高二数学上学期期中期末考试精选50题基础解析版.docx

期中解答题精选50题（基础版）1（2020·浙江）已知平面内两点M（4，2），N（2，4）.（1）求MN的垂直平分线方程；（2）直线l经过点A（3，0），且点M和点N到直线l的距离相等，求直线l的方程.【答案】（1）x3y0（2）x3或3x+y90【详解】解：（1）平面内两点M（4，2），N（2，4），所以MN中点坐标为（3，1），又直线MN的斜率为，所以线段MN的中垂线的斜率为，线段MN的中垂线的方程为，即x3y0.（2）当直线l与直线MN平行时，由（1）知，kMN3，所以此时直线l的方程为y3（x3），即3x+y90；当直线l经过点（3，1）时，此时直线的斜率不存在，所以直线方程为x3；综上知，直线l的方程为x3或3x+y90.2（2020·长春市第二十九中学高二期中（文）已知两条直线 与的交点为P，直线的方程为：（1）求过点P且与平行的直线方程；（2）求过点P且与垂直的直线方程【答案】（1）；（2）【详解】解：（1）由得, ，过点P且与平行的直线方程为：，即（2），过点P且与垂直的直线方程为：即3（2021·全国高二期中）已知点在圆C：上（）求该圆的圆心坐标及半径长；（）过点M（1，1），斜率为的直线l与圆C相交于A，B两点，求弦AB的长【答案】（）圆心，半径；（）弦长【详解】（）由题可知：所以圆的标准方程为所以圆心，半径（）直线的方程为，即则圆心到直线的距离为所以弦长4（2020·六安市裕安区新安中学高二期中（理）已知ABC的三个顶点分别为A(2，4)，B(1，1)，C(7，3).（1）求BC边上的中线所在直线的方程；（2）求BC边上的高所在直线的方程.【答案】（1）x+y-6=0；（2）3x+y-10=0.【详解】（1）因为B(1，1)，C(7，3)，所以BC的中点为M(4，2).因为A(2，4)在BC边上的中线上，所以所求直线方程为=，即BC边上的中线所在直线的方程为x+y-6=0.（2）因为B(1，1)，C(7，3)，所以直线BC的斜率为=.因为BC边上的高所在直线与直线BC垂直，所以BC边上的高所在直线的斜率为-3.因为A(2，4)在BC边上的高上，所以所求直线方程为y-4=-3(x-2)，即BC边上的高所在直线的方程为3x+y-10=0.5（2020·六安市裕安区新安中学高二期中（理）已知实数满足，求的最小值.【答案】5.【详解】表示点与圆上动点之间的距离的平方，若最小，则也最小，数形结合知的最小值为，故的最小值为5.6（2020·重庆市万州南京中学）在直角坐标系中，已知圆与直线相切，（1）求实数的值；（2）过点的直线与圆交于两点，如果，求.【答案】（1）；（2）.【详解】解:（1）圆的方程可化为，圆心，半径，其中，因为圆与直线相切，故圆心到直线的距离等于半径，即，解得；（2）当直线斜率不存在时，其方程为，此时圆心到直线的距离，由垂径定理，不合题意；故直线斜率存在，设其方程为，即，圆心到直线的距离，由垂径定理，即，解得，故直线的方程为，代入圆的方程，整理得，解得，于是，这里，)，所以.7（2019·静宁县第一中学高二期中（理）过原点O作圆x2+y2-8x=0的弦OA(1)求弦OA中点M的轨迹方程；(2)延长OA到N，使|OA|=|AN|，求N点的轨迹方程.【答案】(1)x2+y2-4x="0;" (2)x2+y2-16x=0试题分析：（1）设M点坐标为（x，y），那么A点坐标是（2x，2y），A点坐标满足圆x2+y2-8x=0的方程，所以， （2x）2+（2y）2-16x=0，化简得M 点轨迹方程为x2+y2-4x=0（2）设N点坐标为（x，y），那么A点坐标是（），A点坐标满足圆x2+y2-8x=0的方程，得到：（）2+（）2-4x=0，N点轨迹方程为：x2+y2-16x=08（2019·芜湖市城南实验中学（文）在中，边上的高所在的直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，若点的坐标为（1）求点的坐标；（2）求直线BC的方程；（3）求点C的坐标【答案】（1）（2）（3）试题分析：（1）直线和直线的交点得，即的坐标为，（2）直线为边上的高，由垂直得， ，所以直线BC的方程为（3）的平分线所在直线的方程为，A(-1,0),B（1，2），,设的坐标为，则，解得 ，即的坐标为9（2020·六安市城南中学高二期中（文）求圆心为且与直线相切的圆的标准方程【答案】【详解】解：由题意可知圆的半径为，所以所求的圆的方程为10（2020·山西大同一中高二期中（理）已知直线（1）求直线的斜率；（2）若直线m与平行，且过点，求m的方程.