参数方程的概念与圆的参数方程.ppt
如图，一架救援飞机在离灾区地面如图，一架救援飞机在离灾区地面500m高高处以处以100m/s的速度作水平直线飞行。为使投放的速度作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面（不记空气阻救援物资准确落于灾区指定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？力），飞行员应如何确定投放时机呢？提示：即求飞行员在提示：即求飞行员在离救援点的水平距离离救援点的水平距离多远时，开始投放物多远时，开始投放物资？资？（1）在水平方向上做）在水平方向上做 运动，其水运动，其水平位移平位移S= （2）在竖直方向上做）在竖直方向上做 运动运动,其其竖直下落高度竖直下落高度H= 问题问题1：物资投出机舱后，它的运动由哪两种运动合成？：物资投出机舱后，它的运动由哪两种运动合成？问题问题2：在上述运动中水平位移：在上述运动中水平位移S和竖直下落高度和竖直下落高度H中中 是否有一个相同的变量，是什么？是否有一个相同的变量，是什么？匀速直线匀速直线100t自由落体自由落体(1/2)gt2 问题问题3：你能否建立适当的坐标系用含有：你能否建立适当的坐标系用含有t的式子的式子 表示出物资的位置？表示出物资的位置？x=100ty=500-(1/2)gt2问题问题4：通过对上述问题的分析：通过对上述问题的分析,飞行员在离救援点的水飞行员在离救援点的水平距离多远时投放物资，可以使其准确落在指定地点？平距离多远时投放物资，可以使其准确落在指定地点？三、参数方程的定义：三、参数方程的定义：在给定的坐标系中，如果曲线上任一点的坐标在给定的坐标系中，如果曲线上任一点的坐标x x、y y都是某个变量都是某个变量t t的函数的函数且对且对t t每一个允许值，由（每一个允许值，由（1 1）所确定的点）所确定的点M M（x,yx,y）都在这条曲线上，则（都在这条曲线上，则（1 1）就叫做这条曲线的参数）就叫做这条曲线的参数方程，方程，t t称作参变数，简称参数。称作参变数，简称参数。（1）)()(tgytfx （1）相对于参数方程来说，以前的方）相对于参数方程来说，以前的方程是有所不同的为了区别起见，我们把程是有所不同的为了区别起见，我们把以前学过的方程称作曲线的普通方程以前学过的方程称作曲线的普通方程 （2）参数是联系变量）参数是联系变量x,y的桥梁，可以的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数。可以是没有明显实际意义的变数。注意：注意：四四 、例题：、例题：例例1.1.已知曲线已知曲线C C的参数方程的参数方程 （1 1）判断点）判断点, ,与曲线与曲线C C的位置关系；的位置关系；在曲线在曲线C C上，求上，求a a的值的值. .（2）已知点）已知点 M3(6，a)M1(0，1) M2(5，4)五、课堂练习：五、课堂练习：1. 1. 曲线曲线 与与x x轴的交点坐轴的交点坐标是标是 ( )( )A.A.（1 1，4 4） B. C. (1,-3) D. B. C. (1,-3) D. 2. 2. 方程方程 表示的曲线上一表示的曲线上一点的坐标是（点的坐标是（ ） A.A.（2 2，7 7） B. C. D. B. C. D.（1 1，0 0） BD3. 3. 已知曲线已知曲线C C的参数方程的参数方程是是 点点M(5,4)M(5,4)在该曲线上在该曲线上. . 求常数求常数a.a.4. 4. 动点动点M M作匀速直线运动，它在作匀速直线运动，它在x x轴和轴和y y轴方向轴方向的分速度分别为的分速度分别为3 3m/sm/s和和4m/s4m/s，直角坐标系的，直角坐标系的长度单位是长度单位是1m1m，点，点M M的起始位置在点的起始位置在点 处，求点处，求点M M的轨迹的参数方程。的轨迹的参数方程。M0(2，1)观察观察1即的函数都是纵坐标、的横坐标点根据三角函数定义圆半径为的坐标为如果点,),(0yxPOPPryxPsincosryrx并且对于并且对于 的每一个允许值的每一个允许值,由方程组由方程组所所确定的点确定的点P(x,y),都在圆都在圆O上上. o思考思考1：圆心为原点，半径为圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程是什么呢的圆的参数方程是什么呢？-555-5rp0P(x,y) 我们把方程组我们把方程组叫做圆心在原点、半径为叫做圆心在原点、半径为r的圆的参数方程，的圆的参数方程，是参数是参数.sincos11ryrx?,)()(),(:22221那么参数方程是什么呢为的圆的标准方程、半径为圆心为思考rbyaxrbaO观察观察25-5-55v(a,b)oP(x,y)O1),(111yxP(a,b)r11111( , ),( , )( ,),O a brOrOP x yOP x y圆心为、半径为 的圆可以看作由圆心为原点 、半径为 的圆平移得到 设圆上任意一点是圆 上的点平移得到的由平移公式 有又又所以所以sincosrbyraxbyyaxx11例3例例2. 