到点C的距离为h2(t)42x的一段，此时记结构的9（1）求函数h1(t)，h2(t)的表达式；（2)要使得点O到点C的距离最大，应选用哪一种曲线？此时最大值是多少？（参考数据cos1 0.54）19 （本小题满分 16 分)如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN,且C1，C2的离心率都为e，直线lMN,l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B,C,D（1）设e 1BC,求值；2AD（2）当e变化时，是否存在直线l，使得BOAN，并说明理由- 3 -江苏省溧水高级中学 2019 届高三数学上学期 10 月学情调研考试试题20(本小题满分 16 分)已知函数f (x) xln x(k 1)x，k R（1）若k 1，求f (x)的最值；（2）若对于任意xe，e3，都有f (x) 4ln x成立,求实数k的取值范围；（3）若对于任意x2，e2，都有f (x) 2xk成立，求整数k的最大值2019 届高三年级学情调研考试数学附加题 2018 2018。101021 （A A)【选修 42：矩阵与变换】 （本小题满分 10 分）设23是矩阵M a232的一个特征向量。（1)求实数a的值；（2）求矩阵M的特征值。- 4 -江苏省溧水高级中学 2019 届高三数学上学期 10 月学情调研考试试题（B B） 【选修 44：坐标系与参数方程】 （本小题满分 10 分）圆C: 2cos（22(本小题满分 10 分）盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数i,i,2,2其中i是虚数单位称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数后并放回”为一次试验(设每次试验的结果互不影响） （1）求事件A“在一次试验中,得到的数为虚数”的概率P(A)与事件B“在四次试验中，至少有两次得到虚数” 的概率P(B);（2)在两次试验中,记两次得到的数分别为a,b，求随机变量 ab的分布列与数学期望E.23 （本小题满分 10 分）在自然数列1,2,3,4)，与极轴交于点A（异于极点O） ，求直线CA的极坐标方程.,n中,任取k(0 k n),k N)个元素，其余n k个元素变动位置，得到不同的新数列。由此产生的不同新数列的个数记为Pn(k)。- 5 -江苏省溧水高级中学 2019 届高三数学上学期 10 月学情调研考试试题（1）求P3(1),P4(0)；n(2）证明：nn1kPn(k) nn1(k)，并求出k0Pk0kPn(k)的值。k020192019 届高三学情调研考试数学答案届高三学情调研考试数学答案 2018.102018.10一、填空题一、填空题1 1 1，2 2） 23 34 4 4(1, 3) 5错误错误! ! 6(,2 7n2 2n 8932 1043 113 12334,334 1383,2163 145一、解答题一、解答题15 （本小题满分 14 分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(abc)(abc) 3ab（1）求角C的大小；（2）若sin(B) 335,求sin A的值解析解析: :（1）由(abc)(abc) 3ab，得(ab)2c23ab，即a2b2c2 ab2 分a2b2c2由余弦定理得cosC 2abab2ab12，4 分因为C(0,)，所以C 36 分（2）由(1）知C 23，则B(0,3)，则B3(3,3)，8 分因为sin(B3243) 5，所以cos(B3) 1sin (B3) 510 分又因为A B C ，所以sin A sin(BC) sin(BC) sin(B3) sin(B23)312 分247- 6 -江苏省溧水高级中学 2019 届高三数学上学期 10 月学情调研考试试题 sin(B3)cos23cos(B23)sin331434 35(2)5231014 分16(本小题满分 14 分)如图，在三棱锥P ABC中，AC BC,点D在AB上，E为AC的中点，且BC /平面PDE（1）求证：DE /平面PBC;(2)若平面PCD 平面ABC，求证:平面PAB 平面PCD解析： （1)因为BC /平面PDE，BC 平面ABC，平面PDE 平面ABC DE，所以BC / DE，4 分因为DE 平面PBC,BC 平面PBC,所以DE /平面PBC6 分（2）在ABC中，因为E为AC的中点,DE / BC，所以D是AB的中点8 分因为AC BC，所以AB CD，10 分因为平面PCD 平面ABC，平面PCD 平面ABC CD，AB 平面ABC，所以AB 平面PCD，12 分因为AB 平面PAB,所以平面PAB 平面PCD14 分17(本小题满分 14 分)已知函数f (x) x| x 1| 14（1）解方程f (x) 0；（2)设g(x) xf (x)，求g(x)在0,2上的最小值（1）x 1x 12 11x2 x14 0或21，解得：x x x4 02或x 2; 4 分1（2）g(x) x2| x 1| 1x3 x24x (0 x 1)4x x3 x21,4x (1 x 2)3x2 2x 1(0 则g(x) 4x 1)6 分3x2 2x 14(1 x 2)- 7 -江苏省溧水高级中学 2019 届高三数学上学期 10 月学情调研考试试题（1）当1 x 2时，g(x) 0,g(x)在1,2上单调减,此时g(x)ming(2) （2）当0 x 1时，令g(x) 0，解得：x 当0 x 98 分22727或x （舍去）;662727 x 1时，g(x) 0；时，g(x) 0；当662727,1上单调增,上单调减,在66g(x)在0,此时g(x)ming(27177 712 分) 6108又177 79 ，13 分1082914 分2g(x)在0,2上的最小值为g(2) 18 （本小题满分 16 分）江苏省第十九届运动会将于2018年在扬州举行，为此某礼品公司计划推出一系列纪念品，其中一个工艺品需要设计成如图所示的一个结构(该图为轴对称图形）,其中ABC的支撑杆AB,CD由长为3的材料弯折而成（即AB CD 3)，AB边的长为2t（1t3)（CA，CB另外用彩色线连结,此处不计）.在如图所示的2平面直角坐标系中，支撑杆曲线AOB拟从以下两种曲线中选择一种：曲线C1是一段余弦曲线,其表达式为y 1cosx，记结构的最低点O到点C的距离为h1(t)；曲线C2是抛物线y 最低点O到点C的距离为h2(t)（1）求函数h1(t)，h2(t)的表达式;42x的一段，此时记结构的9(2）要使得点O到点C的距离最大,应选用哪一种曲线?此时最大值是多少?（参考数据cos1 0.54）解析解析: :（1）对于曲线C1,因为曲线AOB的表达式为y 1cos x，所以点B的坐标为(t,1cost)，所以点O到AB的距离为1cost,2 分因为DC 32t,所以h1(t) (32t)(1cost) 2t cost 4（1 t 对于曲线C2y 3） ；4 分2424x，则点B的坐标为(t,t2)，9942所以点O到AB的距离为t，6 分9因为DC 32t，423所以h2(t) t 2t 3(1 t )8 分92(t) 2sint 0,（2）因为h1- 8 -江苏省溧水高级中学 2019 届高三数学上学期 10 月学情调研考试试题所以h1(t)在1,上单调递减，所以当t 1时，h1(t)取得最大值2cos110 分324933(t )2， （1 t ）944213所以当t 1时，h2(t)取得最大值为，12 分913因为2cos1 1.46 ，所以选用曲线C1，14 分9且当t 1时，点O到点C的距离最大,最大值为2cos116 分因为h2(t) 19(本小题满分 16 分)如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线lMN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B,C,D(1）设e 1BC，求值；2AD(2）当e变化时，是否存在直线l，使得BOAN，并说明理由解析： （1）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设x2y2b2y2x2C1:221,C2:421,(a b 0)abaa2 分设直线l : x t(|t | a)，分别与C1，C2的方程联立，求得A(t,a22b22a t ),B(t,a t )4 分ba当e 13时，b a,分别用yA, yB表示A，B的纵坐标，22| BC |2yBb23可知28 分| AD|2yAa4（2)t=0 时的l不符合题意.b22a22a ta tt 0时,BO/AN当且仅当BO的斜率与AN的斜率相等，即abtt aab21e2 2a12 分解得t 2a b2e- 9 -江苏省溧水高级中学 2019 届高三数学上学期 10 月学情调研考试试题因为|t | a,0 e 1,所以1e22e21，解得2 e 114 分所以当0 e 22时，不存在直线l，使得BO/AN；15 分当22 e 1时,存在直线l使得BO/AN。16 分20 （本小题满分 16 分）已知函数f (x) xln x(k 1)x，k R（1)若k 1，求f (x)的最值;（2)若对于任意xe，e3，都有f (x) 4ln x成立,求实数k的取值范围；（3）对于任意x2，e2，都有f (x) 2xk成立，求整数k的最大值解析解析: :（1）f（x)的定义域为（0，） 因为k1，所以f（x)xlnx，f （x）lnx1列表如下：(0，(错误错误! !