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）由，可得，所以斜率为；（2）由直线m与平行，且过点，可得m的方程为，整理得：.11（2020·清远市清新区凤霞中学）圆的圆心坐标为，且过点（1）求圆的方程；（2）判断直线与圆的位置关系，说明理由.如果相交，则求弦长【答案】（1）；（2）直线与圆相交；.【详解】（1）圆的半径故圆的方程为（2）圆心到直线的距离，即，直线与圆相交，可知弦长为12（2020·天津市滨海新区汉沽第六中学高二期中）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程（1）斜率是，且经过点；（2）斜率为4，在轴上的截距为；（3）经过，两点；【答案】（1）（2）（3）【详解】（1）由直线的点斜式方程可得即（2）由直线的斜截式方程可得即（3）由直线的两点式方程可得即13（2020·安徽宣城·高二期中（文）若点A与点B到直线的距离相等，求a的值【答案】或【详解】因为点A与点B到直线的距离相等，所以有：或，解得：或.14（2020·湖北）已知点，直线L经过A，且斜率为.（1）求直线L的方程；（2）求以B为圆心，并且与直线L相切的圆的标准方程.【答案】（1）；（2）.【详解】解：（1）由题意，直线的方程为：，整理成一般式方程，得，直线L的方程为；（2）由已知条件，得所求圆的圆心为，可设圆B方程为：，圆B与直线相切，.故圆B的方程为.15（2020·重庆市凤鸣山中学）已知直线，圆C以直线的交点为圆心，且过点A(3,3)，（1）求圆C的方程；（2）若直线 与圆C交于不同的两点M、N，求|MN|的长度；（3）求圆C上的点到直线的距离的最大值【答案】（1）；（2）：（3）【详解】（1）联立直线方程，即可得交点C(1,3)，圆C的半径，圆C的方程为：.（2）由C点到直线的距离，|MN|=2（3）由C点到直线的距离，即圆C上点到直线距离的最大值为16（2020·四川高二期中（理）已知直线过点和两点（1）求出该直线的直线方程(用点斜式表示)（2）将（1）中直线方程化成斜截式，一般式以及截距式且写出直线在x轴和y轴上的截距.【答案】（1）；（2）答案见解析.【详解】解；（1）直线AB的斜率为故直线AB的点斜式方程为：或.（2）由，得，可化为，当时，当时，所以斜截式：，一般式：，截距式：，在x轴上的截距为；在y轴上的截距为17（2020·四川省成都市盐道街中学高二期中）在中，边上的高所在的直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，若点的坐标为.（1）求点的坐标.（2）求直线的方程.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）联立，解得，可得.（2）边上的高所在的直线的方程为，即，直线的方程为，整理得.18（2020·合肥市庐阳高级中学高二期中（文）直线l经过点，（1）直线l与直线垂直，求直线l的方程；（2）直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程.【答案】（1）；（2）或【详解】（1）直线的斜率为，所以直线的斜率为，直线的方程为，即.（2）当直线过原点时，直线的方程为，当直线不过原点时，设直线的方程为，代入点的坐标得，解得，所以直线的方程为.19（2020·九龙坡·重庆市育才中学）（1）已知直线经过点且与直线垂直，求直线的方程. （2）已知直线与轴，轴分别交于两点，的中点为，求直线的方程.【答案】（1）；（2）【详解】（1）直线的斜率，则，故直线的方程为；（2）设，的中点为，知，则直线的方程为20（2018·北京市第二中学分校高二期中（理）如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面，且，（）求与平面所成角的正弦（）求二面角的余弦值【答案】(1) .