《数学归纳法》.ppt
问题问题2：如何证明粉笔盒中的粉笔都是如何证明粉笔盒中的粉笔都是白色的？白色的？ 不不完全归完全归纳法纳法 完全归纳完全归纳法法 情境一问题问题 1:据观察据观察,某天某天早晨早晨第一个到学校的第一个到学校的是女同学是女同学,第二个到学校的也是女同学第二个到学校的也是女同学,第第三个到学校的还是女同学。于是得出高中三个到学校的还是女同学。于是得出高中的学生全是女同学。的学生全是女同学。归纳法分为归纳法分为 完全归纳法完全归纳法 和和 不完全归纳法不完全归纳法归纳法：由归纳法：由一系列有限的特殊事例一系列有限的特殊事例得出得出一一 般结论般结论的推理方法。的推理方法。考察考察全体对象全体对象，得到，得到一般结论的推理方法一般结论的推理方法考察考察部分对象部分对象，得到，得到一般结论的推理方法一般结论的推理方法结论一定可靠结论一定可靠，但需，但需逐一核对，实施较难逐一核对，实施较难结论一不定可靠结论一不定可靠，利于，利于发现问题，形成猜想发现问题，形成猜想定义定义111a 212a 313a 解解:猜想数列的通项公式为猜想数列的通项公式为717=a515=a616=a818=a919=a正整数正整数无限个无限个!414=a引例引例1：对于数列，已知，对于数列，已知，na11=annnaaa+=+11)(*Nn （1）求出数列前）求出数列前4项项,你能得到什么猜你能得到什么猜想？想？ （2）猜想一定是正确的吗？怎么证明？）猜想一定是正确的吗？怎么证明？)(*Nnnan1有限步骤有限步骤证明无限证明无限对象对象数学归纳法的感性认识数学归纳法的感性认识问题问题4 4：结合问题：结合问题1 1，粉笔盒里的粉笔是有限的，粉笔盒里的粉笔是有限的，迟早可以拿完，当东西是无穷的时候，那怎么迟早可以拿完，当东西是无穷的时候，那怎么办？办？ 首先确定第一次拿出来的是白粉笔，然后再有这样一首先确定第一次拿出来的是白粉笔，然后再有这样一个保证：当你这一次拿出来的是白粉笔，下一次拿出来的个保证：当你这一次拿出来的是白粉笔，下一次拿出来的也是白粉笔，在这样的保证下，就可以不费力检查而且做也是白粉笔，在这样的保证下，就可以不费力检查而且做出正确论断出正确论断“粉笔盒里的粉笔都是白的粉笔盒里的粉笔都是白的”，为什么？，为什么？第一次拿出来的是白粉笔，反复按着保证可得第二次，第一次拿出来的是白粉笔，反复按着保证可得第二次，第三次，第三次，拿出的都是白粉笔。这样用一个推一个的拿出的都是白粉笔。这样用一个推一个的的递推关系使问题得到了解决。的递推关系使问题得到了解决。 如一排排放的很近的自行车，只要碰倒一辆，如一排排放的很近的自行车，只要碰倒一辆，就会倒下一排，多米诺骨牌游戏，接力比赛，连串就会倒下一排，多米诺骨牌游戏，接力比赛，连串鞭炮的燃放，鞭炮的燃放，下面我们重点研究多米诺骨牌游戏，看能否下面我们重点研究多米诺骨牌游戏，看能否借助其思想方法解决引例的证明问题借助其思想方法解决引例的证明问题生活中有许多这种通过生活中有许多这种通过“传递传递”来完成任来完成任务的例子务的例子第一块要倒下，后面一块接一块倒下第一块要倒下，后面一块接一块倒下这样能使第二块后的所有骨牌都倒下这样能使第二块后的所有骨牌都倒下 问题问题5：这个游戏中，所有多米诺骨牌全部倒：这个游戏中，所有多米诺骨牌全部倒下，必须具备什么条件？下，必须具备什么条件？（2 2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致定导致 后一块倒下后一块倒下思考：若把第一、二块骨牌拿走，其它编号思考：若把第一、二块骨牌拿走，其它编号的骨牌不变，若让第三块骨牌倒下，第二个的骨牌不变，若让第三块骨牌倒下，第二个条件不变情况会怎么样？条件不变情况会怎么样？请谈谈为什么只要满足上述两个条件，所有多米诺请谈谈为什么只要满足上述两个条件，所有多米诺骨牌就能全部倒下？骨牌就能全部倒下？（1 1）第一块骨牌倒下；）第一块骨牌倒下；多米诺骨牌游戏的原理多米诺骨牌游戏的原理 这个猜想的证明方法这个猜想的证明方法1nan（1）第一块骨牌倒下。）第一块骨牌倒下。（2）若第）若第k块倒下时，块倒下时，则相邻的第则相邻的第k+1块也倒下。块也倒下。根据（根据（1）和）和 （2），），可知不论有多少块骨牌，可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。都能全部倒下。（1）当）当n=1时猜想成立。时猜想成立。（2）若当）若当n=k时猜想成立，时猜想成立，即即 ，则当，则当n=k+1时猜想时猜想也成立，即也成立，即 。1kak111kak根据（根据（1）和（）和（2），可），可知对任意的正整数知对任意的正整数n，猜，猜想想 都成立。