函数的单调性_PPT精品课件.ppt

函数的单调性函数的单调性北京市苹果园中学北京市苹果园中学毕烨毕烨点此播放讲课视频点此播放讲课视频 学生情况分析学生情况分析2 2教学目标分析教学目标分析3 3教学重难点分析教学重难点分析4 4教学内容分析教学内容分析1 1教学方法分析教学方法分析5 5教学过程设计教学过程设计6 6 学生情况分析学生情况分析2 2教学目标分析教学目标分析3 3教学重难点分析教学重难点分析4 4教学内容分析教学内容分析1 1教学方法分析教学方法分析5 5教学过程设计教学过程设计6 61.1.教材内容教材内容（教材位置，课时设置）（教材位置，课时设置）数学数学 必修一必修一B B版版 第二章第一节第二章第一节共共2 2课时，本节课为第课时，本节课为第1 1课时课时点此播放讲课视频点此播放讲课视频2.2.教材的地位和作用教材的地位和作用单调性本身单调性本身初中初中初步感性初步感性认识认识高一高一单调单调性性严严格定格定义义高三高三导数与单调导数与单调性性单调性单调性2.2.教材的地位和作用教材的地位和作用本章节教学本章节教学对函数概念的对函数概念的延续和扩展延续和扩展为研究其他性质为研究其他性质起示范作用起示范作用后续研究函数后续研究函数的基础的基础函数知识网络函数知识网络 对初中深化，从感性到理性对初中深化，从感性到理性承上承上为后续学习打下基础为后续学习打下基础启启下下2.2.教材的地位和作用教材的地位和作用2.2.教材的地位和作用教材的地位和作用高中数学学习高中数学学习数形结合思想数形结合思想研究函数性质的有力工具研究函数性质的有力工具点此播放讲课视频点此播放讲课视频 学生情况分析学生情况分析2 2教学目标分析教学目标分析3 3教学重难点分析教学重难点分析4 4教学内容分析教学内容分析1 1教学方法分析教学方法分析5 5教学过程设计教学过程设计6 6简单函数、函数概念表示、函数图象、增减性简单函数、函数概念表示、函数图象、增减性知识结构知识结构能力结构能力结构学习心理学习心理本班特点本班特点观察事物能力，抽象归纳的能力和语言转换能力观察事物能力，抽象归纳的能力和语言转换能力渴望进一步学习的积极心态渴望进一步学习的积极心态理科实验班，数学素养较好理科实验班，数学素养较好 学生情况分析学生情况分析2 2教学目标分析教学目标分析3 3教学重难点分析教学重难点分析4 4教学内容分析教学内容分析1 1教学方法分析教学方法分析5 5教学过程设计教学过程设计6 6 （1 1）从形与数两方面理解单调性的概念）从形与数两方面理解单调性的概念 （2 2）绝大多数学生初步学会利用函数图象）绝大多数学生初步学会利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法和单调性定义判断、证明函数单调性的方法 1 1、知识与技能：、知识与技能： （1 1）通过对函数单调性定义的探究，提高）通过对函数单调性定义的探究，提高观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高推理论证能力过对函数单调性的证明，提高推理论证能力 （2 2）通过对函数单调性定义的探究，体验）通过对函数单调性定义的探究，体验数形结合思想数形结合思想 （3 3）经历观察发现、抽象概括，自主建构）经历观察发现、抽象概括，自主建构单调性概念的过程，体会从具体到抽象，从特单调性概念的过程，体会从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程殊到一般，从感性到理性的认知过程2 2、过程与方法：、过程与方法：通过知识的探究过程培养细心观察、认真分通过知识的探究过程培养细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；感受用辩证析、严谨论证的良好思维习惯；感受用辩证的观点思考问题的观点思考问题3 3、情感态度价值观：、情感态度价值观： 学生情况分析学生情况分析2 2教学目标分析教学目标分析3 3教学重难点分析教学重难点分析4 4教学内容分析教学内容分析1 1教学方法分析教学方法分析5 5教学过程设计教学过程设计6 6教学重点：教学重点： 函数单调性的概念形成和初步运用函数单调性的概念形成和初步运用教学难点：教学难点： 函数单调性的概念形成函数单调性的概念形成 学生情况分析学生情况分析2 2教学目标分析教学目标分析3 3教学重难点分析教学重难点分析4 4教学内容分析教学内容分析1 1教学方法分析教学方法分析5 5教学过程设计教学过程设计6 6普通高中数学课程标准普通高中数学课程标准(实验实验)指出：指出：“高中数学课程应倡高中数学课程应倡导自主探索等学习数学的方式，这些方式有助于发挥学生学导自主探索等学习数学的方式，这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的再创再创造造过程。