(2) .详解：（）是矩形，又平面，即，两两垂直，以为原点，分别为轴，轴，轴建立如图空间直角坐标系，由，得，则，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，故与平面所成角的正弦值为（）由（）可得，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，故二面角的余弦值为21（2021·广西平果二中高二期中（理）如图，四棱锥中，为正三角形，为正方形，平面平面，、分别为、中点.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)见解析;(2).详解：（1）连接，是正方形，是的中点，是的中点，是的中点，平面，平面，平面.（2）建立如图所示空间直角坐标系，设，则，设平面的法向量，则，取得，设与平面所成角为，则.22（2021·横峰中学高二期中（理）如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点（1）求异面直线EF与所成角的大小（2）证明：平面【答案】（1）；（2）证明见解析【详解】据题意，建立如图坐标系于是：，（1），异面直线EF和所成的角为（2），即，即又，平面且平面23（2021·上海市进才中学高二期中）如图所示，球O的球心O在空间直角坐标系的原点，半径为1，且球O分别与xyz轴的正半轴交于ABC三点，已知球面上一点.（1）求证：；（2）求DC两点在球O上的球面距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】（1）由题意，；（2），D，C两点在球O上的球面距离为；24（2021·重庆市第二十九中学校高二期中）在边长为2的菱形中，点是边的中点（如图1），将沿折起到的位置，连接，得到四棱锥（如图2）（1）证明：平面平面；（2）若，连接，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析，（2）.【详解】（1）连接图1中的，因为四边形为菱形，且所以为等边三角形，所以所以在图2中有，因为所以平面，因为，所以平面平面（2）因为平面平面，平面平面，所以平面以为原点建立如图空间直角坐标系所以所以设平面的法向量为，则，令，则，所以所以直线与平面所成角的正弦值25（2021·浙江温州市·高二期中）在等腰梯形中，E为中点，将沿着折起，点C变成点P，此时（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）证明：取BE中点记为H,连结PH、CH，是CD中点, ，且，四边形ABED是平行四边形，是边长为2等边三角形，由题意可知，是边长为2的等边三角形，是中线，PH是中线，又，平面PCH，；（2）解：由（1）可求得 ，又，平面，以为原点，HB，HC，HP所在直线为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系，设平面BCP的法向量为 ，即，令, 则，平面BCP的法向量为，设直线与平面所成角为，所以直线与平面所成角的正弦值为.26（2021·渝中·重庆巴蜀中学高二期中）如图1所示，在等腰梯形ABCD中，把沿BE折起，使得，得到四棱锥.如图2所示.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】（1）在等腰梯形中，可知，由可得.又，则，则，又，可得平面（2）又，则以点E为原点，以EB，ED，EA所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间之间坐标系E-BDA.，设平面的法向量为，则：注意到，面AED的法向量，设平面ABC与平面AED所成锐二面角的平面角为，故27（2020·江西宜春市·宜春九中高二期中（文）已知圆，其中（1）如果圆C与圆外切，求m的值；（2）如果直线与圆C相交所得的弦长为，求m的值【答案】（1）；（2）【详解】解：（1）圆C的圆心为，半径因为圆C与圆外切，所以两圆的圆心距等于其半径和，即，解得（2）圆C的圆心到直线的距离因为直线与圆C相交所得的弦长为，所以，解得28（2020·合肥市庐阳高级中学高二期中（文）（1）求过点，且圆心在直线上的圆的标准方程.（2）已知圆C：，圆心在直线上，且圆心在第二象限，半径长为求圆的一般方程.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）线段的中点为，线段的斜率为，所以线段的垂直平分线的斜率为，线段的垂直平分线方程为.，即圆心坐标为，半径为，所以圆的标准方程为.（2）圆心，圆心在直线上，即.又半径长，.由可得或又圆心在第二象限，即.则.故圆的一般方程为.29（2020·合肥市庐阳高级中学高二期中（文）直线l经过点，（1）直线l与两个坐标轴围成的三角形的面积是4的直线方程.（2）直线l与两个坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小时的直线方程.【答案】（1）；（2）.【详解】设直线方程为，由直线l经过点可得，（1）由题可得，解得，则直线方程为；（2），当且仅当，时面积取最小值，则直线方程为.30（2020·黑龙江佳木斯一中高二期中（文）已知的三个顶点，（1）求边上的中线所在直线方程以及中线的长度；（2）求边上的高线的长度【答案】（1）；（2）.【详解】（1）的三个顶点，故边上的中点，所以边上的中线的长度，边上的中线所在直线方程为，即（2）由于边所在的直线方程为，即，故边上的高线的长度，即点到直线的距离为31（2020·通城县第二高级中学高二期中）求过点，且与圆相切的直线l的方程.【答案】或.【详解】设切线方程为，即，圆心到切线l的距离等于半径2，解得，切线方程为，即，当过点M的直线的斜率不存在时，其方程为，圆心到此直线的距离等于半径2.综上可知，所求直线方程为或.32（2020·四川省泸县第二中学（理）已知两条直线，（1）当为何值时，与垂直；（2）当为何值时，与平行【答案】（1）；（2）.【详解】（1）若与垂直，则，解得：；（2）若与平行，则，解得：.33（2020·湖南湘潭市·湘潭一中高二期中）已知直线： ().（1）证明：直线过定点；（2）若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为(为坐标原点)，求的最小值并求此时直线的方程【答案】（1）证明见解析；（2）4，.【详解】（1）证明：直线的方程可化为， 令，则，解得， 无论取何值，直线总经过定点. （2）由题意可知，再由的方程，得，依题意得：，解得.当且仅当，即时取等号，此时直线的方程为34（2021·全国高二期中）已知斜率为的直线与圆心为的圆相切于点，且点在轴上.（1）求圆的方程；（2）若直线与直线平行，且圆上恰有四个不同点到直线距离等于，求直线纵截距的取值范围.【答案】（1）；（2）.【详解】解：（1）依题意，设点的坐标为.，解得，即点的坐标为，从而圆的半径.故所求圆的方程为.（2）因为，设：，由圆上恰有四个不同点到直线距离等于，得圆心到直线的距离，解得.即直线纵截距的取值范围为.35（2020·黑龙江哈尔滨·哈九中高二期中（理）已知的三个顶点的坐标分别为，.（1）求边上中线所在直线的方程；（2）求边上高所在直线的方程.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）中点为，直线方程为：，即；（2），直线方程为：，即.36（2021·安徽省怀宁中学高二期中（文）大家知道，等边三角形的重心(三条中线的交点)外心(三条边的中垂线的交点)垂心(三条高的交点)三点重合.（1）观察等腰直角三角形(如图)，若其重心是外心为垂心为，判断的位置关系以及线段和的长度之间的数量关系.（2）若是等腰三角形(如图)，且，验证（1）的结论是否成立？若成立，请证明你的结论.【答案】（1）可得到三点共线，且；（2）答案见解析.【详解】（1）建立如图所示的平面直角坐标系，设等腰直角三角形中，所以有，显然重心的坐标为：，外心的坐标为：，显然垂心与点重合，所以有，因此三点共线，且；（2）建立如图所示的直角坐标系：因为，所以有，显然重心的坐标为：，设，由，即且，解得，即，设，因此有：，即，即，所以有，因此三点共线，且.37（2020·安徽立人中学高二期中（文）已知圆过点，且与圆关于直线对称（1）求圆、圆的方程；（2）过点Q向圆和圆各引一条切线，切点分别为C，D，且，则是否存在一定点M，使得Q到M的距离为定值？