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第2课时 数列的通项公式与递推公式1.1.了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项的特征意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项的特征写出它的一个通项公式；写出它的一个通项公式；( (重点）重点）2.2.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项会根据数列的递推公式写出数列的前几项. .（难点）（难点）按照一定顺序排列的一列数称为按照一定顺序排列的一列数称为数列数列. .( (数列具有数列具有有序性、可重复性、确定性有序性、可重复性、确定性) )1.1.数列的定义：数列的定义：我们可以根据数列的通项公式算出数列的各项我们可以根据数列的通项公式算出数列的各项. .数列的通项公式数列的通项公式注：数列与函数的关系注：数列与函数的关系y=fy=f（x x）a an nn n （正整数集（正整数集N N或它的有限子或它的有限子集集1,2,3, ,n)1,2,3, ,n)项项通项公式通项公式函数值函数值自变量自变量子子例例1 1 写出下面数列的一个通项公式，使它的前写出下面数列的一个通项公式，使它的前4 4项分别是项分别是下列各数：下列各数：解解：（1 1）这个数列的前）这个数列的前4 4项的绝对值都是序号的倒数，项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以，它的一个通项公并且奇数项为正，偶数项为负，所以，它的一个通项公式为式为 . . .通项公式不唯通项公式不唯一一（2 2）这个数列的前）这个数列的前4 4项构成一个摆动数列，奇数项是项构成一个摆动数列，奇数项是2 2，偶数项是偶数项是0 0，所以，它的一个通项公式为，所以，它的一个通项公式为思考：思考：1.1.根据数列的前若干项写出的通项公式的形式唯根据数列的前若干项写出的通项公式的形式唯一吗？请举例说明一吗？请举例说明. .不一定唯一不一定唯一. . .2.2.根据数列的前若干项一定能写出通项公式吗？请举例说根据数列的前若干项一定能写出通项公式吗？请举例说明明. .不一定能写出不一定能写出. .如如: :n n1 12 23 34 45 5a an n =2n-1 =2n-1 13579解：解：列表列表: :O 1 2 3 4 5 6 710987654321an=2n-1n n图象如下：图象如下：图象是一群图象是一群孤立的点孤立的点例例3 3 图中的三角形图案称为谢宾斯基图中的三角形图案称为谢宾斯基( (SierpinskiSierpinski) )三角三角形形. .在下图四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依在下图四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前次构成一个数列的前4 4项，请写出这个数列的一个通项公项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象式，并在直角坐标系中画出它的图象. .(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)解：解：如图，这四个三角形图案中着色的小三角形的个数如图，这四个三角形图案中着色的小三角形的个数依次为依次为1,3,9,27.1,3,9,27.则所求数列的前则所求数列的前4 4项都是项都是3 3的指数幂，指的指数幂，指数为序号减数为序号减1.1.所以所以, ,这个数列的一个通项公式是这个数列的一个通项公式是在直角坐标系中的图象如图所示在直角坐标系中的图象如图所示. . .0 03 36 69 912121515181821212424272730301 12 23 34 4数列的递推公式数列的递推公式1.1.观察以下数列，并写出其通项公式：观察以下数列，并写出其通项公式：思考：思考：除用通项公式外，还有什么办法可以确定这些数除用通项公式外，还有什么办法可以确定这些数列的每一项？列的每一项？2.2.观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型. .模型一：模型一：自上而下自上而下, , , , , ,模型二：模型二：上下层之间的关系上下层之间的关系 自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1 1， 对于上述所求关系，若知其第对于上述所求关系，若知其第n-1n-1项，即可求出其项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要他项，看来，这一关系也较为重要. .递推公式也是数列的一种表示方法递推公式也是数列的一种表示方法. .，例例4 4 设数列设数列aan n 满足满足写出这个数列的写出这个数列的前前5 5项项. .解：解：由题意可知由题意可知解解：1.1.根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：解：解：；.2.2.根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式归纳出通项公式. .N N* *）；）；N N* *）；）；N N* *）. .；2. 2. 递推公式与数列的通项公式的区别是：递推公式与数列的通项公式的区别是：1. 1. 通项公式、递推公式的概念；通项公式、递推公式的概念；(1)(1)通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项公式反映的是相邻两项( (或几项或几项) )之间的关系之间的关系. .(2)(2)对于通项公式，只要将公式中的对于通项公式，只要将公式中的n n依次取依次取1, 2, 3, 1, 2, 3, 4,4,即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项( (或前或前几项几项) )，才可依次求出其他项，才可依次求出其他项. .