过程。” 教学方法：教学方法：启发式教学法和学生探究式教学法启发式教学法和学生探究式教学法 学生情况分析学生情况分析2 2教学目标分析教学目标分析3 3教学重难点分析教学重难点分析4 4教学内容分析教学内容分析1 1教学方法分析教学方法分析5 5教学过程设计教学过程设计6 6创设情境创设情境引入新课引入新课初步探索初步探索概念形成概念形成概念深化概念深化延伸拓展延伸拓展证法探究证法探究应用定义应用定义小结评价小结评价作业创新作业创新创设情境创设情境引入新课引入新课数学课程标准中提出数学课程标准中提出“通过已学过的函数特通过已学过的函数特别是二次函数理解函数别是二次函数理解函数的单调性的单调性”xyy=2xO 112-12-1-2-2yy= -2xO 112-12-1-2-2xxyy=x2+1O11问题问题1：分别作出函数：分别作出函数y=2x，y=-2x和和y=x2+1的图的图象，并且观察函数变化规律？象，并且观察函数变化规律？ 增函数、减函数增函数、减函数单调性是局部性质单调性是局部性质？ ？问题问题2创设情境创设情境引入新课引入新课初步探索初步探索概念形成概念形成点此播放说课视频点此播放说课视频xyy=x2+1O11函数的单调性函数的单调性问题三问题三： 以以y y= =x x2 2+1+1在在 (0(0，+ +) )上单调性为上单调性为例，如何用精确的数例，如何用精确的数学语言来描述函数的学语言来描述函数的单调性单调性？xyy=x2+1O11函数的单调性函数的单调性实现实现图形语言图形语言文字语言文字语言符号语言符号语言随着？随着？增大？增大？任取？任取？xyy=x2+1O11函数的单调性函数的单调性1 1、函数单调性定义、函数单调性定义定义内容进一步提问：进一步提问：如何判断如何判断 f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2) )得到求差法后提出得到求差法后提出 记记: :x= x2 2- -x1 1 y= f( f(x2 2)-f()-f(x1 1)= )= y2 2- -y1 1 创设情境创设情境引入新课引入新课初步探索初步探索概念形成概念形成概念深化概念深化延伸拓展延伸拓展点此播放讲课视频点此播放讲课视频问题四问题四：能否说：能否说f f( (x x)= )= 在它的定义域上是减函数？在它的定义域上是减函数？x1学生提出反例，得到结论学生提出反例，得到结论进一步提问：进一步提问：函数在定义域内的两个区间函数在定义域内的两个区间A A, ,B B上都是增（减）函数，上都是增（减）函数，何时函数在何时函数在A AB B上也是增上也是增（减）函数（减）函数 oxyOxyOo拓展探究：拓展探究：已知已知函数函数 )0( ,)0( ,)(2xaxxxxf是是（-，+）上的增函数，）上的增函数，求求a a的取值范围的取值范围 何何时满时满足任意性足任意性回回归归定定义义创设情境创设情境引入新课引入新课初步探索初步探索概念形成概念形成概念深化概念深化延伸拓展延伸拓展证法探究证法探究应用定义应用定义例例1 1：证明函数证明函数 在（在（0 0，+ + ）上是增函数）上是增函数1)(2 xxf 证明：任取证明：任取 且且), 0(,21 xx21xx 012xxx)()(12xfxfy) 1() 1(2122xx2122xx)(1212xxxx002112xxxxx，0)()(12xfxfy函数函数 在（在（0 0，+ + ）上是增函数）上是增函数1)(2 xxfxyy=x2+1O11函数的单调性函数的单调性1 1、函数单调性定义、函数单调性定义定定义内义内容容2 2、函数单调性证明、函数单调性证明例例1 1：证证明明过过程程断号断号设元设元变形变形作差作差定论定论例例2 2：判断函数判断函数 在（在（0 0，+ +）上的单调性）上的单调性xxxf1)( 进一步提问：进一步提问：如果把（如果把（0 0，+）条件去掉，如何解这道题？）条件去掉，如何解这道题？