2022年2021年全国初中数学联赛试题及答案 .pdf

2012 年全国初中数学联合数学竞赛试题第一试一选择题1已知 a21，b32，c63，那么 a，b，c 的大小关系是( )(A) abc (B) acb (C) ba c (D) b ca 2.方程 x2 2xy3y234 的整数解 (x, y)的组数为( )(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 3. 已知正方形ABCD 的边长为1，E 为 BC 边的延长线上一点，CE 1，连接AE，与 CD交于点 F，连接 BF 并延长与线段DE 交于点 G，则 BG 的长为( )(A) 63 (B) 53 (C)263 (D) 2534.已知实数a， b 满足 a2b21，则 a4abb4的最小值为( )(A) - 18 (B) 0 (C) 1 (D) 985.若方程 x22px 3p20 的两个不相等的实数根x1，x2满足 x12x134(x22x23)，则实数 p 的所有可能的值之和为( ) (A) 0 (B) - 34 (C) -1 (D) - 546.由 1，2，3，4 这四个数字组成四位数abcd（数字可重复使用） ，要求满足acbd这样的四位数共有( )(A) 36个 (B)40个 (C)44个 (D) 48个二填空题1.已知互不相等的实数a，b，c 满足 a1bb1cc1at，则 t_2. 使得 52m1 是完全平方数的整数m 的个数为 _ 3. 在 ABC 中，已知 ABAC，A40，P 为 AB 上一点， ACP20，则BCAP_ 4. 已知实数a，b，c 满足 abc-1，abc4，a a23a1b b23b1c c23c149，则 a2b2c2_名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - O P A B C D 第二试一、已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积. 二、如图， PA 为 O 的切线， PBC 为 O 的割线， ADOP 于点 D. 证明： AD2BD?CD三、已知抛物线y-16x2bxc 的顶点为P，与 x 轴的正半轴交于A(x1,0 )、B( x2,0 ) 两点(x1x2)，与 y 轴交于点C，P A 是 ABC 的外接圆的切线.设 M(0, -32)，若 AMBC，求抛物线的解析式.名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - O P A B C D 参考答案一选择题1.C 2.B 3.D 4.B 5.B 6.C 二填空题1. 1 2. 1 3. 3 4. 332第二试一、解设直角三角形的三边长分别为a， b，c（abc） ，则30abc. 显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长c，下面先求c的值 . 由abc及30abc得303abcc，所以10c. 由abc及30abc得302abcc，所以15c. 又因为c为整数，所以1114c. 根 据勾 股定理 可 得222abc，把30cab代入， 化简得30()4500abab，所以22(30)(30)450235ab，因为,a b均为整数且ab，所以只可能是22305 ,3023 ,ab解得5,12.ab所以，直角三角形的斜边长13c，三角形的外接圆的面积为1694. 二、证明：连接OA，OB，OC. OAAP， ADOP，由射影定理可得2PAPD PO，2ADPD OD. 又由切割线定理可得2PAPB PC，PB PCPD PO， D、B、C、 O 四点共圆， PDB PCO OBC ODC ， PBD COD， PBD COD，PDBDCDOD，2ADPD ODBD CD. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 三、解易求得点 P23(3 ,)2bbc，点 C(0, )c. 设 ABC 的外接圆的圆心为D，则点 P 和点 D 都在线段AB 的垂直平分线上，设点D的坐标为(3 ,)b m. 显然，12,x x是一元二次方程2106xbxc的两根，所以21396xbbc，22396xbbc，又 AB 的中点 E 的坐标为(3 ,0)b，所以 AE296bc. 因为 PA 为 D 的切线，所以 PAAD， 又 AEPD， 所以由射影定理可得2AEPE DE，即2223( 96 )() |2bcbcm，又易知0m，所以可得6m. 又由 DA DC 得22DADC， 即22222( 96 )(30)()bcmbmc， 把6m代入后可解得6c（另一解0c舍去） . 又因为 AM/BC，所以OAOMOBOC，即223|3962| 6 |396bbcbbc. 把6c代入解得52b（另一解52b舍去） . 因此，抛物线的解析式为215662yxx. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -