江苏省苏州市2018届高三数学上学期期中试题.pdf
江苏省苏州市 2018 届高三数学上学期期中试题江苏省苏州市江苏省苏州市 20182018 届高三数学上学期期中试题届高三数学上学期期中试题一、 填空题:本大题共 1414 小题，每小题 5 5 分，共 7070 分 1。 已知集合 U1,2，3，4，5 ，A1，3,B2，3 ，则 A(UB)_ 2. 函数 y错误错误! !的定义域为_2 3. 设命题 p:x4；命题q:x 5x40,那么 p 是 q 的_条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)2* 4。 已知幂函数 yx2mm （mN N ）在（0，）是增函数，则实数m的值是_3 5。 已知曲线f（x）axlnx在点(1，f（1） ）处的切线的斜率为2，则实数a的取值是_ 6. 已知在等比数列an中，a32，a4a616,则错误错误! !_ 7。 函数ysin（2x）错误错误! !图象的一条对称轴是直线x错误错误! !，则的值是_f（x） 8。 已知奇函数f(x)在（，0)上单调递减，且f(2)0,则不等式0 的解集是_x1 9。 已知 tan错误错误! !2，则 cos2的值是_10。 若函数f（x）错误错误! !(a0 且a1)的值域为6，),则实数a的取值范围是_11. 已知数列an,bn 满足a1错误错误! !，anbn1，bn1错误错误! ! （nN N )， 则b1b2 b2 017_12。 设ABC的内角A，B，C的对边分别是a,b，c，D为AB的中点， 若bacosCcsinA且CD错误错误! !，则ABC面积的最大值是_13. 已知函数f(x） sin错误错误! !， 若对任意的实数错误错误! !， 都存在唯一的实数0，m， 使f（）f（）0，则实数m的最小值是_14. 已知函数f（x)错误错误! !若直线yax与yf(x）交于三个不同的点A(m,f（m)，B（n,f(n）)，C1（t,f(t） ） （其中m0,b0）的图象与 x 轴相切,且图象上相邻两个最高点之间的距离为.2(1） 求 a，b 的值；（2） 求 f(x)在错误错误! !上的最大值和最小值16。 （本小题满分 14 分）2在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c,已知sinBsinCmsinA(mR R） ，且a4bc0.（1) 当a2,m错误错误! !时，求b，c的值；（2) 若角A为锐角，求实数m的取值范围1江苏省苏州市 2018 届高三数学上学期期中试题17. （本小题满分 15 分)已知数列an的前n项和是Sn，且满足a11,Sn13Sn1（nN N ） (1） 求数列an的通项公式；(2） 在数列bn中,b13，bn1bn取值范围an1*2*(nN N ） ，若不等式anbnn对nN N 有解，求实数的an2江苏省苏州市 2018 届高三数学上学期期中试题18. (本小题满分 15 分）如图所示的自动通风设施该设施的下部ABCD是等腰梯形，其中AB为 2 米，梯形的高为 1 米,CD为 3米，上部错误错误! !是个半圆，固定点E为CD的中点MN是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆（横杆面积可忽略不计)，且滑动过程中始终保持和CD平行当MN位于CD下方和上方时，通风窗的形状均为矩形MNGH（阴影部分均不通风） (1） 设MN与AB之间的距离为x错误错误! !米,试将通风窗的通风面积S（平方米）表示成关于x的函数yS(x） ；（2） 当MN与AB之间的距离为多少米时,通风窗的通风面积S取得最大值？3江苏省苏州市 2018 届高三数学上学期期中试题19。 （本小题满分 16 分)2已知函数f（x)lnx,g(x）xxm.（1) 求过点P(0，1）的f(x）的切线方程;(2) 当m0 时，求函数F（x）f(x）g（x)在（0,a上的最大值；2x（3) 证明：当m3 时，不等式f（x)g（x）0，所以 b错误错误! !错误错误! !。（2) 由（1)可得 f（x）错误错误! !sin(4x错误错误! !)错误错误! !。因为 x错误错误! !，所以 4x错误错误! !错误错误! !，所以当 4x错误错误! !错误错误! !，即 x错误错误! !时，f（x)有最大值为错误错误! !；7江苏省苏州市 2018 届高三数学上学期期中试题当 4x错误错误! !错误错误! !，即 x错误错误! !时，f（x)有最小值为 0.21616。 (1） 由题意得 bcma，a 4bc0.当 a2，m错误错误! !时,bc错误错误! !，bc1，解得错误错误! !或错误错误! !2（2）cosA错误错误! !错误错误! !错误错误! !2m 3。2因为 A 为锐角，所以cosA2m 3（0，1)，2所以错误错误! !m 2。又由 bcma 可得 m0，所以，6m错误错误! !.2*17.17. 解：(1) 因为 Sn13Sn1(nN N )，所以Sn3Sn11（nN N ，n2） ，*所以an13an（nN N ，n2)又当n1 时，由S23S11 得a23 符合a23a1,所以an13an(nN N ） ，所以数列an是以 1 为首项，3 为公比的等比数列,n1所以an3（nN N )*(2） 因为bn1bn错误错误! !3（nN N )，所以bn是以 3 为首项，3 为公差的等差数列,*所以bn33（n1）3n（nN N ） ，2所以anbnn，即错误错误! !对nN N 有解*设f（n)错误错误! !