（作业）（作业） 课标中指出课标中指出“形式化是数学的基本特征之一，但不形式化是数学的基本特征之一，但不能仅限于形式化的表达。高中课程强调返璞归真能仅限于形式化的表达。高中课程强调返璞归真”因此本题不再从证明角度，而是让学生再次从定义因此本题不再从证明角度，而是让学生再次从定义出发，寻求方法，并体会转化思想。出发，寻求方法，并体会转化思想。创设情境创设情境引入新课引入新课初步探索初步探索概念形成概念形成概念深化概念深化延伸拓展延伸拓展证法探究证法探究应用定义应用定义小结评价小结评价作业创新作业创新 从知识、方法两个方面引导学生进行总从知识、方法两个方面引导学生进行总结结回顾函数单调性定义的探究过程；证明、回顾函数单调性定义的探究过程；证明、判断函数单调性的方法步骤；数学思想判断函数单调性的方法步骤；数学思想方法方法作业（作业（1 1、2 2、4 4必做，必做，3 3选做）选做）1 1、证明：函数、证明：函数 在区间在区间00，+ +) )上上 是增函数。是增函数。2 2、课上思考题、课上思考题3 3、求函数、求函数 的单调区间的单调区间4 4、思考、思考P46 P46 探索与研究探索与研究xxf)(xxxf1)( 通过本节课的学习预计学生能够理解单调性通过本节课的学习预计学生能够理解单调性的含义，绝大多数学生能按照单调性的证明步骤的含义，绝大多数学生能按照单调性的证明步骤进行证明，能判断函数的单调性。进行证明，能判断函数的单调性。 本节课最后设计了课堂反馈并结合教师评价本节课最后设计了课堂反馈并结合教师评价和学生自评来评价本节课的学习效果。和学生自评来评价本节课的学习效果。xyy=x2+1O11函数的单调性函数的单调性1 1、函数单调性定义、函数单调性定义定定义内义内容容2 2、函数单调性证明、函数单调性证明例例1 1：证证明明过过程程断号断号设元设元变形变形作差作差定论定论在情在情境设置境设置中，严格按照课中，严格按照课标要求，标要求，以二次函数以二次函数y y= =x x2 2+1+1为为例，经历画图、描述图象、找单调区间、形成单调性定义、例，经历画图、描述图象、找单调区间、形成单调性定义、证明其单调性的过程，将学生对单调性的认识从感性上升证明其单调性的过程，将学生对单调性的认识从感性上升到理性，并将定义进行应用。到理性，并将定义进行应用。xxyy一、函数的单调性 单调上升单调上升,90单调下降单调下降,90oo)(xfy 0)( xf0)( xfabab)(xfy 从导数的几何意义考察函数的单调性：从导数的几何意义考察函数的单调性：3. 3. 函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值 （导数的正负与函数升降的关系导数的正负与函数升降的关系）内可导，则内可导，则上连续，在上连续，在在在若若),(,)(babaxf, 0)(,)(xfbaxf在在. 0)(,)(xfbaxf在在证明：由极限保号性、中值定理可证.（）若f (x)在a,b连续，在(a,b)可导，且 不变号，则)(xf .,)(0)(,)(0)(严严格格单单调调下下降降在在严严格格单单调调上上升升在在baxfxfbaxfxf注1. Th.1 表明，讨论可导函数的单调性，只须判别 其导数的符号即可，其步骤是: 确定 的定义域； 求 ，令 求出分界点； 用分界点将定义域分成若干个开区间； 判别 在每个开区间内的符号，即可 确定 的严格单调性（严格单调区间）.)(xf)(xf0)( xf)(xf )(xf 例1. 讨论 的上升、下降情况.1123223xxxy解：解：该函数的定义域是 R. 由).2)(1(6)(xxxfy,2, 1,0)(xxf得得解解令令它们将 R 分成三个区间：列列表表如如下下)., 2(),2 , 1(),1,(xy+y) 1,()2, 1(), 2( 例2. .)2() 1(32xxy解：定义域是 R. 由).75()2)(1()(2xxxxfy. 257, 10)(和解得令xxf现列表讨论如下：xy+y. 0)2(),57()(fxf严严格格单单调调上上升升，但但在在可可见见，) 1 ,()57,1()2,57(), 2( Th. 2 （）若 f (x) 与 g(x) 满足条件：(1) 在a,b上可导;);()(),()(,),()2(xgxfxgxfba或或内内在在),()(),()() 3 (bgbfagaf或或).()(),(xgxfba内内有有则则在在注2. 