， x错误错误! !错误错误! !)f 0(x)所以，f（x）的最小值f(x） 单调递减单调递增为错误错误! !，没有错误错误! !值；4 分（2）对于任意xe，e3，都有f（x）4lnx成立，等价于对于任意xe，e3,都有k1(1错误错误! !）lnx成立，6 分令g(x)(1错误错误! !）lnx，所以g（x）错误错误! !因为xe，e3,所以g(x）0，所以g(x)在xe，e3时单调递增 8 分因为g(x）在xe，e3时的最大值是g（e3)312e3所以，实数k的取值范围是(212e3 ,)；10 分（3）对于任意x2，e2，都有f（x)2xk成立,即对于任意x2，e2，都有（lnxk1）x2xk成立，因为x2，e2,所以(lnxk1)x2xk等价于k错误错误! ! 12 分令h(x)错误错误! !，所以h（x）错误错误! !令p（x)lnxx2，求得p(x）x1x当x2，e2时所以p(x）0,p（x)在x2，e2上单调递增因为p（3）1ln31lne0，p（4)22ln222lne0，且p(x）图像不间断，大- 10 -最江苏省溧水高级中学 2019 届高三数学上学期 10 月学情调研考试试题所以p(x)在区间（3，4）内有唯一零点,14 分设唯一零点为x0，则x0（3，4)，且p(x0)lnx0 x020,即lnx0 x02所以，h(x）在2，x0上单调递减，在x0，e 上单调递增，h(x)在xx0时取到最小值h（x0） 2因为lnx0 x02，所以h（x0)错误错误! ! x0，所以整数k的最大值为 316 分数学附加题参考答案数学附加题参考答案21(A） 【选修 42:矩阵与变换】 （本小题满分 10 分）设23是矩阵M a232的一个特征向量。（1）求实数a的值；(2）求矩阵M的特征值。解(1)设2a2223是矩阵M是属于特征值的一个特征向量，则3233,2 分即2a6 2 4，解得 4，故实数a的值为 15分12a 1（2）矩阵M的特征多项式f () 1232 (1)(2)6 2348 分由f () 0，得 4或 1，故矩阵M的特征值为4和110分21 （B） 【选修 44：坐标系与参数方程】(本小题满分 10 分)圆C: 2cos（4),与极轴交于点A（异于极点O)，求直线CA的极坐标方程。解:圆C：2 2cos42cos2sin所以x2y22x 2y 04 分所以圆心C222,2,与极轴交于A2,06 分直线CA的直角坐标方程为x y 28 分即直线CA的极坐标方程为cos4110 分- 11 -江苏省溧水高级中学 2019 届高三数学上学期 10 月学情调研考试试题22(本小题满分 10 分）盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数i,i,2,2其中i是虚数单位称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响） （1）求事件A“在一次试验中，得到的数为虚数的概率P(A)与事件B“在四次试验中，至少有两次得到虚数” 的概率P(B)；（2）在两次试验中，记两次得到的数分别为a,b，求随机变量 ab的分布列与数学期望E.12分25110101411135 分P(B) 1 P(B) 1(C4( ) ( ) C4( )( ) 122221616解:(1）P(A) （2)可取 1，2,46 分P(1)41164P( 2) 81162表：P( 4) 418 分164列出概率分布124P1114241119E() 12410 分424423 （本小题满分 10 分）在自然数列1,2,3,n中,任取k(0 k n),k N)个元素，其余nk个元素变动位置，得到不同的新数列。由此产生的不同新数列的个数记为Pn(k)。（1）求P3(1),P4(0)；（2）证明：kP (k) nPnk0k0nn1n1(k)，并求出kPn(k)的值.k0n解： （1）数列 1，2，3 中保持其中 1 个元素位置不动的排列只有1，3，2 或 3，2，1 或 2，1，3，所以P3(1)3.2 分数列 1，2，3，4 中保持 0 个元素位置不动的排列,即每个数字都不在原来的位置上，所以P4(0) 9。4 分- 12 -江苏省溧水高级中学 2019 届高三数学上学期 10 月学情调研考试试题(2)数列1,2,3,k,n中任取其中k个元素位置不动 ,则有Cn种，其余nk个元素重新排列，并且使其余nk个元素都要改变位置，则有Pn(k) CknPnk(0)nn故kPkP(0)，又kCkk1n(k) kCnnkn nCn16 分k0k0nnn1所以kPkn1n(k) kCknPnk(0) nn1nk1(0) nk0k0CPk0Pn1(k)，8 分konn1对任意的nN,Pn(k) n!，从而n1(k) (n1)!k0Pk0n所以kPn(k) n(n1)! n!10 分k0- 13 -