一元二次方程复习－根与系数的关系.ppt
峰口镇中心学校 白崇福根与系数的关系2.若ax2bxc0 (a0 0)（1）若两根互为相反数,则b 0;（2）若两根互为倒数,则a c;（3）若一根为0,则c 0 ;练习填空=（一元二次方程根与系数关系的应用）（一元二次方程根与系数关系的应用） 3.3.判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根。判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根。 )1 , 3(013x2x22 2x xx x0 0310( 5,2)+-=-1.方程方程 x2 3x-10 0 的二次项系数是的二次项系数是 ， 一次项系数是一次项系数是 常数项分别是常数项分别是 .已知X1、X2是方程 的两根 则212 xx21xx-3-10294921xx2221xx221)(xx221)(xx221)(xx 214 xx应用一应用一：求与方程的根有关的代数式的值求与方程的根有关的代数式的值01032 xx2111. 1xx2121xxxx ) 1)(1.(321xx1)(2121xxxx1221. 2xxxx212221xxxx 21212212)(xxxxxx21. 4xx221)(xx 212214)(xxxx22121212125.xxx xx xxx点评点评:类似求与方程的根有关的类似求与方程的根有关的代数式的值时代数式的值时,一般先将所求的一般先将所求的代数式化成含两根之和代数式化成含两根之和,两根之两根之积的形式积的形式,再整体代入再整体代入忽视讨论两忽视讨论两根的符号！根的符号！1x2x01522 xxxxxxxx2121212121xx已知已知 ，是方程是方程的两根，求的两根，求解：解： 的值。的值。2212221221212112221221211212121xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx分析分析2121xx2521 xxx10 x20 已知已知 的的一个根，求方程的另一个根及一个根，求方程的另一个根及c的值的值. 2230 xxc+=是C=-10C=-10解：设方程的另一根为解：设方程的另一根为x1. 则有：则有：11232xxc+=-=1510 xc= -= -另一个根为另一个根为-5-5解之得，解之得， 应用二应用二: :已知方程的一个根已知方程的一个根, ,求另一个根及待定常数的值求另一个根及待定常数的值. .求作求作以以 为两根的一元二次方为两根的一元二次方(二次项系数为二次项系数为1)为为02qpxx2,1xx应用三应用三 已知两根已知两根求求作新的作新的一元二次方程一元二次方程qxxpxxxxqpxx2121212,0则：的两根为若方程0)(21212xxxxxx以方程以方程X X2 2+3X-10=0+3X-10=0的两个根的相反数为根的方程（的两个根的相反数为根的方程（ ）A、y y2 23y-10=0 B3y-10=0 B、 y y2 23y-10 =0 3y-10 =0 C、y y2 23y3y10=0 D10=0 D、 y y2 23y3y10=010=0B分析分析:设原方程两根为设原方程两根为 则则:21,xx10, 32121xxxx新方程的两根之和为新方程的两根之和为3)()(21xx新方程的两根之积为新方程的两根之积为10)()(21xx 求作新的一元二次方程时求作新的一元二次方程时:需求需求新方程的两根新方程的两根和与两根积和与两根积 可利用新方程的两根与原方程的两根之间的可利用新方程的两根与原方程的两根之间的关系关系,求新方程的两根和与两根积求新方程的两根和与两根积.或由已知条件求或由已知条件求新方程的两根和与两根积新方程的两根和与两根积 随想随想已知两个数的和是-3，积是-10，则两 个数是 。2和-5解:设两数分别为一个一元二次方程的两根则:01032 aa求得5, 221aa两数为2,5应用四应用四 已知两个数的和与积，求两数已知两个数的和与积，求两数已知：实数a.b是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根，且a2+b2=25 求k的值解：a.b是方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两根 a+b=2k+3，ab=k2+3k+2 又 a2+b2=25 (a+b)2-2ab=25 即(2k+3)2-2(k2+3k+2)=25 k2+3k-10=0 k1=-5或k2=2应用五应用五：给定根的关系式求字母系数取值：给定根的关系式求字母系数取值 已知：已知：ABCABC的两边的两边ABAB、ACAC的长是关于的长是关于x x的一元二次方程的一元二次方程x x2 2-(2m+3)x+m-(2m+3)x+m2 2+3m+2=0+3m+2=0的两个实数根，第三边的两个实数根，第三边BCBC的长为的长为5.5.(1)m(1)m为何值时，为何值时，ABCABC是以是以BCBC为斜边的直角三角形为斜边的直角三角形? ?(2)m(2)m为何值时，为何值时，ABCABC是等腰三角形是等腰三角形? ?并求并求ABCABC的周长的周长. .已知：实数已知：实数a.b是关于是关于x的一元二次方程的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根，的两个实数根，且且a2+b2=25求求k的值的值回回想想 已知：已知：ABCABC的两边的两边ABAB、ACAC的长是关于的长是关于x x的一元二次方程的一元二次方程x x2 2-(2m+3)x+m-(2m+3)x+m2 2+3m+2=0+3m+2=0的两个实数根，第三边的两个实数根，第三边BCBC的长为的长为5.5.(1)m(1)m为何值时，为何值时，ABCABC是以是以BCBC为斜边的直角三角形为斜边的直角三角形? ?(2)m(2)m为何值时，为何值时，ABCABC是等腰三角形是等腰三角形? ?并求并求ABCABC的周长的周长. .解：a.b是方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两根 a+b=2k+3，a-b=k2+3k+2 又 a2+b2=25 (a+b)2-2ab=25 即(2k+3)2-2(k2+3k+2)=25 k2+3k-10=0 k1=-5或k2=2回回想想 已知：已知：ABCABC的两边的两边ABAB、ACAC的长是关于的长是关于x x的一元二次方程的一元二次方程x x2 2-(2m+3)x+m-(2m+3)x+m2 2+3m+2=0+3m+2=0的两个实数根，第三边的两个实数根，第三边BCBC的长为的长为5.5.(1)m(1)m为何值时，为何值时，ABCABC是以是以BCBC为斜边的直角三角形为斜边的直角三角形? ?(2)m(2)m为何值时，为何值时，ABCABC是等腰三角形是等腰三角形? ?并求并求ABCABC的周长的周长. .【分析【分析】 ABAB、ACAC是方程的两根，则根据根与系数的关系以是方程的两根，则根据根与系数的关系以及及ABCABC是以是以BCBC为斜边的直角三角形联立关于为斜边的直角三角形联立关于m m的方程，的方程，即可求得即可求得m m的值；的值； 解：(1)AB、AC是方程x2-(2m+3)x+m2+3m+2=0的两根 AB+AC=2m+3，ABAC=m2+3m+2 又ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC=5 AB2+AC2=BC2(AB+AC)2-2ABAC=25 即(2m+3)2-2(m2+3m+2)=25 m2+3m-10=0 m1=-5或m2=2 当m=-5时，原方程为 x2+7x+12=0 解得x1=-3，x2=-4(舍去) 当m=2时，原方程为x2-7x+12=0 解得x1=3，x2=4 当m=2时，ABC是以BC为斜边的直角三角形.(2)m(2)m为何值时，为何值时，ABCABC是等腰三角形是等腰三角形? ?而而ABCABC为等腰三角形，则要通过分类讨论为等腰三角形，则要通过分类讨论BCBC为底与为底与BCBC不为底不为底( (分类不重不漏分类不重不漏) )，再由其条件确定再由其条件确定k k值及方程的根值及方程的根( (边长边长) )，从而求得等腰三角形的周长从而求得等腰三角形的周长. . ( (2)若ABC是等腰三角形，. 当当BC=5为等腰三角形的底边时为等腰三角形的底边时，则有，则有AC=AB， 方程有两个相等的实数根，（方程有两个相等的实数根，（AB、AC是方程的两根是方程的两根） 而=(2m+3)2-4(m2+3m+2)=10 ABAC，故第一种情况不成立； 当当BC=5为等腰三角形的腰时为等腰三角形的腰时，AC、AB中必有一个边长为中必有一个边长为5， 方程方程x2-(2m+3)x+m2+3m+2=0必有一根为必有一根为5 ， 25-5(2m+3)+m2+3m+2=0 m2-7m+12=0 m1=3或m2=4 当m=3时，x2-9x+20=0，x1=4，x2=5 等腰三角形的三边长分别是5、5、4，周长是14. 当m=4时，x2-11x+30=0 x1=5，x2=6 等腰三角形的三边长分别是5、5、6，周长为16， 故当m=3或m=4时ABC为等腰三角形，周长分别为14或16.应用一应用一:求与方程的根有关的代数式的值求与方程的根有关的代数式的值应用二应用二:已知方程的一个根已知方程的一个根,求另一个根及待定常数的值求另一个根及待定常数的值应用三应用三:已知两根求作新的一元二次方程已知两根求作新的一元二次方程应用四应用四:已知两个数的和与积求两数已知两个数的和与积求两数应用五应用五:给定根的关系式求字母系数取值给定根的关系式求字母系数取值综合应用问题综合应用问题总结总结 应用题型应用题型数学思想数学思想 方程思想 转化思想 数形结合 1. 已知关于x的方程9x2+(m+7)x+m-3=0. (1)求证:无论m取何值时,方程总有两不相等的实数根. (2)当m取何值时,方程的一根大于1,另一根小于1?分析:(1)列出的代数式,证其恒大于零(2)(x1-1)(x2-1)0 方程总有两个不相等的实数根(2)由题意得:解得:1212127939(1)(1)0mxxmx xxx 132m 当 时方程的一根大于1,另一根小于1132m 下课了!