如图如图,已知点已知点P是圆是圆x2+y2=16上的一个动点上的一个动点, 点点A是是x轴上的定点轴上的定点,坐标为坐标为(12,0).当点当点P在圆在圆 上运动时上运动时,线段线段PA中点中点M的轨迹是什么的轨迹是什么?xMPAyO解解:设设M的坐标为的坐标为(x,y),可设点可设点P坐标为坐标为(4cos,4sin)点点M的轨迹是以的轨迹是以(6,0)为圆心、为圆心、2为半径的圆。为半径的圆。由中点公式得由中点公式得:点点M的轨迹方程为的轨迹方程为x =6+2cosy =2sinx =4cosy =4sin 圆圆x2+y2=16的参数方程为的参数方程为例例2. 如图如图,已知点已知点P是圆是圆x2+y2=16上的一个动点上的一个动点, 点点A是是x轴上的定点轴上的定点,坐标为坐标为(12,0).当点当点P在圆在圆 上运动时上运动时,线段线段PA中点中点M的轨迹是什么的轨迹是什么?解解:设设M的坐标为的坐标为(x,y),点点M的轨迹是以的轨迹是以(6,0)为圆心、为圆心、2为半径的圆。为半径的圆。由中点坐标公式得由中点坐标公式得: 点点P的坐标为的坐标为(2x- -12,2y)(2x- -12)2+(2y)2=16即即 M的轨迹方程为的轨迹方程为(x- -6)2+y2=4点点P在圆在圆x2+y2=16上上xMPAyO例例2. 如图如图,已知点已知点P是圆是圆x2+y2=16上的一个动点上的一个动点, 点点A是是x轴上的定点轴上的定点,坐标为坐标为(12,0).当点当点P在圆在圆 上运动时上运动时,线段线段PA中点中点M的轨迹是什么的轨迹是什么?例例1 1、已知圆方程已知圆方程x x2 2+y+y2 2 +2x-6y+9=0 +2x-6y+9=0，将它，将它化为参数方程。化为参数方程。解：解： x x2 2+y+y2 2+2x-6y+9=0+2x-6y+9=0化为标准方程，化为标准方程， （x+1x+1）2 2+ +（y-3y-3）2 2=1=1，参数方程为参数方程为sin3cos1yx(为参数为参数)练习：练习： 1.填空：已知圆填空：已知圆O的参数方程是的参数方程是sin5cos5yx(0 2 )如果圆上点P所对应的参数 ，则点P的坐标是 35 5 5 32,22QQ如果圆上点 所对应的坐标是则点 对应的参数 等于235,25322cos2.()2sin.,2.,2.xyABCD 选择题：参数方程为参数 表示的曲线是圆心在原点 半径为 的圆圆心不在原点 但半径为 的圆不是圆以上都有可能A半径为表示圆心为参数方程、填空题sin2cos2) 1 (:3yx的圆，化为标准方程为化为参数方程为把圆方程0142)2(22yxyx（2，-2）112222yxsin22cos21yx例例3、已知点已知点P（x，y）是圆）是圆x2+y2- 6x- 4y+12=0上动上动点，求（点，求（1） x2+y2 的最值，的最值， （2）x+y的最值，的最值， （3）P到直线到直线x+y- 1=0的距离的距离d的最值。的最值。 解：圆解：圆x2+y2- 6x- 4y+12=0即（即（x- 3）2+（y- 2）2=1，用参数方程表示为用参数方程表示为sin2cos3yx由于点由于点P在圆上，所以可设在圆上，所以可设P（3+cos，2+sin），），（1） x2+y2 = (3+cos)2+(2+sin)2 =14+4 sin +6cos=14+2 sin( +).13(其中其中tan =3/2) x2+y2 的最大值为的最大值为14+2 ，最小值为，最小值为14- 2 。1313(2) x+y= 3+cos+ 2+sin=5+ sin（ + ）24 x+y的最大值为的最大值为5+ ，最小值为，最小值为5 - 。 22(3)2)4sin(2421sin2cos3d显然当显然当sin（ + ）= 1时，时，d取最大值，最取最大值，最小值，分别为小值，分别为 ， 。4122221小小 结结: :1、圆的参数方程、圆的参数方程2、参数方程与普通方程的概念、参数方程与普通方程的概念3、圆的参数方程与普通方程的互化、圆的参数方程与普通方程的互化4、求轨迹方程的三种方法：、求轨迹方程的三种方法：相关点点问相关点点问题（代入法）；题（代入法）； 参数法；参数法；定义法定义法5、求最值、求最值例例4、将下列参数方程化为普通方程：将下列参数方程化为普通方程：sin3cos32yx(1)2cossinyx(2)(3)x=t+1/tx=t+1/ty=ty=t2 2+1/t+1/t2 2（1）（）（x-2）2+y2=9（2）y=1- 2x2（- 1x1）（3）x2- y=2（X2或或x- 2）步骤：步骤：（1）消参；）消参； （2）求定义域。）求定义域。