若存在，求出M的坐标，并求出的值；若不存在，请说明理由【答案】（1），；（2）存在，Q到M的距离为定值【详解】（1）设圆的圆心，因为圆与圆关于直线对称，可得，解得，设圆的方程为，将点，代入可得， 所以圆的方程为，圆的方程为（2）由，根据切线长公式，可得，设，则，化简得，所以存在定点使得Q到M的距离为定值38（2021·安徽高二期中（文）已知圆：.（1）若圆的切线在x轴和y轴上截距相等，求切线的方程；（2）从圆外一点向圆引切线PM，M为切点，O为坐标原点，且有，求使最小的点P的坐标.【答案】（1），；（2）.【详解】（1）圆：的标准方程为，所以圆心，.设圆的切线在x轴和y轴上的截距分别为a，b，当时，切线方程可设为，即，由点到直线的距离公式，得.所以切线方程为.当时，切线方程为，即.由点到直线的距离公式，得，.所以切线方程为，.综上，所求切线方程为，.（2）由圆的切线性质可知：，.即.整理得.当时，最小，此时，.39（2021·上海市长征中学高二期中）1972年9月，苏步青先生第三次来到江南造船厂，这一次他是为解决造船难题、开发更好的船体数学放样方法而来，他为我国计算机辅助几何设计的发展作出了重要贡献.造船时，在船体放样中，要画出甲板圆弧线，由于这条圆弧线的半径很大，无法在钢板上用圆规画出，因此需要先求出这条圆弧线的方程，再用描点法画出圆弧线.如图，已知圆弧 的半径 r =29米，圆弧所对的弦长l =12米，以米为单位，建立适当的坐标系，并求圆弧的方程（答案中数据精确到0.001米，）.【答案】【详解】如图，以所在直线为轴，弦的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，设圆弧的圆心为，连接，则，所以，即圆心的坐标为，所以圆弧的方程为40（2020·阜阳市耀云中学高二期中）三角形的顶点是A（，0）、B（，3）、C（0，5）.求这个三角形的三边所在直线的方程.【答案】，【详解】由题意直线方程为，即，直线方程为，即，直线方程为，即41（2010·贵州遵义市·高二期中）已知正方形的中心为，一边所在直线的方程为，求其他三边所在的直线方程.【答案】，【详解】正方形的中心到四边的距离均为，设正方形中与已知直线平行的边所在的直线方程为，则，即，解得（舍去）或.故与已知直线平行的边所在的直线方程为；设正方形中与已知直线垂直的边所在的直线方程为，则，即，解得或，所以正方形另一组对边所在的直线方程分别为和；综上所述，正方形其他三边所在的直线方程分别为，.42（2020·北京市第十二中学高二期中）已知圆经过点，（1）求圆的方程；（2）若直线：与圆交于，两点，且，求的值【答案】（1）；（2）【详解】解：（1）根据题意，设圆的方程为，圆经过，三点，则有，解可得：，故要求圆的方程为；（2）根据题意，圆的方程为，圆心坐标为，半径，若直线与圆交于，两点，且，则圆心到直线的距离，则有：，解可得：，故43（2020·北京市第十二中学高二期中）已知三个顶点的坐标分别为，求：（1）过点且与直线平行的直线方程（2）中，边上的高线所在直线的方程【答案】（1）；（2）【详解】解：（1）因为三个顶点的坐标分别为，所以直线的斜率为，则过点且与直线平行的直线方程为，即.（2）因为直线的斜率为，所以中边上的高所在直线的斜率为-1，又高所在直线过点，所以高所在直线的方程为，即44（2021·江西高安中学高二期中（理）如图所示的几何体中，是菱形，平面，.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】（1）证明：取中点，连结，设交于，连结，在菱形中，平面，平面，又，平面，平面，分别是，的中点，又，且，四边形是平行四边形，则，平面，又平面，平面平面.（2）由（1）中证明知，平面，则，两两垂直，以，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.