2022年新人教数学级上：同步测控优化训练 2.pdf

1 / 5 13.3 角的平分线的性质5 分钟训练 ( 预习类训练，可用于课前) 1. 如图 13-3-1 ， OB 、OC分别平分 ABC 、 ACB ，且 BOC 128，则 A_. 图 13-3-1 图 13-3-2 图 13-3-3 来源 : 学。科。网Z。X。X。K 思路解读： 根据三角形的内角和定理计算BOC=90 +12A. 答案： 76 2. 如图 13-3-2 ， ABC的 B和 C的外角平分线交于D， A=40，那么 D=_. 思路解读：用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”计算，D=90 -12A. 答案： 703. 如图 13-3-3 ，AB CD ，点 P 到 AB 、BC、CD的距离相等，则P=_. 来源 :学科网ZXXK 思路解读： 点 P是同旁内角的角平分线的交点. 答案： 9010 分钟训练 ( 强化类训练，可用于课中) 1. 作 AOB的平分线的步骤如下：作射线OC 。以 O为圆心，适当长为半径作弧交OA于M ，交 OB于 N。分别以M 、N为圆心，大于二分之一MN的长为半径作弧，两弧在AOB的内部交于点C。射线OC即为所求 . 作法顺序正确的是( ) A. B. C. D.答案： C 2. 如 图 13-3-4 ，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( ) A.一处 B.两处 C.三处 D.四处思路解读： 到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点. 把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求. 答案： D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页2 / 5 图 13-3-4 图 13-3-5 图 13-3-6 图 13-3-7 3. 如图 13-3-5 ，已知 AB=AC ，BE AC于 E， CF AB于 F，BE与 CF相交于点D，则：ABE ACF ； BDF CDE ；点 D在 BAC的平分线上 . 以上结论正确的是( ) A. B. C. D. 来源 : 学. 科 .网 Z.X.X.K 思路解读： 根据对顶角相等，有BDF= CDE ，由“同角的余角相等”得到B= C，证明Rt ABE Rt ACF （ AAS ），所以AE AF，则CE=BF.所以 BDF CDE （ AAS ） . 得到DE=DF ，所以点D在 BAC的平分线上 . 答案： A 4. 如图 13-3-6 ，若点P 在 AOB的平分线上，若应用角平分线的性质可得PA=PB ，则必须添加的条件是 _. 思路解读： 注意角平分线上的点到角两边距离相等，这里要添加的是“点到直线的距离”这个条件 . 答案： PA OA于 A，PB OB于 B 5. 如图13-3-7 ，若 B= C=90， DB DC ，就可以得到点D 在 _的平分线上 . 因为此时 DB 、DC分别是 _的 距离. 也可得到点A 在_的平分线上，因为_分别是点A到 BDC的两边 DB 、DC的距离，所以AD为 _的角平分线 . 答案： BAC D 到 AB 、AC BDC AB、AC BDC 快乐时光英文老师问：“eye 是什么东西？”学生：“不晓得？”英文老师：“看我鼻子两边是什么？”学生：“是雀斑！”30 分钟训练 ( 巩固类训练，可用于课后) 1. 如图 13-3-8 ， O点为直线 AB上一点， OC为一条射线，OD为 AOC的平分线， OE为 BOC的平分线，则DOE 等于 ( ) A.80 B.90 C.100 D.120思路解读： 邻补角的角平分线互相垂直. 来源 : 学科网 答案： B 2. 如图 13-3-9 ，点 P 到 BE 、BD 、AC的距离恰好相等，则点P 的位置：在B 的平分线上；在 DAC的平分线上；在ECA的平分线上；恰是B、 DAC 、 ECA三条平分线的交点 .上述结论中，正确的个数有( ) A.1 个 B.2个 C.3个 D.4个图 13-3-8 图 13-3-9 图 13-3-10 思路解读： 到角两边的距离相等的点在角的平分线上. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页3 / 5 答案： D 3. 如图 13-3-10 ，BE是 MBC 的平分线， CE是 NCB的平分线，连结AE.问： AE是 MAN的平分线吗？为什么？思路分析： 要证 AE是 MAN 的平分 线，可证 MAE= NAE或证点 E在 MAN 的平分线上 . 证点 E 在 MAN的平分线上可转化为证E 到 AM 、AN的距离相等 . 由已知条件可以运用角平分线性质解决线段相等的问题. 解： AE是 MAN 的平分线 . 理由：如图，作EH AM于 H，EDBC于 D，EPAN于 P. 来源 :Z#xx#k.Com BE是 MBC 的平分线 , EHED （角平分线上的点到角两边的距离相等）. 同理， ED EP.EH EP. 点 E在 MAN 的平分线上（到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上）. AE平分 MAN. 4. 如图 13-3-11 ，已知在 ABC中， C=90， AD平分 BAC ，若 BC 21 cm，且 CD BD43. 求点 D到 AB的距离 . 图 13-3-11 思路解读： 点 D 到 AB 的距离和DC的长实际就是角平分线上的点到角两边的距离. 过 D 作DE AB于 E，则 DE=DC 37BC 9(cm). 答案： 提示：过D作 DE AB于 E. 5. 如图 13-3-12 ， ABC中， AD是它的角平分线，P是 AD上一点，过点P 作 PE AB交 BC于 E，点 F在 BC上，连结PF ，已知 D到 PE的距离与D到 PF的距离相等 . 求证： PFAC. 图 13-3-12 思路解读： 证明线段平行常用的方法是证明同位角相等或者内错角相等. 根据题意知道点D在 EPF 的平分线上，点D 在 BAC 的平分线上，由平行的性质还知道EPD= BAD ，用“等量代换”即可得到FPD= CAD. 证明： D到 PE的距离等于D到 PE的距离 , 点 D在 EPF的平分线上 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页4 / 5 EPD= FPD. 来源 : 学#科#网 Z#X#X#K 又 AD平分 BAC, BAD= CAD. PEAB, EPD= BAD. FPD= CAD. PFAC. 6. 如图 13-3-13 ，在 ABC中，求证：(1) 若 AD为 BAC的平分线，则SABD S ACDAB AC 。 来源 : 学科网 (2) 设 D为 BC边上一点，连结AD,若 SABDSACDAB AC，则 AD为 BAC的平分线 . 图 13-3-13 思路解读： 三角形的面积跟高有关，这里有角平分线，不妨过点D作 AB 、AC的垂线段，把问题转化为角平分线问题. 证明： 作 DE AB，DFAC ，垂足分别为E、F, （1） AD平分 BAC, DE=DF. S ABD=12 AB DE ，SACD=12AC DF,S ABD SACD=AB AC. （2） SABD=12AB DE ，SACD=12AC DF,SABDSACD=（AB DE ）（ AC DF） . S ABDSACD=ABAC, ABDEABACDFAC. DE=DF.AD为角平分 线. 7.( 用尺规作图，不写作法，只保留作图痕迹) 在一次军事演习中，红方侦察员发现蓝方指挥部设在A 区内，到公路、铁路的距离相等，且离公路与铁路交叉处B 点 700 m，如果你是红方的指挥员，请你在图13-3-14所示的作战图上标出蓝方指挥部的位置. 来源 :学科网 图 13-3-14 思路解读： 到角两边距离相等的点在角的平分线上 . 来源 : 学科网 ZXXK 答案： 作 A区所在公路与铁路夹角的角平分线BM ，在 BM上截取 BN=3.5 cm，则 N点即为所求. 8. 如图 13- 3-15，AC为 BAD的平分线， AD AE.把 DAC沿 AC翻折 180，图 13-3-15 （1）请结合图形填空： DAC_ EAC ；DC与 CE的大小关系是_； D与 CEB的关系是 _. （2）用你得到的结论解决下面的问题：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页5 / 5 在四边形ABCD中，已知AB a，AD b，且 BC DC ，对角线AC 平分 BAD.问 a 与 b 大小符 合什么条件时，有D B180?请画图并证明你的结论. 思路解读： 翻折图形是全等形. 从图形可以看出，若以C 为圆心， CE 为半径画弧，弧与AB的交点有两个，所以应注意分类讨论. 答案： （1）相等互补（2）结论：分两种情况：当ab 时，总有 D+ABC=180 . 证明： 如图 (1) 在 AB 上截取 AE=AD. 由（ 1）得 D+ CEB=180 ， EC=DC. BC=CD ， EC=BC. 作 CH BE ，垂足为H. 在 RtCHE与 Rt CHB中,ECBCCHCHRt CHE RtCHB. CEB= B. D+ ABC=180 . 当 a=b，且 D=90 时，有 D+ABC=180 . 证明： 如图 (2) AD=AB ，BC=CD ，AC=AC ， ADC ABC. D=ABC=90 . D+ABC=180 . 来源 :Zxxk.Com 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页