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数学中考难题解析近三年中考数学综合题集锦 一、 学问网络梳理 数学综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型近几年的中考压轴题多以数学综合题的形式出现解数学综合题一般可分为仔细审题、理解题意，探求解题思路，正确解答三个步骤解数学综合题必需要有科学的分析问题的方法数学思想是解数学综合题的灵魂，要擅长总结解数学综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类探讨的思想、方程的思想等，要结合实际问题加以领悟与驾驭，这是学习解综合题的关键 题型1方程型综合题 这类题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等学问其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明 题型2函数型综合题 函数型综合题主要有：几何与函数相结合型、坐标与几何方程与函数相结合型综合问题，历来是各地中考试题中的热点题型主要是以函数为主线，建立函数的图象及性质、方程的有关理论的综合解题时要留意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满意函数的解析式等 函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类探讨思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合实力和较好的区分度，因此是各地中考的热点题型，压轴题的主要来源，并且长盛不衰，年年有新花样 题型3几何型综合题 几何综合题考查学问点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解实力，分析实力，解决问题的实力，对数学学问、数学方法有较强的驾驭实力，并有较强的创新意识与创新实力 1 几何型综合题，常用相像形与圆的学问为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等学问，以证明、计算等题型出现 2 几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧的长度的计算，角、角的三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等 3 几何论证题主要考查学生综合应用所学几何学问的实力 4 解几何综合题应留意以下几点：（1） 留意数形结合，多角度、全方位视察图形，挖掘隐含条件，找寻数量关系和相等关系 （2） 留意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化 （3） 留意驾驭常规的证题思路，常规的协助线添法 （4） 留意敏捷地运用数学的思想和方法  解决几何型综合题的关键是把代数学问与几何图形的性质以及计算与证明有机融合起来，进行分析、推理，从而达到解决问题的目的 二、 学问运用举例 例1（安徽省六安市）已知关的一元二次方程 有实数根 （1）求的取值范围 （2）若两实数根分别为和，且求的值 分析与解答 本题目主要综合考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系的应用以及代数式的恒等变形等 （1）由题意，0，即0解得 （2）由根与系数的关系，得 例2（北京市）已知关于的方程有两个不相等的实数根和，并且抛物线与轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁 （1） 求实数的取值范围 （2） 当时，求的值 分析与解答 本例以一元二次方程为背影，综合考查一元二次方程桶的判别式、桶与系数关系、分式方程的解法以及二次函数的有性质等 （1）一方面，关于的方程有两个不相等的实数根，解之，得另一方面，抛物线与轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁，且开口向上，当时，即，解得综合以上两面，的取值范围是 （2）、是关于的方程的两个不相等的实数根，即，解得经检验，都是方程的根舍去， 说明 运用一元二次方程根的差别式时，要留意二次项系数不为零，运用一元二次方程根与系数的关系时，要留意根存在的前提，即要保证0 例3（重庆市） 