《李群与李代数》讲义-李世雄编著.pdf

Lie群与Lie代数简介 安徽大学数学系 李世雄 2 0 0 1 9 Lie 群与 Lie 代数 -1- 一一 引言 引言 Lie群和Lie代数的理论是近代数学中的一个重要分支是挪威数学家 M.S.Lie1842-1899在十九世纪后期创建的由于受 LagrangeAbelGalois 等学者用群论方法研究代数方程求解问题得到巨大成功的启发Lie 提出了用变换群的方法来研究微分方程的求解问题及用无穷小变换来研究变换群的方法近代的Lie群与Lie代数理论就是在 Lie 的开创性工作的基础上发展起来的群变换群的概念起源于对几何图像对称性的研究虽然历史悠久 但未成为一种解决问题的系统方法 这一情况到了十八世纪后期才发生了本质的变化法国数学家 J.Lagrange(1736-1813)在研究代数方程求解问题时认识到根的排列与置换理论是解代数方程的关键所在 开创了用置换群的理论来研究代数方程求解问题的新阶段在此基础上挪威数学家 N.H.Abel(1802-1829)与法国数学家 E.Galois(1811-1832)发展和应用了群论的方法彻底解决了代数方程用代数方法求解问题关于这方面的进一步介绍有兴趣的学者可以参看附录 1用根的置换理论解二三次代数方程 与代数方程有关的置换群是有限群即由有限个元素构成的群对这种群的研究纯属代数问题 而 Lie 引进的与微分方程有关的变换群则是由有限个连续参数所确定的变换所构成的无限群这种确定群的元素的连续变化的参数可以看成广义的坐标所以 Lie 研究的变换群除了群的结构外还具有流形的结构其元素可以看成是流形上的点关于流形的概念可参看李世雄. 波动方程的高频近似与辛几何. 第四章因而Lie群是代数几何与分析的有机结合其理论和方法对近代数学的许多分支有重要的影响和作用 Lie 群与 Lie 代数 -2- 二二Lie群的概念 群的概念 群的定义群的定义设G是一个集合若满足下列 4 个条件则称G为一个群Group 1 G中有一种对应规则通称为乘法对G中任意二元素,g hG对应G中的一元素k称为g与h之乘积记为(kg h=?或)gh 此性质称为群的乘法的封闭性 2 乘法满足结合律对G中任意三元素, ,g h k满足()()gh kg hk= 3 G中存在一个幺元e使对G中任意元素g均有geegg= 4 G中每一元素g均存在一逆元1g使11ggg ge= 群的乘法一般不满足交换律若一群G的任意两个元素的乘法均可交换ghhg=,g hG则称G为可交换群或 Abel 群 子群子群设G为一群H为G的一个子集()HG若H也是一个群按照G中的规定的乘法则称H是G的子群 例1 全体实数?或复数?对加法构成一 Abel 群此时群的乘法就是普通的加法 设 E 表示有理数全体则 E 是?的子群 设 V 表示全体偶数则 V 是 E 的子群当然也是?的子群问题无理数全体或奇数全体是否?的子群 例2 全体实数除去零0?或全体复数除去 00?对乘法构成一 Abel 群这时群的乘法就是普通的乘法 问题全体实数?或全体复数?对普通的乘法运算不构成群这是为什么 例3 1, 1, ,Gii=对复数乘法运算构成一有限 Abel 群这里 1 是 G 的幺元-1 的逆元就是-1i 与-i 互为逆元 例4 行列式不为零的 n 阶实矩阵全体对矩阵乘法构成一群n 阶全线性群记为GL(n,R)它的元素由2n个独立实参数所确定按照下面将要给出的定义可见Lie 群与 Lie 代数 -3- GL(n,R)是一个2n维不可交换Lie群 例5 行列式为 1 的 2 阶实矩阵全体对矩阵乘法构成一群二阶 实 特殊线性群 SL 2R因为二阶实矩阵abcd由四个实数, , ,a b c d构成由于行列式为 1 的要求使他们必须满足条件1adbc=所以(2, )SLR中的元素由 3 个独立的实参数所确定按照下面将要给出的定义可见(2, )SLR是一个三维不可交换Lie 群而且它是(2, )GLR的子群 例6 行列式为 1 的n阶实矩阵全体对称矩阵乘法构成一群n阶特殊线性群( , )SL n R这是一个21n 维不可交换的Lie群而且是( , )GL n R的子群 例7 行列式不为 0 的n阶复矩阵全体对矩阵乘法构成一群n阶复全线性群( ,)GL n C 行列式为 1 的n阶复矩阵全体对矩阵乘法构成一群n阶复特殊线性群( ,)SL n C( ,)GL n C是22n阶不可交换Lie群( ,)SL n C是222n 阶不可交换Lie群 显然( , )GL n R与( ,)SL n C都是( ,)GL n C的子群( , )SL n R是( ,)SL n C的子群 上面我们所举的群的例子除例 1 外其元素均为矩阵实数或复数可看成是一阶矩阵运算法则均为矩阵乘法这种群称为线性群线性群是最重要的也是最有代表性的一类Lie群今后在应用中遇到的Lie群基本均为线性群可以说掌握了线性群也就基本上掌握了Lie群下面我们来给出Lie群的定义 Lie群的定义群的定义设G是一个 r 维流形同时G又是一个群其幺元记为e因e又是流形G中的一点所以可取定一个包含e的局部坐标邻域U在U中取定坐标系 , U 设取e为坐标原点 ( )(0,0,0)(2.1)e=? 对U中的三元素, ,g h k设其坐标分别为 Lie 群与 Lie 代数 -4- 121212( )( ,),( )(,),( )( ,).rrrgx xxhy yykz zz=? (2.2) 则群的乘法kgh=可以用相应的坐标来表示 1111221111( ,;,),( ,;,),(2.3)( ,;,).rrrrrrrrzf xxyyzfxxyyzfxxyy=? (2.3)在 不 致 引 起 混 淆 时 可 简 记 为 ( , )zf x y= 我们要求这r个函数12,rfff?是无限次可导的 即光滑的 这r个函数12,rfff?称为G的乘法函数乘法函数它完全确定了群G的结构这样的群G就称为一个r维维Lie群群 乘法函数的基本性质乘法函数的基本性质 1 因为幺元e的坐标为(0,0,0)?所以exxex=用坐标表示出来就是 11( ,;0,0)( 0,0;,)1,2,(2.4)jrjrjfxxfxxxjr=? 这一关系可简记为( ,0)(0, )f xfxx= 2 群的乘法满足结合律的要求()()gh kg hk=用坐标表示出就是 111111111111( ,;,),( ,;,);,)( ,;(,;,),(,;,)1,2, .(2.5)jrrrrrrjrrrrrrff xxyyfxxyyzzfxxf yy zzfyy zzjr=? 这一关系可简记为( ( , ), )( ,( , ).f f x y zf x f y z= 3G的每一元素g都有唯一的逆元1g设1g的坐标为1( ,)rxx?则关系式11ggg ge=用坐标表示出就是 1u( )gUG( ) e()U2,ruu?Oeg2.1图Lie 群与 Lie 代数 -5- 1111( ,;,)( ,;,)01,2, .jrrjrrfxx xxfxx xxjr=? (2.6) 这一关系可简记为( , )( , )0.f x xf x x=? 直接用乘法函数来研究Lie群是相当困难的复杂的Lie 的重要贡献在于引进了无穷小变换的概念使问题大为简化这就是在后面要介绍的Lie代数的理论 我们先用一些比较简单的Lie群来阐明上面引进的有关Lie群的一些概念 例 812212,01xexTx x=?这个群的元素由二个独立实参数12,x x所决定所以2T是一个二维流形现在来验证2T满足群的要求 1 先来验证封闭性 111111211222222220101010101xyxyxxxxzexeye ee yxee yxezT+=+= 我们可以将2T的乘法函数具体写出 11112121222121222( ,;,),( ,;,).xzf x xy yxxzfx xy ye yx=+=+ (2.7) 显然函数12,f f是无限次可微的 2 因2T之乘法就是矩阵的乘法当然满足结合律不必再验证 3 易见01000111e=是2T的幺元 4 1111112222010101011001xxxxxxex eexexex e= Lie 群与 Lie 代数 -6- 所以 1201xex的逆元为112.01xxex e 因为 111111111122222222,010101.010101xyxyxyxxyyexeyey exeyexex ey+=+=又 可见2T是一个二维不可交换的Lie群 例9 绕固定轴的旋转群(2)SO其元素( )g 可用一参数 转动角来确定 这里的取值范围为0,2 )群的乘法规定为相继作二个转动即将相应的参数相加但若相加之和大于2时应减去2使参数值仍保持在0,2 )之中因转2角度等于不转动所以参数减去2对转动之结果不影响 1212() ()()ggg= 这里1212(mod 2 )=+ 容易验证2T是一个一维可交换Lie群 我们也可以用矩阵线性变换的形式来表示 (2)SO ( )cossinsincoscossinsincosgxxxyyyxyxy =+ (2.8) 例10 三维旋转群(3)SO三维空间绕固定点的一个转动(3)gSO可用单位向量n?表 示其转动轴OP的方向一实数表示绕OP轴转动的角度于是g可用( , )n ?来确定由于空间单位向量n?由二个独立参数确定所以(3)SO的元素由三个独立参数所确定因空间任意转动可用绕某一轴绕顺时针方向转动一个角度(0)来完成所以(3)SO可以用一个以为半径的球来表示此球内的一点Q表示一个( , )x y2.2图Oyxz( )g ( ,)x yLie 群与 Lie 代数 -7- 绕OQ?为轴转动角度为OQ的转动但要注意此球面上的对径点对应的是群(3)SO的同一元素 即0(, )n ?与0(, )n ?表示同一转动这里0n?为任意单位向量所以我们可以用一个半径为并将球面的对径点叠合起来的球来表示(3)SO这样的模型对研究群(3)SO的整体构造非常有用利用这一模型不难证明(3)SO作为一个流形不是单连通的但对处理一些实际问题却很不方便通常对(3)SO我们习惯用Euler角( , ,) 来描述一个转动见图 2.5 ( , , )( ,)gx y zx y z 用矩阵形式表出 111213111213212223212223313233313233,gggxgggxggggygggygggzgggz = (2.9) 现在用Euler角来表示出,1,2,3.ijgi j = 由(2.8)知 cossin0sincos0001zg=1000cossin0sincosxg= Ol?zyxzyx2.5图n?Ozyx2.3图P2.4图QOzyxLie 群与 Lie 代数 -8- cossin0sincos0001zg= (这里zg表示绕z轴转角? 于是 coscoscos sinsincos sincos sincossinsinsincoscos sinsinsinsincos sincoscos sinsin sincos sincoszxzgg g g=+ (2.10) 因此(3)SO的元素也可由( , ,) 三个独立参数坐标确定不难验证(3)SO是一个三维不可交换Lie群 为了便于今后将(3)SO推广到n维的情况我们在介绍另一种刻划(3)SO的方法 三维欧氏空间3?的内积 123123( ,),(,)xx x xyy yy= 31122331,jjjx yx yx yx yx y=+ (2.11) 线性变换111213121222323132333()gijgggxggxxgxgggxgggx= = 3(3),gSOgs gyx yx y=?且det0g (2.12) 通过直接计算不难验证,tgx gyx g gy= 这里tg表示g之转置即tijjigg= 由3,tx g gyx yx y=R 即得 tg gI=这里100010001I=单位矩阵 所以(3),det.ttgSOg gggIgo= (2.13) Lie 群与 Lie 代数 -9- 仅满足ttg ggg=的线性变换所构成的群称为(3)O正交群(3)SO也称为特殊正交群 3 阶矩阵g共有 9 个元素实参数条件ttggg gI=具体写出来共有 6 个方程要满足 31311,1,2,30,.ijijjijkjjg gig gik= (2.14) 所以( ,1,2,3)ijgi j =9 个元素中可以选取 3 个作为独立参数 这又一次阐明了(3)SO是一个三维Lie群 例 11n维特殊正交群( )SO n n维欧氏空间n?的内积 1( ,)nxxx=?1(,)nyyy=? 1,njjjx yx y= (2.15) ()1112121nnijnnngggggggg=?gxxgx =? 1111112121ngnnnnnnnxxggxggxggxx=? (2.16) ( ),det0ngSO ngx gyx yx yg=? (2.17) 因,tgx gyx g gy= 所以( ),det0ttgSO ng gggIg= (2.18) 这里tg为g的转置即tjkkjgg= Lie群与Lie代数 -10- 不难验证( )SO n是一个(1)/2n n维不可交换Lie群 若仅要求g gggI=而不要求det0g 这样的群称为正交群并记为( )O n即 ( )ttgO ng gggI= (2.19) ( )O n也是一个(1)/2n n维不可交换Lie群 Lie群与Lie代数 -11- 三三 指数映射与单参数子群 指数映射与单参数子群 前面我们已提到了群的乘法一般不可交换 线性群的元素是线性变换矩阵 矩阵的乘法一般不可交换所以Lie群用以刻划其乘法规则的乘法函数是比较复杂的直接用乘法函数来研究Lie群是走不太远的Lie 的重要贡献在于引进了无穷小变换的概念并证明了Lie群的主要特征局部性特征都可以通过无穷小变换来刻划也就是说要研究Lie群在幺元附近的性质只要研究其相应的无穷小变换就可以了而无穷小变换也就是Lie代数它是一个有特殊结构的线性空间对它的研究当然要比直接研究Lie群方便简单得多在讨论Lie代数以及Lie代数与Lie群的关系之前我们先来介绍一下有关的重要概念及其性质在今后我们只讨论线性群因此群的元素总是矩阵群的乘法一定是矩阵的乘法 指数映射指数映射 我们知道即使是一阶矩阵数其乘法运算也要比加法运算复杂熟知的指数和对数运算就将较复杂的乘法运算转化为较简单的加法运算若11xye=22xye=则 121212xxxxy ye ee+= 这样就把1y与2y的乘法转化为1x与2x的加法 而x与y的关系又可用对数函数联系起来 即 若logxy=则logxyyee= 现在要问上面将数的乘法转化为加法的方法能否推广到矩阵的乘法 回答是原则上是可以的但问题要复杂得多 首先来定义矩阵的指数函数与对数函数 在微积分中我们知道可用幂级数来定义指数和对数函数 20exp( )1,()!1!2!knxkxxxxexxkn= + ? 