由及是菱形，得，则，设平面的一个法向量为，则，即，取，求得，所以，同理，可求得平面的一个法向量为，设平面与平面构成的二面角的平面角为，则，又，平面与平面构成的二面角的正弦值为.45（2020·安徽淮北·高二期中（理）如图所示，与都是边长为的正三角形，平面平面，平面，（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【详解】（1）证明：取中点，因为为正三角形，所以由于平面平面，平面平面，所以平面又因为平面，所以又平面，平面，所以平面（2）连接，则，又平面取为原点，直线，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图所示，则各点坐标分别为，设平面的法向量为，由得，解得，取，得又平面的法向量为，所以，设所求二面角为，则46（2021·北京一七一中）如图，在四棱锥中，平面平面，O，M分别为线段AD，DE的中点四边形BCDO是边长为1的正方形，（1）求证：平面ABE；（2）求直线DE与平面ABE所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【详解】解：（1）如图取线段中点，连接、，为中点，又四边形是边长为1的正方形，四边形为平行四边形，面，面，平面；（2）连接，为中点，面，面面，面面面又面，面，如图建立空间直角坐标系，0，1，1，0，设面的法向量为，由，可取，直线与平面所成角的正弦值为；47（2021·北京延庆·高二期中）如图，正方体中，棱长为2，分别是，的中点（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值【答案】（）证明见解析；（）【详解】解：（）证明：取的中点，连接，因为是的中点，所以，因为是的中点，所以，所以，所以四边形是平行四边形所以因为平面，平面，所以平面（）因为正方体中，以点为坐标原点，分别以直线，为，轴建立空间直角坐标系所以，所以， 设平面的法向量为， 所以 所以直线与平面所成角的正弦值48（2021·重庆实验外国语学校）如图1，在等腰梯形中，分别是的两个三等分点若把等腰梯形沿虚线折起，使得点和点重合，记为点，如图2（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的大小【答案】（1）证明见解析；（2）【详解】解：（1）因为分别是的两个三等分点，所以四边形是正方形；所以，又因为，且，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面（2）过作于，过作的平行线交于，则面，又所在直线两两垂直，故以它们所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，易知，所以，设平面的法向量为，则，取，则同理，设平面的法向量为，则，取，则，所以，所以平面与平面所成锐二面角的大小为.49（2020·山西晋城·高二期中（理）如图，在多面体中，平面，点到平面的距离为，是正三角形，（1）证明：（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接，且，就是点到平面的距离，即平面平面，又，四边形是平行四边形，是正三角形，（2）解：由（1）得平面，以为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则由得，令，得设直线与平面所成角为，则，故直线与平面所成角的正弦值50（2020·天津市天津中学高二期中）如图，在四棱柱中，侧棱底面，且点和分别为和的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）求点到平面的距离；（4）设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）；（4）.【详解】（1）证明：以点为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则，因为，分别为，的中点，则，由题意可知，是平面的一个法向量，又，所以，又平面，故平面；（2）解：由（1）可知，设平面的法向量为，则，令，则，故，设平面的法向量为，则，令，则，故，所以，故二面角的正弦值为；（3）解：因为，设平面的法向量为，则，令，则，故，所以，设点到平面的距离为，则，所以点到平面的距离为；（4）解：由题意，设，其中，则，所以，又时平面的一个法向量，因为直线和平面所成角的正弦值为，则，整理可得，又，解得或（舍），故线段的长为.