如图2418，O是AB上的一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D若AD，且AB、AE的长是关于的方程的两个实数根 （1）求O的半径（2）求CD的长 分析与解答 本题是一道方程与几何相结合的造型题，综合考查了切割线定理、根与系数的关系、一元二次方程的解法、勾股定理学问 （1）AD是O的切线，又，AE、AB的长是方程的两个实数根，把代入方程，解得AE2，AB6 O的半径为 （2）CBAB，AB经过圆心O，CB切O于点B，CDCB在RtABC中，设，由勾股定理得，解得 例4（2022四川绵阳）已知x1，x2 是关于x的方程（x2）（xm）（p2）（pm）的两个实数根 （1）求x1，x2 的值； （2）若x1，x2 是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m，p满意什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值 解：（1） 原方程变为：x2（m 2）x 2m p2（m 2）p 2m， x2p2（m 2）x （m 2）p 0， （xp）（x p）（m 2）（xp） 0， 即 （xp）（x pm2） 0， x1 p， x2 m 2p （2） 直角三角形的面积为 ， 当且m2时，以x1，x2为两直角边长的直角三角形的面积最大，最大面积为或 例5（07茂名市）已知函数的图象与轴的两交点的横坐标分别是，且，求c及，的值 解：令，即，当方程有两个不相等的实数根时，该函数的图象与x轴有两个交点 相关链接 ：若是一元二次方程的两根，则 此时即 由已知， ， ， ， ，(舍去) 当时，解得 综上：，为所求 例6（天津市） 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，且满意， （1）试证明； （2）证明； （3）对于二次函数，若自变量取值为，其对应的函数值为，则当时，试比较与的大小 解：（1）将已知的一元二次方程化为一般形式 即 是该方程的两个实数根 ， 而 （2） 于是，即 （3）当时，有 ， 又 ， 于是 由于， ，即 当时，有 例7（贵阳市）如图2420，二次函数的图象与轴交于A、B两点，与轴交于点C，点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D（1）求D点的坐标（2）求一次函数的解析式（3）依据图象写出访一次函数值大于二次函数的值的的取值范围 分析与解答 （1）由图2420可得C（0，3） 抛物线是轴对称图形，且抛物线与轴的两个交点为A（3，0）、B（1，0）， 抛物线的对称轴为，D点的坐标为（2，3） （2）设一次函数的解析式为，将点D（2，3）、B（1，0）代入解析式，可得 ，解得 一次函数的解析式为 （3）当时，一次函数的值大于二次函数的值 说明：本例是一道纯函数学问的综合题，主要考查了二次函的对称性、对称点坐标的求法、一次函数解析式的求法以及数形结合思想的运用等 例8（吉林省） 如图2421，二次函数的图象与轴交于A、B两点，其中A点坐标为（1，0），点C（0，5）、D（1，8）在抛物线上，M为抛物线的顶点 （1）求抛物线的解析式 （2）求MCB的面积 分析与解答 第（1）问，已知抛物线上三个点的坐标，利用待定系数法可求出其解析式第（20问，MCB不是一个特别三角形，我们可利用面积分割的方法转化成特别的面积求解 （1）设抛物线的解析式为，依据题意，得，解之，得 所求抛物线的解析式为 （2）C点的坐标为（0，5）OC5令，则，解得B点坐标为（5，0）OB5，顶点M坐标为（2，9）过点M用MNAB于点N，则ON2，MN9 说明：以面积为纽带，以函数图象为背景，结合常见的平面几何图形而产生的函数图象与图形面积相结合型综合题是中考命题的热点解决这类问题的关键是把相关线段的长与恰当的点的坐标联系起来，必要时要会敏捷将待求图形的面积进行分割，转化为特别几何图形的面积求解 例9（湖南省娄底市）已知抛物线与轴交于、，与轴交于点C，且、满意条件 （1）求抛物线的解析式； （2）能否找到直线与抛物线交于P、Q两点，使轴恰好平分CPQ的面积？