利用函数的升降性及其导数之间的关系来证明不等式yxM)()(agafoaxb)(xfy )(xgy 在在几何意义：几何意义：)(2xfyTh.)(之之上上xgy Th. 2 若F(x)满足;,) 1 (可可导导在在ba. 0)(, 0)(),()2(xFxFba或或内内有有在在).()(),()(),(bFxFaFxFba或或内内有有则则在在证明：).()(),()()0)(, 0)()()(),(),()()(bFxFaFxFxFxgxfxFbaxgxfxF或或或或内内，则则在在令令例3. 证明.,0 xexx1证明：证明：则则令令),1 ()(xexfx);0()(, 0)(,0fxfxfx故故时时当当.1)(, 0)0(xexff).0()(, 0)(,0fxfxfx故故时时当当从而得证.例4. .!3sin,03xxxx时时证证明明当当证明：证明：, 0)0(,! 3sin)(3fxxxxf则则令令, 0)(), 0(,sin,0 xfxxx内内故故在在时时当当,21cos)(2xxxf, 0)0(,), 0)(,fxf又又单单调调上上升升在在因因此此.sin)(xxxf . 0)2(sin)2(222xx21cos)(2xxxf另另证证：,), 0)(单单调调上上升升在在由由此此知知xf.0)0()(),0(fxf内内有有从从而而在在.0)0()(,0fxfx时时所所以以当当22sin222xx例5. 证明方程.0sin21只只有有一一个个根根xx 证明：证明：则则令令,sin21)(xxxf.),()(严严格格上上升升在在即即：xf.)(最最多多只只有有一一个个零零点点故故xf., 0cos211)(Rxxxf.0, 0)0(是是唯唯一一根根因因之之而而xf二、函数的极大值与极小值二、函数的极大值与极小值1. （局部极值局部极值）点点的的某某领领域域在在若若0)(xxf内内有有定定义义，且且对对)0)(,(),(000 xxxO都都有有),(0 xOx )()(0 xfxf)()(0 xfxf或或.,.,)(00值值则则称称为为严严格格意意义义下下的的极极中中等等号号不不成成立立若若上上述述两两不不等等式式统统称称为为极极值值、极极值值点点点点（或或极极小小点点）称称为为极极大大极极小小值值）取取（局局部部）极极大大值值（或或在在则则称称xxxfo abxy1x2x3x4x5x6x7x注注3. 函数的极值的局部性. 定义中可以有.,.)(,)(),()(00大极小值比极大值可能还有时大、极小值同时取极在如xxfconstxfxfxf的的极极值值？如如何何确确定定函函数数)(.2xf,)() 1 (00定定理理则则由由取取极极值值且且在在可可导导在在点点若若Fermatxxxf的的称称为为的的解解是是方方程程即即有有)(,0)(, 0)(00 xfxfxxf,.,)()2(00例例如如也也可可能能是是极极值值点点则则不不可可导导在在若若xxxf.稳定点或驻点.0,0|)(是是其其极极小小值值点点但但不不可可导导在在xxxxf结论结论例如：例如：不一定就取局部极值不一定就取局部极值在其稳定点和不可导点在其稳定点和不可导点但但不存在的点不存在的点和和的零点的零点稳定点（即稳定点（即的极值点只可能是它的的极值点只可能是它的.)(.)()()(xfxfxfxf,0,3)(,)(23是是稳稳定定点点但但并并非非极极值值点点xxxfxxfoxyy=2xy=x.)(, 0)(上上在在因因Rxfxf.0, 02)(xxxxxg，.0)()0(非非极极值值点点故故，不不存存在在，由由于于xxggTh.3 （极值的必要条件）（极值的必要条件）的的零零点点只只可可能能是是则则的的极极值值点点是是若若)(,)(00 xfxxfx.)(的的不不可可导导点点或或xf 由此求出可能使由此求出可能使 f (x) 取极值的点之后，如何判定取极值的点之后，如何判定它是取极大值还是极小值呢？它是取极大值还是极小值呢？ 图示可见图示可见, 由导数符号由导数符号可判定极大极小值点可判定极大极小值点.xyo0 xyxo0 xTh. 4 （极值判别法之一）（极值判别法之一）),()(00 xxxf在在设设那那么么可可导导和和,)0)(,(00 xx是是极极小小点点；内内而而在在内内在在000000)(),(, 0)(),(xxfxxxfxx是是极极大大点点；内内，而而在在内内在在000000)(),(0)(),(xxfxxxfxx.)(0不不是是极极值值点点在在这这两两个个区区间间内内不不变变量量xxfx 取局部取局部极极小小值值 取局部取局部极极大大值值 不取局部不取局部极值极值 不取局部不取局部极值极值)(xf ),(00 xx),(00 xx0)(xxf在点在点证明：由函数的升降性及极值定义得到.列表如下列表如下：注注4.给给出出了了求求函函数数存存在在与与否否都都成成立立对对4.)(40ThxfTh的的局局部部极极值值的的步步骤骤：)(xf);()(1xfxf的的导导数数）求求（;)(0)(2不不存存在在的的点点求求解解稳稳定定点点，并并求求）令令（xfxf.)(3点点两两侧侧的的符符号号在在每每个个稳稳定定点点和和不不可可导导）判判别别（xf .4 . 判判别别极极值值属属性性由由ThTh.5 （极值判别法之二）（极值判别法之二）,0)(,0)(00 xfxf而而设设;)(, 0)() 1 (00是是极极大大值值则则若若xfxf 证明：证明：由二阶导数定义及极限保号性、Th4得证.)(, 0)()2(00是是极极小小值值则则若若xfxf Th. 5 那那么么而而阶阶连连续续导导数数，且且具具有有直直到到在在点点若若, 0)(, 0)()()(, 0)()(0)(0)1(0000 xfxfxfxfxfnxxfnn;)(,0非非极极值值是是奇奇数数时时当当xfn;0)(0)(时时取取极极大大值值当当xfn(1)(2)定理定理5是定理是定理5的特殊情形的特殊情形.且且是是极极值值是是偶偶数数时时当当,)(,0 xfn.0)(0)(时时取取极极小小值值当当xfn证明：证明：根据Taylor公式, 有).)()(!)()()(000)(0nnnxxoxxnxfxfxf.,|0的的符符号号决决定定项项的的符符号号由由上上式式右右端端第第一一充充分分小小时时当当xx ,)(,0的的符符号号而而改改变变符符号号随随是是奇奇数数nxxn., 00)(0)(极极大大值值xfn;, 00)(,0)(极极小小值值是是偶偶数数xfnn.故故不不取取极极值值例6.) 1(32的的极极值值求求xxy解：解：,325) 1(32313132xxxxxy现列表讨论如下：现列表讨论如下：.,0;520不不存存在在时时且且当当得得解解令令yxxyx0y+不存在0+y )0 ,()52,0(52),52(325453极小值极小值.52, 02535,9210,523523/4时时取取极极小小值值故故函函数数在在因因对对于于点点 xyxxyxx0极大值极大值例7.)5(23的的极极值值求求xxy解：解：).3)(5(52xxxy由由又又解解得得稳稳定定点点令令, 5 , 3 , 00 xy)5(5)3(5)3)(5(1022 xxxxxxxy)15122(102xxx. 0250)5(, 090)3(, 0)0( yyy有有.0; 0)5(5不不能能确确定定在在点点取取极极小小值值在在点点xyx. 0150)0()582(302 yxxy得得由由.0不不取取极极值值故故函函数数在在x;108)3(3yx点点取取极极大大值值故故函函数数在在例8.cos2)(的的极极值值求求xxeexxf解：解：.sin2)(xeexfxx又又得得令令.00)(xxf, 0)cos(2cos2)( xchxxeexfxx且且严严格格上上升升在在故故而而,),()(, 1xfchx; 0)0(,sin2)( fxeexfxx又又由由. 4)0(,0)(fxxf极极小小值值是是取取极极小小值值在在故故函函数数.)(lim,)(limxfxfxx. 0)0(. 00)( fxxf且且只只有有唯唯一一一一个个解解因因此此方方程程. 04)0(,cos2)()4()4(fxeexfxx三、函数的最大值和最小值三、函数的最大值和最小值如何求出函数在某区间上的最大值和最小值？如何求出函数在某区间上的最大值和最小值？yxaOb1x2x3x4x5x( )yf xmax3(),yf x由图形知,min( ).yf b注注1： 函数在某一区间上的最大值和最小值, 也叫全局极值.可导函数在可导函数在a,b上的最大、最小值的求解步骤：上的最大、最小值的求解步骤：1212( )0, , (),(),();nnfxx xxf xf xf x(1) 解方程 其根为计算 (2) ( ),( );f af b计算12(3) (),(),(),( ),( ) nf xf xf xf af b比较的大小，其中最大者是最大 值，最小者是最小值。