(nN N ） 因为f(n1）f（n）错误错误! !错误错误! !错误错误! !，所以当n4 时，f（n1)f（n） ；当n4 时，f（n1） f（n)，所以f(1） f（2） f(3） f(4） f(5） f(6） ，所以f(n)maxf(4）错误错误! !，所以错误错误! !.18.18. (1） 当 0 x1 时，过点 A 作 AKCD，垂足 K，如图 1，则 AK1，DK错误错误! !错误错误! !，HM1x.由错误错误! !错误错误! !2，得 DH错误错误! !错误错误! !,所以 HG32DH2x，2所以 S（x）HMHG(1x)（2x）x x2；当 1 x错误错误! !时， 过点 E 作 ETMN， 垂足为 T， 连结 EN， 如图 2， 则 ETx1， TN错误错误! !错误错误! !错误错误! !，所以 MN2错误错误! !，所以 S(x）MNET2错误错误! ! （x1） 综上所述，S(x)错误错误! !图 1 18江苏省苏州市 2018 届高三数学上学期期中试题图 2 22 2(2 2） 当 0 x10 x1 时,S S(x x)x x x x2 2错误错误! !错误错误! !错误错误! !在0 0，1 1）上单调递减，所以 S S(x x）maxmaxS S(0 0)2 2；当 1x122，所以 S S(x x）的最大值为错误错误! !. .答：当 MNMN 与 ABAB 之间的距离为错误错误! !米时，通风窗的通风面积S S 取得最大值19.19. (1） 设切点坐标为(x0，lnx0） ，则切线方程为 ylnx0错误错误! !(xx0） ，将点 P（0，1）代入上式，得lnx00，即 x01，所以切线方程为 yx1.2（2) 当 m0 时,F(x)lnxx x,x(0，)，所以 F(x）错误错误! !，x(0，） ，所以当 0 x1 时，F（x） 0；当 x1 时，F（x)0，所以 F（x）在（0，1）上单调递增，在(1，)上单调递减，2所以当 01 时，F(x）的最大值为 F（1)0.2xx(3) f（x)g（x） x (x2)e可化为 m(x2)elnxx。x设 h(x）(x2）elnxx,x错误错误! !，要证 m3 时 mh(x)对任意 x错误错误! !均成立，只要证 h(x）max3.下证此结论成立：因为 h（x)（x1)错误错误! !，1所以当 x1 时，x10,所以x0错误错误! !,使得 u（x0)0,即ex0错误错误! !，lnx0 x0，所以当 x错误错误! !时，u（x）0，h（x)0；当 x（x0，1）时，u（x） 0，h(x）0，所以函数 h(x）在错误错误! !上单调递增，在x0,1上单调递减，所以 h（x)maxh(x0）(x02）ex0lnx0 x0(x22)错误错误! !2x01错误错误! !2x0.因为 y1错误错误! !2x 在 x错误错误! !上单调递增，所以 h(x0)1错误错误! !2x01223,即 h(x)max0，y0,xy0，所以 2x错误错误! !2y2（xy)错误错误! !(xy)(xy）错误错误! !3错误错误! !3，所以 2x错误错误! !2y3.22.22. (1) 记“甲拿到礼物”为事件A。在每一轮游戏中，甲留下的概率和他摸卡片的顺序无关，则 P(A)错误错误! !错误错误! !错误错误! !错误错误! !错误错误! !，答：甲拿到礼物的概率为错误错误! !。(2) 随机变量 的所有可能取值是 1，2，3，4。P（1）错误错误! !，P（2）错误错误! !错误错误! !错误错误! !，P（3)错误错误! !错误错误! !错误错误! !错误错误! !,P（4)12错误错误! !错误错误! !错误错误! !，随机变量 的概率分布列为1234P错误错误! !错误错误! !错误错误! !错误错误! !所以 E()1122错误错误! !3错误错误! !4错误错误! !2.2323。 （1) 原问题等价于ln（x1）axx10 对任意 x0，)恒成立，令 g（x）ln(x1）错误错误! !，则 g(x)错误错误! !。当 a1 时，g(x)错误错误! !0 恒成立，所以 g（x）在0，)上单调递增，所以 g（x）g（0）0 恒成立；当 a1 时，令 g（x）0，则 xa10，所以 g（x）在(0,a1)上单调递减，在（a1,)上单调递增，所以 g(a1)0 使得 g（x） 0,不合题意综上所述，实数 a 的取值范围是（，1 (2) 方法一：在(1）中取 a1，得ln（x1)错误错误! !(x(0，） ）,令 x1*n（nN N ） ，11江苏省苏州市 2018 届高三数学上学期期中试题上式即为 ln错误错误! !错误错误! !，即 ln(n1)lnn1，n1所以错误错误! !*上述各式相加可得错误错误! !错误错误! !错误错误! !ln（n1）(nN N )方法二：注意到错误错误! !ln2，错误错误! !错误错误! !ln3，*故猜想错误错误! !错误错误! !错误错误! !ln(n1） （nN N ）,下面用数学归纳法证明该猜想成立证明：当n1 时，错误错误! !ln2，成立；假设当nk时结论成立，即错误错误! !错误错误! !错误错误! !ln（k1） 在(1）中取a1,得 ln(x1） xx1（x（0，)）,令x错误错误! !（kN N ） ，则错误错误! !ln错误错误! !，那么，当nk1 时,错误错误! !错误错误! !错误错误! !错误错误! !ln(k1)错误错误! !ln（k1）ln错误错误! !ln（k2)，也成立由可知错误错误! !错误错误! !错误错误! !ln(n1)12