都成立。类比多米诺骨牌游戏类比多米诺骨牌游戏,证明引例猜想成立证明引例猜想成立 由此，你认为证明一个与正整数由此，你认为证明一个与正整数 有关的命题，可以按怎样的步骤进行？有关的命题，可以按怎样的步骤进行？n数学归纳法定义数学归纳法定义一般地，证明一个与正整数一般地，证明一个与正整数n n有关的有关的命题步骤：命题步骤： 根据（根据（1 1）和（）和（2 2），可知命题从），可知命题从n0开始的开始的所有正整数所有正整数n都成立。都成立。这种证明方法这种证明方法叫做叫做 数学归纳法数学归纳法（2）归纳递推归纳递推:假设当假设当n=k(kN* ,k 时时命题成立命题成立,证明当证明当n=k+1时命题也成立。时命题也成立。*0Nn (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值 （ ）时命题成立。0n0n为什么完成了为什么完成了“两个步骤和一个结论两个步骤和一个结论”就就说明命题对所有的正整数都成立？说明命题对所有的正整数都成立？思维过程当思维过程当 时命题成立，可以推出时命题成立，可以推出 时命题成立，当时命题成立，当 时命题成立，可以推出当时命题成立，可以推出当 时命题成立时命题成立 )(*0Nnnk)( 1*0Nnnk)( 1*0Nnnk)( 2*0Nnnk理解定义：理解定义：利用命题自身具有的传递性，实现无穷三段利用命题自身具有的传递性，实现无穷三段论的循环论证。论的循环论证。用有限的步骤，来论证无限用有限的步骤，来论证无限结论。结论。 数学归纳法特点数学归纳法特点：数学归纳法应用一数学归纳法应用一：证明等式证明等式证明：证明： （1）当）当n=1时，时， 左边左边=12=1 右边右边=1 等式成立等式成立(2)假设当假设当n=k时等式成立时等式成立,即即6) 12)(1(3212222+=+kkkk那么那么,当当n=k+1时时2) 1( + k6) 1(6) 12)(1(2+=kkkk6)672)(1(2+=kkk6)32)(2)(1(+=kkk6 1) 1(21) 1)(1(+=kkk即当即当n=k+1等式也成立等式也成立根据根据(1)和和(2),可知等式对任何可知等式对任何 都成立都成立.*Nn22222) 1(321+kk凑出目标凑出目标6) 12)(1(+=kkk用到假用到假设设例例 用数学归纳法证明用数学归纳法证明)(6) 12)(1(321*2222Nnnnnn+=+练习巩固练习巩固 221nn* *- -+ + + += =a a1 1, , n n N N 1 11 1- -a a1 1+ +a aa a a aa a.1.用数学归纳法证明：用数学归纳法证明： 在验证在验证 n=1n=1成立时，左边计算所得的成立时，左边计算所得的结果是（结果是（ ） A A1 1 B. B. C C D.D. 1 1+ +a a2 21 1+ +a a+ +a a2 23 31 1+ +a a+ +a a + +a aC)() 1(131.2111)(. 2kfkfnnnnf则已知11431331231KKKK答案：小结：小结：（1）数学归纳法能够解决哪一类问题？数学归纳法能够解决哪一类问题？（2）数学归纳法证明命题的步骤是什么？）数学归纳法证明命题的步骤是什么？两个步骤一结论；递推基础不可少；归纳假设要用到；两个步骤一结论；递推基础不可少；归纳假设要用到；结论写明莫忘掉。结论写明莫忘掉。（3）数学归纳法证明命题的关键在哪里？）数学归纳法证明命题的关键在哪里？关键在第二步，即归纳假设要用上，解题目标要明确（关键在第二步，即归纳假设要用上，解题目标要明确（“双凑双凑”：凑假设和凑结论）：凑假设和凑结论）（4）数学归纳法的核心思想是什么？）数学归纳法的核心思想是什么？用数学归纳法证明：如果用数学归纳法证明：如果aan n 是一个等差数是一个等差数列，列，公差为公差为d,d,那么那么an=a1+(n-1)d对一切对一切nN+都成立。都成立。 (2)(2)假设当假设当n=kn=k时，时，等式等式成立，即成立，即a ak k=a=a1 1+(k-1)d +(k-1)d 那么当那么当n=k+1n=k+1时时 a ak k+1 +1 = a= ak k+d+d = a = a1 1+(k-1)d+d +(k-1)d+d = a = a1 1+(k+1)-1d+(k+1)-1d当当n=k+1n=k+1时，结论也成立。时，结论也成立。由由(1)(1)和和(2)(2)知知, ,等式对于任何等式对于任何nNnN+ +都成立。都成立。利 用 假利 用 假设设结论结论从从n=kn=k到到n=k+1n=k+1有什么有什么变化变化试一试试一试 证明证明: : (1) (1)当当n=1n=1时，左边时，左边=a=a ，右边，右边=a=a + +（1-11-1）d=ad=a 当当n=1n=1时，等式成立时，等式成立1.1.数学归纳法一般步数学归纳法一般步骤：骤：课堂小结课堂小结 归纳奠基：归纳递推0nn命题对从 开始所有的正整数 都成立0nn验证时命题成立01nk knnk若时命题成立证明时命题也成立nn-1n1已知数列a 为等为q,求证:通项：公式为a = a qnn-1nn-1练习练习比数列，比数列，公比公比（提示：a = qa）（提示：a = qa）注意注意 1 1. . 用数学归纳法进行证明时用数学归纳法进行证明时, ,要分两个要分两个步骤步骤, ,两个步骤缺一不可两个步骤缺一不可. .2 (1)(1)(归纳奠基归纳奠基) )是递推的基础是递推的基础. . 找准找准n n0 0(2)(2)(归纳递推归纳递推) )是递推的依据是递推的依据n nk k时时命题成立作为必用的条件运用，而命题成立作为必用的条件运用，而n nk+1k+1时情况则有待时情况则有待利用假设利用假设及已知的定义、公式、及已知的定义、公式、定理等加以证明定理等加以证明例例1、用数学归纳法证明：、用数学归纳法证明：问题情境一1131312111nnnn证明：证明：当当n=1n=1时，左边时，左边=1=1，右边，右边=1=1，等式成立。，等式成立。 假设假设n=k(kN ,k1)n=k(kN ,k1)时等式成立时等式成立, ,即：即： 1+3+5+1+3+5+(2k-1)=k+(2k-1)=k2 2， 当当n=k+1n=k+1时：时： 1+3+5+1+3+5+(2k-1)+2(k+1)-1=k+(2k-1)+2(k+1)-1=k2 2+2k+1=(k+1)+2k+1=(k+1)2 2， 所以当所以当n=k+1n=k+1时等式也成立。时等式也成立。 由由和和可知，对可知，对nN nN ，原等式都成立。，原等式都成立。例、用数学归纳法证明例、用数学归纳法证明1+3+5+1+3+5+(2n-1)=n+(2n-1)=n2 2 （nN nN ）. . 请问：请问：第第步中步中“当当n=k+1n=k+1时时”的证明可否改换为：的证明可否改换为：1+3+5+1+3+5+(2k-1)+2(k+1)-1= 1+3+5+(2k-1)+2(k+1)-1= 1+3+5+(2k-1)+(2k+1)+(2k-1)+(2k+1)= = (k+1)= = (k+1)2 2 ? ?为什么？为什么？（k+1)1+(2k+1)2例例:用数学归纳法证明用数学归纳法证明22222222n(n+1)(2n+1)n(n+1)(2n+1)1 +2 +3 +n =1 +2 +3 +n =6 6注意注意 1 1. . 用数学归纳法进行证明时用数学归纳法进行证明时, ,要分两个要分两个步骤步骤, ,两个步骤缺一不可两个步骤缺一不可. .2 (1)(1)(归纳奠基归纳奠基) )是递推的基础是递推的基础. . 找准找准n n0 0(2)(2)(归纳递推归纳递推) )是递推的依据是递推的依据n nk k时时命题成立作为必用的条件运用，而命题成立作为必用的条件运用，而n nk+1k+1时情况则有待时情况则有待利用假设利用假设及已知的定义、公式、及已知的定义、公式、定理等加以证明定理等加以证明例、求证例、求证: :( (n+1)(n+2)n+1)(n+2)(n+n)=2(n+n)=2n n 1 1 3 3 (2n-1)(2n-1)证明：证明： n=1 n=1时：左边时：左边=1+1=2=1+1=2，右边，右边=2=21 11=21=2，左边，左边= =右边，等右边，等 式成立。式成立。 假设当假设当n=k(kN n=k(kN ）时有：）时有： (k+1)(k+2)(k+1)(k+2)(k+k)=2(k+k)=2k k 1 1 3 3 (2n-1), (2n-1), 当当n=k+1n=k+1时：时： 左边左边=(k+2)(k+3)=(k+2)(k+3)(k+k)(k+k+1)(k+k+2)(k+k)(k+k+1)(k+k+2) =(k+1)(k+2)(k+3) =(k+1)(k+2)(k+3)(k+k)(k+k) = 2 = 2k k 1 1 3 3(2k-1)(2k+1)(2k-1)(2k+1)2 2 = 2 = 2k+1k+11 1 3 3 (2k-1) (2k-1) 2(k+1)-1=2(k+1)-1=右边，右边， 当当n=k+1n=k+1时等式也成立。时等式也成立。 由由 、可知，对一切可知，对一切nN ,nN ,原等式均成立。原等式均成立。 （2k+1)(2k+2)k+1作业作业:P:P108 108 A A组组 1 1(2) (2) B B组组 3 3