求出、所满意的条件 分析与解答 （1），对一切实数，抛物线与轴恒有两个交点，由根与系数的关系得，由已知有，得由得化简，得解得，满意当时，不满意，抛物线的解析式为 （2）如图2422，设存在直线与抛物线交于点P、Q，使轴平分CPQ的面积，设点P的横坐标为，直线与轴交于点E ，由轴平分CPQ的面积得点P、Q在轴的两侧，即，由得又、是方程的两根，又直线与抛物线有两个交点，当时，直线与抛物线的交点P、Q，使轴能平分CPQ的面积故 说明 本题是一道方程与函数、几何相结合的综合题，这类题主要是以函数为主线解题时要留意运用数形结合思想，将图象信息与方程的代信息相互转化例如：二次函数与轴有交点可转化为一元二次旗号有实数根，并且其交点的横坐标就是相应一元二次方程的解点在函数图象上，点的坐标就满意该函数解析式等 例10（桂林市） 已知：如图2423，抛物线经过原点（0，0）和A（1，5） （1）求抛物线的解析式 （2）设抛物线与轴的另一个交点为C以OC为直径作M，假如过抛物线上一点P作M的切线PD，切点为D，且与轴的正半轴交于点为E，连结MD已知点E的坐标为（0，），求四边形EOMD的面积（用含的代数式表示） （3）延长DM交M于点N，连结ON、OD，当点P在（2）的条件下运动到什么位置时，能使得？恳求出此时点P的坐标 分析与解答 （1）抛物线过O(0，0)、A（1，3）、B（1，5）三点， ，解得，抛物线的解析式为 （2）抛物线与轴的另一个交点坐标为C（4，0），连结EMM的半径是2，即OMDM2ED、EO都是的切线，EOEDEOMEDM （3）设D点的坐标为（，），则当时，即，故ED轴，又ED为切线，D点的坐标为（2，3），点P在直线ED上，故设点P的坐标为（，2），又P在抛物线上，或为所求 图9 例11（上海市）如图9，在直角坐标平面内，函数（，是常数）的图象经过，其中过点作轴垂线，垂足为，过点作轴垂线，垂足为，连结， （1）若的面积为4，求点的坐标； （2）求证：； （3）当时，求直线的函数解析式 （1） 解：函数，是常数）图象经过， 设交于点，据题意，可得点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为， ， 由的面积为4，即， 得，点的坐标为 （2）证明：据题意，点的坐标为， ，易得， ， （3）解：，当时，有两种状况：当时，四边形是平行四边形， 由（2）得，得 点的坐标是（2，2） 设直线的函数解析式为，把点的坐标代入， 得解得 直线的函数解析式是 当与所在直线不平行时，四边形是等腰梯形， 则，点的坐标是（4，1） 设直线的函数解析式为，把点的坐标代入， 得解得 直线的函数解析式是 综上所述，所求直线的函数解析式是或 例12（资阳）如图10，已知抛物线P：yax2bxc(a0) 与x轴交于A、B两点(点A在x轴的正半轴上)，与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：x 3 2 1 2 y 4 0 图10 （1） 求A、B、C三点的坐标； （2） 若点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围； （3） 当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FMk·DF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围 若因为时间不够等方面的缘由，经过探究、思索仍无法圆满解答本题，请不要轻易放弃，试试将上述（2）、（3）小题换为下列问题解答(已知条件及第（1）小题与上相同，完全正确解答只能得到5分)：（2） 若点D的坐标为(1，0)，求矩形DEFG的面积 解： 解法一：设， 任取x，y的三组值代入，求出解析式， 令y0，求出；令x0，得y4， A、B、C三点的坐标分别是A(2，0)，B(4，0)，C(0，4) 解法二：由抛物线P过点(1，)，(3，)可知， 抛物线P的对称轴方程为x1， 又 抛物线P过(2，0)、(2，4)，则由抛物线的对称性可知， 点A、B、C的坐标分别为 A(2，0)，B(4，0)，C(0，4) 由题意，而AO2，OC4，AD2m，故DG42m， 又 ，EFDG，得BE42m， DE3m， SDEFGDG·DE(42m) 3m12m6m2 (0m2) SDEFG12m6m2 (0m2)，m1时，矩形的面积最大，且最大面积是6 当矩形面积最大时，其顶点为D(1，0)，G(1，2)，F(2，2)，E(2，0)， 设直线DF的解析式为ykxb，易知，k，b， 又可求得抛物线P的解析式为：， 令，可求出x. 