2022年2021年中考数学动态问题-折叠中图形存在性问题 .pdf

1 专题 06 动点折叠类问题中图形存在性问题一、基础知识点综述动点型问题是指题设中的图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线、直线、抛物线、双曲线、弧线等上运动的一类非常具有开放性的题目. 而从其中延伸出的折叠问题，更能体现其解题核心动中求静，灵活运用相关数学知识进行解答，有时需要借助或构造一些数学模型来解答. 实行新课标以来，各省（市）的中考数学试卷都会有此类题目，这些题目往往出现在选择、填空题的压轴部分，题型繁多，题意新颖，具有创新力. 其主要考查的是学生的分析问题及解决问题的能力. 要求学生具备：运动观点；方程思想；数形结合思想；分类讨论思想；转化思想等等. 存在性问题主要有等腰三角形存在性、直角三角形存在性、特殊落点存在性等问题，常用的数学解题模型有“一线三直角”等模型，作图方法是借助圆规化动为静找落点. 解题思路：分析题目依据落点定折痕建立模型设出未知数列方程求解得到结论. 解题核心知识点：折叠性质；折叠前后图形大小、形状不变；折痕是折叠前后对应点连线的垂直平分线；勾股定理；相似图形的性质、三角函数等. 等腰三角形存在性问题解题思路：依据圆规等先确定落点，再确定折痕；直角三角形存在性问题解题思路：依据不同直角顶点位置分类讨论，作出图形求解. 二、精品例题解析题型一：折叠问题中等腰三角形存在性问题例 1.（2019 金水区校级模拟） 如图，AOB=90 ，点P为AOB内部一点，作射线OP，点M在射线OB上，且OM= 3，点M与点M关于射线OP对称，且直线MM与射线OA交于点N，当ONM为等腰三角形时，ON的长为名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - 2 例 2.（2017 蜀山区期末）如图所示，ABC中，ACB=90 ，ACBC，将ABC沿EF折叠，使点A落在直角边BC上的D点，设EF与AB、AC分别交于点E、点F，如果折叠后CDF与BDE均为等腰三角形，则B= . 题型二：折叠问题中直角三角形存在性问题例 3.（2017 营口）在矩形纸片ABCD中，AD8，AB6，E是边BC上的点，将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，连接FC，当EFC为直角三角形时，BE的长为例 4.（2019 唐河县三模）矩形ABCD中，AB=4 ，AD=6 ，点E为AD的中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP，将APE沿PE折叠得到FPE，连接CE，CF，当CEF为直角三角形时，AP的长为. 例 5.（2019 许昌二模）如图，已知平行四边形ABCD中，AB=16, AD=10 ，sinA=35, 点M为AB边上一动点，过点M作MNAB交AD边于点N，将A沿直线MN翻折，点A落在线段AB上的点E处. 当CDE为直角三角形时，AM的长为. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - 3 例 6.（2019 金水区校级一模）如图，在RtABC中，AB3，BC 4，点P为AC上一点，过点P作PDBC于点D，将PCD沿PD折叠，得到PED，连接AE若APE为直角三角形，则PC例 7.（2019 卧龙区一模）如图，在RtABC中，AC8，BC6，点D为斜边AB上一点，DEAB交AC于点E， 将AED沿DE翻折，点A的对应点为点F 如果EFC是直角三角形， 那么AD的长为例 8.（2019 河南模拟）在矩形ABCD中，AB3，BC4，点E，F分别为BC，AC上的两个动点，将CEF沿EF折叠，点C的对应点为G，若点G落在射线AB上，且AGF恰为直角三角形，则线段CF的长为二、精品例题解析题型一：折叠问题中等腰三角形存在性问题名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - 4 例 1.（2019 金水区校级模拟） 如图，AOB=90 ，点P为AOB内部一点，作射线OP，点M在射线OB上，且OM= 3，点M与点M关于射线OP对称，且直线MM 与射线OA交于点N，当ONM为等腰三角形时，ON的长为 . 【分析】分三种情况讨论：当M落在线段ON的垂直平分线上时，即MN=MO，设ONM=x，通过三角形外角定理及三角形内角和定理求得x=30 ，进而利用三角函数求得ON的长；当MN=ON时，作出图形，得到ONM度数，利用三角函数求解；当MO=ON=OM=3，此时M、M 、N点不在一条直线上，与题意不符，此种情况不存在. 【答案】 1 或 3. 【解析】解：由ONM为等腰三角形，分以下三种情况讨论：当M落在线段ON的垂直平分线上时，即MN=MO，如图所示，OBMANPMH设ONM=x，则OMM= OMM =2x , AOB=90 ，x+2x=90 ，解得：x=30 ，在RtNOM中，ON=3tan30OM；当MN=ON时，如下图所示，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - 5 OBMANPMH由知：NOM=30 ，过M作MHOA于H，HM=13OM=22, 在RtHNM中，NM=1cos30HM，即ON=1 ；当MO=ON=OM=3，OBMANPM此时M、M 、N点不在一条直线上，与题意不符，此种情况不存在. 故答案为： 1 或 3. 例 2.（2017 蜀山区期末）如图所示，ABC中，ACB=90 ，ACBC，将ABC沿EF折叠，使点A落在直角边BC上的D点，设EF与AB、AC分别交于点E、点F，如果折叠后CDF与BDE均为等腰三角形，则B= . 【分析】由题意知，CDF是等腰三角形，则CD=CF，BDE是等腰三角形时，分三种情况讨论：当DE=BD时，设B=x，通过翻折性质及三角形内角和定理求得x=45 ；当BD=BE时，作出图形，设B=x，通过翻折性质及三角形内角和定理求得x=30 ；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - 6 当BE=DE时，得FDB=90 ，FDB+ CDF=135 180 ，此时C、D、B点不在一条直线上，与题意不符，此种情况不存在. 【答案】 45或30 . 【解析】解：由题意知，CDF是等腰三角形，则CD=CF，CDF= CFD=45 ，FDB=135 ，BDE是等腰三角形时，分以下三种情况讨论：当DE=BD时，见下图，CABEDF设B=x，则DEB=x，EDB=180 2x，由折叠知：A= FDE=90 x， 180 2x+90 x =135 ，解得：x=45 ，即B=45 ；当BD=BE时，如下图所示，CAEBDF设B=x，则EDB= 1802x，由折叠知：A= FDE=90 x，1802x+90 x =135 ，解得：x=30 ，即B=30 ；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - 7 当BE=DE时，得B= EDB，FDB=FDE+ EDB= A+ B=90 ，FDB+ CDF=135 180 ，此时C、D、B点不在一条直线上，与题意不符，此种情况不存在. 故答案为： 45或30 . 题型二：折叠问题中直角三角形存在性问题例 3.（2017 营口）在矩形纸片ABCD中，AD8，AB6，E是边BC上的点，将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，连接FC，当EFC为直角三角形时，BE的长为【分析】根据题意作出图形，通过分析可知：点E、F均可为直角顶点，因此分两种情况讨论，作出图形后，根据勾股定理等知识求得结果. 【答案】 3 或 6. 【解析】解：AD8，AB6，四边形ABCD为矩形，BCAD8，B90 ，根据勾股定理得：AC10由分析知，EFC为直角三角形分下面两种情况：当EFC90时，如下图所示，由折叠性质知：AFEB90，EFC90，AF=AB=6, A、F、C三点共线，又AE平分BAC，CF=ACAF=4 ，设BE=x，则EF=x，EC=8 x，在RtEFC中，由勾股定理得：22248xx，解得：x=3 ，即BE=3 ；当FEC90时，如下图所示名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - 8 由题意知：FEC90，FEB90 ，AEFBEA45，四边形ABEF为正方形，BEAB6综上所述：BE的长为 3 或 6故答案为： 3 或 6例 4.（2019 唐河县三模）矩形ABCD中，AB=4 ，AD=6 ，点E为AD的中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP，将APE沿PE折叠得到FPE，连接CE，CF，当CEF为直角三角形时，AP的长为. 【分析】 当CEF为直角三角形时， 通过分析知： FCE90 ， 不可能为直角顶点，故分两种情况讨论：EFC=90 或FEC=90 ，作出图形求解；【答案】94或 1. 