11 ( )0 , ,() fxa bxf x 对于实际问题，若在内只有一个根则根据实际问题的意义，就是所要求的最大值或最小值.注注2：例9.32( )(1)f xxx1求在 -1,上的最大值及最小值.2解：解：31346( ) ( 1, ) 0, , 2525f x由例 知 在 中 有极大值极小值且311( 1)2, ( ) 228ff 所以函数的最大值是0, 最小值是2.例10. 某生产队要建造一个体积为某生产队要建造一个体积为 50 立方米立方米的有盖圆柱形氨水池的有盖圆柱形氨水池. 问这个氨水池的高和底问这个氨水池的高和底半径取多大时，用料最省？半径取多大时，用料最省？解：解：用料最省就是要求氨水池的表面积最小. 设氨水池的底半径是 r, 高是 h, 它 的表面积hrO222Srrh2250,VVVr hhrSr 因为体积立方米,利用 即 代入上式，便得到 为 的函数2222( )222VVSS rrrrrr322( )40,.2VVS rrrr由 得唯一解 32VrS 根据实际问题的意义, 当时, 取最小值.这时相应的高为32222Vrhrrr用V50立方米代入，得到3502242hr 米 答：当圆柱形氨水池的高和直径相等时，用料最省。答：当圆柱形氨水池的高和直径相等时，用料最省。11. R例用一块半径为 的圆形铁皮，剪去一块圆心角为 的圆扇形做成一个漏斗.问 为多大时，漏斗的容积最大？2, (2),2xRxRxR解：由题意知，余下部分的圆心角为 漏斗底周长为底半径为2222 ()4(0),22RxRhRxx其高为hRRx2352( )1660,2.3fxxxx由解得唯一稳定点为 422( )(4).xf xxx 按题设，只需考虑当 为何值时，函数 的值最大于是漏斗的容积为322222221()44(0).32224RxRRVxxxx22422( )4830,(2)0, 233fxxxfx又且 故 为极大点.22 (1),3 根据问题的实际意义, 剪去的圆心角为 =时所做漏斗的容积最大.四、函数的凸性四、函数的凸性是描述函数性状的一个更深入的概念是描述函数性状的一个更深入的概念.例如：.2xyxy与与yxo2xy21xy 11( )(,()f xxf x曲线向上凸, 则曲线上任何两点22(,()xf x与间的弦之中点位于曲线上相应点的下面,即曲线在弦之上. 反之, 曲线向下凸,则曲线在弦之下.xy)2(21xxf)(2xf)(1xf1x221xx 2xoxy)(1xf)(2xf1x221xx )2(21xxf2xo1. 1. Def（函数的凸性）（函数的凸性）12( ) , , ,f xa ba bx x 设在上连续,若对中任意两点恒有2)()()2(2121xfxfxxf1212()()()22xxf xf xf或：( ) , ( ) , f xa bf xa b则称在是向上凸的（或向下凸的），简称上凸（或下凸）. 当定义中等号不成立时，称在上严格上凸（或下凸）.注：注：函数的凹凸性，下凸即是上凹.( )( )f xf x 是上凸（下凸）函数是下凸（上凸）函数.2)()()2(2121xfxfxxf2)()()2(2121xfxfxxf2. 2. 函数的凸性与其导数的关系函数的凸性与其导数的关系Th. 6，那么内存在二阶导数在设)(),()(xfbaxf 为上凸；在内在),()(0)(),(baxfxfba ( , )( )0( )( , )a bfxf xa b在内在为下凸.证明证明：(1)( , )( )0.xa bfx 已知, 12,( ,),xxa b121201020,2,0.xxxxxxxhxxh h设 , 记 , 并记 由Lagrange公式，得：212xxhIn fact,.)()()(2212010hfhhxfhxf )()()()(0000 xfhxfxfhxf其中，1202010,1(,).xh xh, ( )0,f( )0( )0fxfx由 ，有 ，即.0) )( xf由得 上凸，故 下凸.)(xf)(xf).(2)()(0)()()()(0210000 xfxfxfxfhxfxfhxf即：: 若曲线 在其上一点 的一侧为上凸，另一侧为下凸，则称此点为曲线 的拐点拐点.)(xfy )(,(00 xfx)(xfy xyoy =f (x)0 x注：注：yxo4xy 内存在二阶导的领域在点若)0)(,()(00 xOxxf，即的拐点，则是数，且点0)()()(,(000 xfxfxfx, 0012)(24 xxxfxy，得，0( )0 xxfx是方程的解.000(,()( )xxxf xf x为，则点不一定是的拐点. 如：4(0,0)yx但点不是的拐点.的解是否为可见，0)( xf.6Th拐点要用进行判别.0()0fx反之，若的解 求求 ； 令令 ，求解，并划分，求解，并划分f (x)的定义域为若干的定义域为若干 个开区间个开区间. 判别判别 在每个开区间的符号在每个开区间的符号. 设设 , 列表讨论如下：列表讨论如下：3. 3. 讨论讨论 f (x) 的凸性及拐点的步骤的凸性及拐点的步骤)(xf 0)( xf)(xf 0)(0 xfx（上凸）0 （下凸）是拐点是拐点（下凸）0 （上凸）是拐点是拐点（下凸）0 （下凸） 不不 是是（上凸）0 （上凸） 拐拐 点点),(00 xx),(00 xx0 x)(,()(00 xfxxf在点)()(xfxf 注：对注：对 不存在的点亦可类似讨论不存在的点亦可类似讨论.0()fx例1. 讨论 的凸性及拐点.解：解：32) 1(xxy,32353132xxyxyo51521343192910 xxy,9)15(234xx 10;05yxxy 令解得 当时, 不存在. 现列表如下：x00不存在y上凸上凸拐点拐点下凸下凸非拐点非拐点下凸下凸)(xy )51,(51)0,51(), 0()25156,51(3例2.221xyx讨论的上升与下降、极值性、凸性及拐点.解：解：其定义域是 R. 由xyo11-1-1.)1 ()1 (2222xxy01,1yx 令,得，列表如下：x100y极极小小值值1 1极极大大值值 1 1( )y x) 1,(1) 1 , 1(), 1 ( 33,)1()3(4322xxxy 又. 3, 0 ,30 xy，得令列表如下： x0000 上凸上凸拐点拐点下凸下凸拐点拐点上凸拐点拐点下凸下凸)(xy y)3,(3)0 , 3()3, 0(3), 3()23, 3()0 , 0()23, 3(x0100000上上凸凸拐拐点点下下凸凸极极小小下下凸凸拐拐点点上上凸凸极极大大上上凸凸拐拐点点下凸下凸统一列表如下统一列表如下: :yy y)3,(3) 1, 3(1)0 , 1() 1 , 0()3, 1 (3), 3(. 1111极大极小，；，yxyx).23, 3()0 , 0()23, 3(，拐点为4. 4. 曲线的渐近线曲线的渐近线 xyo1F2F双曲线12222byax的渐近线.xaby如何求之？如何求之？曲线的渐近线有两种：曲线的渐近线有两种： 垂直渐近线；垂直渐近线； 斜渐近线斜渐近线 （包括水平渐近线）（包括水平渐近线）yxo)(xfy baxycx PKM: 当曲线 C 上动点 M 沿着曲线 C 无限远移时，若动点 M 到某直线 l 的距离无限趋于零，则称直线 l 是曲线 C 的渐近线.(1)(1)垂直渐近线垂直渐近线，或，或若)(lim)(limxfxfcxcxlim( )( )xcf xxcyf xx ，则直线是曲线的一条垂直渐近线（垂直于 轴）.例如：,log)(xxfa0,1,lim log0., 01,axaxxa1( )12.(1)(2)f xxxxx 有两条垂直渐近线与( )tan,0, 1,.2f xxxkk 有无限多条垂直渐近线 斜渐近线斜渐近线).2()(的渐近线是曲线：直线xfybaxyl.0lim),(limMKKMxx如何求出渐近线如何求出渐近线 呢？呢？yaxb( ,( )|( )|,M x f xMPf xaxb设动点，则 .cos|)(|cos),(baxxfMPMKKM因 是常数，故0)(limbaxxfxProp: 直线直线 是曲线是曲线 的斜渐近线的斜渐近线 a与与b 由与式分别确定由与式分别确定.因此得, 01)(lim)(limxbaxxfxbaxxfxx从而()lim.xfxax lim ().xbfxa x 由得baxy)(xfy 特别，当 a = 0 时，就是水平渐近线水平渐近线. 即：直线直线 是水平渐近线是水平渐近线 by .)(limbxfx例3. 2(3)( )4(1)xf xx求 的渐近线.解：解：由于211 ,(3)lim.4(1)1 ,xxxxx 故 x = 1 为 f (x) 的垂直渐近线.又,41)1(4)3(lim)(lim2xxxxxfaxx15( )44yxf x 为的斜渐近线.故.45)41)1(4)3(lim2xxxbx故 是渐近线.例4. 求双曲线 的渐近线.12222byax.22axaby解：解：因函数在(, ,)aa 上连续,ypxq故无垂直渐近线. 设斜渐近线 , 则lim,xybpxa xabylim()0.xqypx例5. 23(1),(1)xyx211yxxarctanyxx1,0 xy （）2()11yyxx , , 考虑 2().yxx ，考虑 利用函数特性描绘函数图形利用函数特性描绘函数图形, 一般步骤：一般步骤： 5. 函数的图形函数的图形(1) 确定函数确定函数 的定义域的定义域, 讨论函数的奇偶性、讨论函数的奇偶性、 对称性、周期性等性态对称性、周期性等性态; (2) 求出使求出使 不存在的点不存在的点, 把函数的定义域划分成几个部分区间把函数的定义域划分成几个部分区间; ( )0( )0,( ),( )fxfxfxfx和 及 ( )yf x (3) 根据根据 的符号的符号, 确定函数的上升或下降区间确定函数的上升或下降区间, 图形的上凸或下凸区间图形的上凸或下凸区间, 以及极值和拐点以及极值和拐点; 可可列表讨论列表讨论;( ),( )fxfx(4) 确定函数图形的水平、垂直渐近线、斜渐近线确定函数图形的水平、垂直渐近线、斜渐近线;(5) 描点作图描点作图. 描出极值点、拐点描出极值点、拐点, 曲线与坐标轴的交点曲线与坐标轴的交点.例12.2121 .xyx作曲线 的图形解：解：(1) (,0)(0,).定义域为342(1)2(32 )(2) ,.xxyyxx由 0,1.yx 令解得 (3) 列表讨论如下：列表讨论如下：3 0,.2yx 令解得 表表1. 函数的上升、下降和极值函数的上升、下降和极值.表表2. 函数的上凸、下凸和拐点函数的上凸、下凸和拐点. x 0 (0, 1) 1 y 不存在 0 y无定义 极极小小值值 0 x 0 y 不存在 0 y 下凸下凸无定义下凸下凸拐点拐点上凸上凸(,0)(,0)(1,)3(0,)2323(,)23 1(,)2 9表表3. 统一列表统一列表 x 0 1 y 不存在不存在 0 不存在不存在 0 y 下凸下凸无定无定义义 下凸下凸极极小小值值0 下凸下凸拐点拐点 上凸上凸y(,0)3 1(,)2 9(0,1)3(1, )2323( ,)220012(4) limlim(1).xxxyx 因为212 limlim(1)1, xxxyx又 0 ()xy故即 轴 是曲线的垂直渐近线. 1 .y 故是曲线的水平渐近线(5) 曲线与坐标轴的交点为 (1,0) . 作图如下： y x0.511.521ACB y = 1 渐近线渐近线O2121 xyxMatlab程序程序例13. 2.1xyx作函数 的图形解：解：（3）列表讨论如下：列表讨论如下：23(2)2(2) ,(1)(1)x xyyxx由0,0, 2;yx 令 解得 (1) (, 1)( 1,). 定义域为1xy 当时, 不存在.1xy 当时, 不存在. 2 1 0 0 不存在不存在 0 不存在不存在 极极大大值值 4 4极极小小值值 0 0 x( )fx( )f x( )fx上上 凸凸下下 凸凸(, 2) 无无定定义义( 2, 1)( 1,0)(0,)(4) 110; 10.xxyxy 显然,是垂直渐近线,且当时, 当时, 又因为( )lim1, lim( )1,xxf xf xxx 1.yx所以是斜渐近线(5) 曲线与坐标轴交于原点, 作图如下： yx-2 -1O -1-2-3-4Matlab程序程序注意最值与极值的区别注意最值与极值的区别.最值是整体概念而极值是局部概念最值是整体概念而极值是局部概念.实际问题求最值的步骤实际问题求最值的步骤.五、小结五、小结点此播放讲课视频点此播放讲课视频 函数图形的描绘综合运用函数性态的研究函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导数应用是导数应用的综合考察的综合考察.xyoab最大值最大值最小值最小值极大值极大值极小值极小值拐点拐点凹的凹的凸的凸的单增单增单减单减)(xfy 单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式和证明不等式.注意最值与极值的区别注意最值与极值的区别.最值是整体概念而极值是局部概念最值是整体概念而极值是局部概念.实际问题求最值的步骤实际问题求最值的步骤.极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念: :极大值可能小于极小极大值可