设射线DF与抛物线P相交于点N，则N的横坐标为，过N作x轴的垂线交x轴于H，有 ， 点M不在抛物线P上，即点M不与N重合时，此时k的取值范围是 k且k0 若选择另一问题： ，而AD1，AO2，OC4，则DG2， 又， 而AB6，CP2，OC4，则FG3， SDEFGDG·FG6 例13（北京市）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形 （1）请写出一个你学过的特别四边形中是等对边四边形的图形的名称； （2）如图，在中，点分别在上， 设相交于点，若， 请你写出图中一个与相等的角，并猜想图中哪个四边形 是等对边四边形； （3）在中，假如是不等于的锐角，点分别在上，且探究：满意上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论 解：（1）回答正确的给1分（如平行四边形、等腰梯形等） （2）答：与相等的角是（或） 四边形是等对边四边形 （3）答：此时存在等对边四边形，是四边形 证法一：如图1，作于点，作交延长线于点 图1 因为，为公共边， 所以 所以 因为， ， 所以 可证 所以 所以四边形是等边四边形 证法二：如图2，以为顶点作，交于点 图2 因为，为公共边， 所以 所以， 所以 因为， ， 所以 所以 所以 所以 所以四边形是等边四边形 说明：当时，仍成立只有此证法，只给1分 例14（宁波市）四边形一条对角线所在直线上的点，假如到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点如图l，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PDPB，PAPC，则点P为四边形ABCD的准等距点 （1）如图2，画出菱形ABCD的一个准等距点 （2）如图3，作出四边形ABCD的一个准等距点(尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法) （3）如图4，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PAPC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且CDFCBE，CECF求证：点P是四边形AB CD的准等距点 （4）试探讨四边形的准等距点个数的状况(说出相应四边形的特征及准等距点的个数，不必证明) 解：（1）如图2，点P即为所画点(答案不唯一点P不能画在AC中点) （2）如图3，点P即为所作点(答案不唯一) （3）连结DB， 在DCF与BCE中， DCFBCE， CDFCBE， CFCE DCFBCE(AAS)， CDCB， CDBCBD PDBPBD， PDPB， PAPC 点P是四边形ABCD的准等距点 （4）当四边形的对角线相互垂直且任何一条对角线不平分另一对角线或者对角线相互平分且不垂直时，准等距点的个数为0个； 当四边形的对角线不相互垂直，又不相互平分，且有一条对角线的中垂线经过另一对角线的中点时，准等距点的个数为1个； 当四边形的对角线既不相互垂直又不相互平分，且任何一条对角线的中垂线都不经过另一条对角线的中点时，准等距点的个数为2个； 四边形的对角线相互垂直且至少有一条对角线平分另一对角线时，准等距点有多数个 例15(南充市) 如图，点M（4，0），以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、B已知抛物线过点A和B，与y轴交于点C （1）求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象 （2）点Q（8，m）在抛物线上，点P为此抛物线对称轴上一个动点，求PQPB的最小值 （3）CE是过点C的M的切线，点E是切点，求OE所在直线的解析式 C A M B x y O D E 解：（1）由已知，得A（2，0），B（6，0）， 抛物线过点A和B，则 解得 则抛物线的解析式为 故C（0，2） （说明：抛物线的大致图象要过点A、B、C，其开口方向、顶点和对称轴相对精确）（2）如图，抛物线对称轴l是x4 Q（8，m）抛物线上，m2 过点Q作QKx轴于点K，则K（8，0），QK2，AK6， AQ 又B（6，0）与A（2，0）关于对称轴l对称， PQPB的最小值AQ C A M B x y O D E Q P K 图 l C A M B x y O D E 图 （3）如图，连结EM和CM 由已知，得EMOC2 CE是M的切线，DEM90º，则DEMDOC 又ODCEDM 故DEMDOC ODDE，CDMD 又在ODE和MDC中，ODEMDC，DOEDEODCMDMC 则OECM 设CM所在直线的解析式为ykxb，CM过点C（0，2），M（4，0）， 解得 直线CM的解析式为 又直线OE过原点O，且OECM， 则OE的解析式为yx 第14页 共14页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页