【解析】解：分以下两种情况讨论：（1）EFC=90 ，如下图所示，由折叠性质知：A=PFE=90 ，AP=PF所以点P、F、C在一条直线上，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - 9 EF=ED=3 ，RtCEFRtCED，由勾股定理得：CE=5 ，CD=CF=4 ，设AP=x，则PF=x，PC=x+4 ，BP=4 x，在RtBCP中，由勾股定理得：222446xx，解得：x=94，即AP=94；（2）FEC=90 ，如下图所示，过F作FHAD于H，过P作PGFH于G，易知EFH=ECD，FHDEEFCE, 335FH, 即FH=95, EH=125,AH=PG=35，由FPG= HFE，cosFPG= cosHFE，即PGFHPFEF, 39553PF, 解得：PF=1 ；故答案为：94或 1. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - 10 例 5.（2019 许昌二模）如图，已知平行四边形ABCD中，AB=16, AD=10 ，sinA=35, 点M为AB边上一动点，过点M作MNAB交AD边于点N，将A沿直线MN翻折，点A落在线段AB上的点E处. 当CDE为直角三角形时，AM的长为. 【分析】分两种情况讨论：当CDE90，根据折叠的性质及勾股定理求解；当DEC90，过D作DHAB于H，根据相似三角形的性质：得到DH6，AH8，设EHx，根据勾股定理得到x827，x8+27（舍去），得AEAH+HE1627，于是得到AM87【答案】 4 或 87. 【解析】解：当CDE为直角三角形时，当CDE90 ，如下图所示，在平行四边形ABCD中，ABCD，DEAB，由折叠知：MNAB，AMEM，MNDE，ANDN12AD5，由sinAMNAN35，MN3，AM4；当DEC90 ，如下图所示，过D作DHAB于H，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - 11 由题意知：HDC90，HDC+ CDECDE+ DCE90，HDEDCE，DHECED，DECDEHDE，sinA35，AD10，DH6，AH8，设EHx，DE4x，由勾股定理得：DH2+HE2DE2，62+x216x，解得：x827，x8+27（不合题意舍去） ，AEAH+HE1627，AM87，故答案为： 4 或 87例 6.（2019 金水区校级一模） 如图，在RtABC中，AB3，BC4，点P为AC上一点，过点P作PDBC于点D，将PCD沿PD折叠，得到PED，连接AE若APE为直角三角形，则PC【答案】1516. 【解析】解：当AEP90时，设PCx，在RtPDC中，sinC35，cosC45，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - 12 所以PD35x，CD45x由折叠知：DECD45xBEBCCE125x在ABE和EDP中，BPDE，BAE+ AEB90，PED+ AEB90 ，BAEPEDABEEPDBEDPABDE，即123534x，解得x1516故答案为 :1516例 7.（2019 卧龙区一模）如图，在RtABC中，AC8，BC6，点D为斜边AB上一点，DEAB交AC于点E， 将AED沿DE翻折，点A的对应点为点F 如果EFC是直角三角形， 那么AD的长为【分析】根据勾股定理得到AB10，分三种情况讨论：CFE90，ECF90，CEF90时，得到结论【答案】75或 5. 【解析】解：在RtABC中，AC 8，BC6，由勾股定理得：AB10 ，（1）若CFE90，在RtABC中，ACB90， 1+ 2B+A90，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - 13 由折叠知：A2，AEEF， 1B，即CFBC6，在RtCEF中，由勾股定理得：CE2EF2+CF2，CE2（ 8CE）2+62，CE254，AE74，由ADEACB，得：AEADABACAD75；（2）当ECF90时，点F与B重合，AD5；（3）当CEF90时，则EFBC，AFEB，AAFE，AB，ACBC（与题设矛盾），这种情况不存在，故答案为：75或 5例 8.（2019 河南模拟）在矩形ABCD中，AB3，BC4，点E，F分别为BC，AC上的两个动点，将CEF沿EF折叠，点C的对应点为G，若点G落在射线AB上，且AGF恰为直角三角形，则线段CF的长为【答案】202079或. 【解析】解：（1）当AFG=90 时，如下图所示，设CFy可得：AFGABC名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - 14 AFGFABBC即534yy解得：x207；（2）当AGF=90 时，如下图，设CFx在RtABC中，AB3，BC4，由勾股定理得：AC5 由折叠知：GFFCAGFABC90GFECAGFABCAFGFACBC即554xx解得：x209；故答案为：202079或. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - -