空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系.ppt

数学来源于生活，服务于生活，立体几何中的问数学来源于生活，服务于生活，立体几何中的问题要题要注意联系现实生活的实物模型，注意联系现实生活的实物模型，这样可以把抽象这样可以把抽象的问题具体化、形象化比如的问题具体化、形象化比如 观察教室，教室墙面、地面、天花板均可观察教室，教室墙面、地面、天花板均可抽象成抽象成平面平面，把把日光灯所在的线段日光灯所在的线段抽象成一条直线抽象成一条直线 问题问题1 1：上述问题中：上述问题中日光灯管日光灯管所在直线所在直线与墙面、地面、天与墙面、地面、天花板有何位置关系？花板有何位置关系？ 提示：平行或相交提示：平行或相交( (垂直垂直) ) 问题问题2 2：假如不小心一支铅笔掉在地面上，那么：假如不小心一支铅笔掉在地面上，那么铅笔所在铅笔所在的直线的直线与与地面地面有何关系？有何关系？ 提示：直线在平面内提示：直线在平面内 问题问题3 3：上述问题：上述问题1 1、2 2中直线与平面的中直线与平面的公共点个数如何公共点个数如何？ 提示：直线与平面平行，无公共点，提示：直线与平面平行，无公共点， 直线与平面相交只有直线与平面相交只有1 1个公共点，个公共点， 直线在平面内有无数个公共点直线在平面内有无数个公共点直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系位置关系直线a a在平面内直线a a在平面外直线a a与平面相交直线a a与平面平行公共点 公共点 公共点 公共点无数个无数个一个一个没有没有位置关系直线a a在平面内直线a a在平面外直线a a与平面相交直线a a与平面平行符号表示aaAa图形表示 观察拿在手中的两本书，我们可以想象两本书为两观察拿在手中的两本书，我们可以想象两本书为两个平面个平面 问题问题1 1：两本书所在的平面可以平行吗？公共点的：两本书所在的平面可以平行吗？公共点的个数是多少？个数是多少？ 提示：提示：可以，无公共点可以，无公共点 问题问题2 2：两本书所在的平面可以相交吗？公共点的：两本书所在的平面可以相交吗？公共点的个数是多少？个数是多少？ 提示：提示：可以，有无数个可以，有无数个两个平面的位置关系两个平面的位置关系位置关系图示表示法公共点个数两平面平行 两平面相交 有 个公共点( (在一条直线上) )l没有公共点没有公共点无数无数 1 1公共点的个数也可以公共点的个数也可以 (1) (1)当直线与平面当直线与平面无公共点无公共点，直线与平面直线与平面平行平行 (2) (2)当直线与平面当直线与平面有一个公共点有一个公共点时，直线与平面时，直线与平面相交相交 (3) (3)当直线与平面当直线与平面有两个公共点有两个公共点时，它们就有无数个公共时，它们就有无数个公共点，这时点，这时直线在平面内直线在平面内 例例1下列命题：下列命题： 直线直线l平行于平面平行于平面内的无数条直线，则内的无数条直线，则l； 若直线若直线a在平面在平面外，则外，则a； 若直线若直线ab，直线，直线b，则，则a； 若直线若直线ab，b，那么直线，那么直线a就平行于平面就平行于平面内的无数条直线内的无数条直线 其中真命题是其中真命题是_思路点拨思路点拨可按直线与平面位置关系的不同定义逐一判断可按直线与平面位置关系的不同定义逐一判断对于，直线对于，直线l虽然与平面虽然与平面内的无数条直线平行，内的无数条直线平行，但但l有可能在平面有可能在平面内，内，l不一定平行于不一定平行于，是，是假命题假命题对于，对于，直线直线a在平面在平面外，包括两种情况：外，包括两种情况：a和和a与与相交，相交，a和和不一定平行，是假命不一定平行，是假命题题对于，对于，直线直线ab，b，则只能说明，则只能说明a和和b无无公共点，但公共点，但a可能在平面可能在平面内，内，a不一定平行于不一定平行于，是假命是假命对于，对于，ab，b，那么，那么a或或a，a与平面与平面内的无数条直线平行，是真命题内的无数条直线平行，是真命题1 1圆台的母线与圆台的底面的位置关系是圆台的母线与圆台的底面的位置关系是( ( ) )A A相交相交B B平行平行C C母线在底面内母线在底面内 D D异面异面解析：解析：圆台的母线与圆台的底面只有一个交点，圆台的母线与圆台的底面只有一个交点，故其位置关系为相交故其位置关系为相交A 一点通一点通 空间中空间中直线与平面直线与平面只有只有三种位置关系：三种位置关系：1.1.直线在平面内、直线在平面内、2.2.直线与平面相交、直线与平面相交、3.3.直线与平面平行直线与平面平行在判断在判断直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系时，时，这三种情形都要考虑到，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏避免疏忽或遗漏另外，另外，我们可以我们可以借助空间几何图形，借助空间几何图形，把要把要判断关系的直线、平面判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中放在某些具体的空间图形中，以便于，以便于正确作出判断，避免凭空臆断正确作出判断，避免凭空臆断2.如图所示，如图所示，AB与长方体与长方体ABCDABCD 的六个面所在的平面有什么位置关系？的六个面所在的平面有什么位置关系？ 直线直线AB与平面与平面ABBA有无数个公共点，有无数个公共点， 直线直线AB在平面在平面ABBA内内直线直线AB与平面与平面ABCD，BCCB都有且只有一个公共点都有且只有一个公共点B，直线直线AB与平面与平面ABCD，BCCB相交相交直线直线AB与平面与平面ADDA，ABCD都有且只有一个公共点都有且只有一个公共点A，直线直线AB与平面与平面ADDA，ABCD相交相交直线直线AB与平面与平面DCCD没有公共点，没有公共点，直线直线AB与平面与平面DCCD平行平行解：解： 例例2(1)平面平面内有内有无数条直线无数条直线与平面与平面平行，问平行，问是否正确，为什么？是否正确，为什么？ (2)平面平面内的内的所有直线所有直线与平面与平面都平行，问都平行，问是是否正确，为什么？否正确，为什么？ 思路点拨思路点拨(1)无数条直线不能代表所有直线，结无数条直线不能代表所有直线，结合平面与平面平行的定义，举出反例即可；合平面与平面平行的定义，举出反例即可；(2)平面平面内内的所有直线与平面的所有直线与平面都平行，结合平面与平面平行的定都平行，结合平面与平面平行的定义即可判断义即可判断精解详析精解详析(1)不正确不正确 如图所示，设如图所示，设l，则在平面，则在平面内与内与l平行平行的直线可以有无数条：的直线可以有无数条：a1，a2，an，它们是一组平行线，这时它们是一组平行线，这时a1，a2，an，与平面与平面都平行都平行(因为因为a1，a2，an，与平面与平面无交点无交点)，但此时但此时与与不平行，不平行，l. (2) (2)正确正确 平面平面内所有直线与平面内所有直线与平面平行，则平面平行，则平面与平与平面面无交点，符合平面与平面平行的定义无交点，符合平面与平面平行的定义(1)不正确不正确(2)(2)正确正确 一点通一点通 两个平面的位置关系同平面内两条直线的两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系类似，可以从有无公共点区分：位置关系类似，可以从有无公共点区分：1.1.如果如果两个平面有一个公共点，两个平面有一个公共点，那么由公理那么由公理3 3可知，可知，这两个平面这两个平面相交于过这个点的一条直线；相交于过这个点的一条直线；2.2.如果如果两个平面没有公共点两个平面没有公共点，那么就说这两个平面互，那么就说这两个平面互相平行这样我们可以得出两个平面的位置关系：相平行这样我们可以得出两个平面的位置关系：平行平行没有公共点；没有公共点；相交相交有且只有一条公共直线有且只有一条公共直线若平面若平面与与平行，记作平行，记作；若平面；若平面与与相交，相交，且交线为且交线为l l，记作，记作l.3如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是相平行，那么两个平面的位置关系一定是()A平行平行 B相交相交C平行或相交平行或相交 D不能确定不能确定解析：解析：由分别在两个平面内的两直线平行由分别在两个平面内的两直线平行判定两平面是相交或平行解答本题可判定两平面是相交或平行解答本题可逆向考虑画逆向考虑画两平行面两平行面，看看是否能在此两面内画两条平行线是否能在此两面内画两条平行线同同样画两相交面，看是否能在此两面内样画两相交面，看是否能在此两面内画画两条平行线，两条平行线，再作出选择再作出选择( (如图所示如图所示) )C4 4在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有为一组，则共有_组互相平行的面与其组互相平行的面与其中一个侧面相交的面共有中一个侧面相交的面共有_个个解析：解析：六棱柱六棱柱的两个底面互相平行，的两个底面互相平行，每个侧面每个侧面与其直接相对的侧面平行，与其直接相对的侧面平行，故共有故共有4 4组互相平行组互相平行的面的面 六棱柱六棱柱共有共有8 8个面个面围成，在其余的围成，在其余的7 7个面中，个面中，与某个侧面平行的面有与某个侧面平行的面有1 1个，个，其余其余6 6个面与该侧面个面与该侧面均为相交的关系均为相交的关系46 例例3(12分分)已知：直线已知：直线ab，a平面平面P.求证：直线求证：直线b与平面与平面相交相交 思路点拨思路点拨直接证不易推出时，可考虑尝试反证法，找出矛盾即可直接证不易推出时，可考虑尝试反证法，找出矛盾即可 精解详析精解详析如图，如图， ab，a和和b确定平面确定平面， aP， 平面平面和平面和平面相交于过相交于过P点的直线点的直线l. (4分分) 在平面在平面内内l和两条平行直线和两条平行直线a，b中的一条直线中的一条直线a相交，相交， l必和必和b相交于相交于Q， 即即blQ， (8分分) 又因为又因为b不在平面不在平面内内(若若b在在内，则内，则和和都过都过 两相交直线两相交直线b和和l，因此，因此和和重合，重合，a在在内，内， 与已知矛盾与已知矛盾)，故直线，故直线b和平面和平面相交相交. (12分分) 一点通一点通对于直线与平面位置关系的判定及应对于直线与平面位置关系的判定及应用，当不易直接推证时，可用反证法用，当不易直接推证时，可用反证法5.如图所示，如图所示，Al，A，B ，Bl， 求证：直线求证：直线l和平面和平面相交相交 证明：证明：由已知直线由已知直线l和和有公共点有公共点A， 直线直线l不平行于平面不平行于平面， 假设直线假设直线l和和不相交，则不相交，则l. Bl，B.这与已知这与已知B 矛盾矛盾 直线直线l和平面和平面相交相交 1 1直线在平面外直线在平面外包括包括： (1)(1)直线与平面直线与平面相交相交，(2)(2)直线与平面直线与平面平行平行 2 2画画两个平行平面时，两个平行平面时，要注意要注意把表示平面的平把表示平面的平 行四边形画成对应边平行，行四边形画成对应边平行， 画画两相交平面时，两相交平面时，要注意要注意被遮挡部分画成虚线被遮挡部分画成虚线