对任意的 n 阶矩阵 A我们也可以定义其指数映射为 23exp( )2!3!AAAexIA=+? (3.1) 可以证明这一级数对任何矩阵 A 都是收敛的 Lie群与Lie代数 -12- 设 O 是零矩阵一切元素均为 0的矩阵则显然有 exp( ).OeOI= 又若0,0 xAxx=?现在来计算Ae 2220,0 xAx=33300 xAx=44400 xAx=55500 xAx=? 232345451000011exp0102!3!0000114!5!00AxxxAexxxxxxx=+? 再利用 357sin3!5!7!xxxxx=+? 246cos12!4!6!xxxx = +? 即得 cossinexpsincosxxAxx= 现设 AXe=BYe=由于矩阵的乘法一般不可交换显然对实数成立的公式aba be ee+=对矩阵一般是不成立的因为否则()()ABA BB ABAXYe eeee eYX+=但若A与B的乘法可交换ABBA=则有()ABA Be ee+= (3.2) 证 23()223223()()()2!3!226226A BABABeIABABAA BABBIABAB+=+=+? 这里利用了 22222()()()2ABBAABAB ABABAABBAABB=+=+=+=+ Lie群与Lie代数 -13- 2323223223()()2!3!2!3!226226ABAABBe eIAIBABAA BABBIABAB=+=+? 故得()A BABee e+= 证毕 利用上面的结果容易证明 设A为任意n阶矩阵 则det()0Ae这里因为A与A可交换所以 0A AAAIeee e=det( )det()AAIe e= 1(det()(det)AAee= det0.Ae 又若A为任一实反对称矩阵即.tAA= 则( )AeO n (3.3) 这是因为0()()ttA AAAAA tIeee eee+= 由(2.18)知( ).AeO n 若B为 非 奇 矩 阵即det0B 故 存 在1B使11.BBB BI=易 证11.BABAeBe B= (3.4) 这是因为11111()()()()nnBABBABBABBABBA B=? 111()B CD BBCBBDB+=+ 再利用exp之定义3.1 即得 11.BABAeBe B= 对数映射对数映射 在微积分中我们利用幂级数定义对数函数 234(1)(1)(1)log(1)23411.xxxxxx=+? 对n阶矩阵A我们也可以定义其对数映射为 234()()()log()234AIAIAIAAI=+? (3.5) 为了保证(1-24)右方级数的收敛要求矩阵IA之每一元素之绝对值均小于1n也就Lie群与Lie代数 -14- 是说要求A是与幺元I邻近的元素 在微积分中熟知xe与log x互为反函数logaea=logxex=对矩阵的指数与对应映照也有类似的关系式 设X与I邻近A与O邻近则有 loglog.AXeeX=A. (3.6) 先证由(3.1)得 232!3!AAAeIA=+? 由(3.5)得 23232233223331log()()2!3!22!3!1()32!3!()().2!23!23AAAAAeAAAAAAAAAAAA=+=+=? 再证由(3.5)得 23()()log()23XIXIXXI=+? 23log23223322333()()()231()()()2!231()()()3!23()()()()()22326.XXIXIeIXIXIXIXIXIXIXIXIXIXIXIXIXX=+=+=?证毕 与指数映射类似对实数成立的公式log()loglogxyxy=+只有当log X与logY可交换且X与Y均与I邻近时才有相应的关系式 设X与Y均与I邻近且log X与logY的乘法可交换则 log()loglogXYXY=+ (3.7) 证 log()loglogloglogXYXYXYeXYeee+= 证毕 Lie群与Lie代数 -15- 单参数子群单参数子群 再来引进一个重要的概念Lie群的单参数子群 设G为一Lie群( ) ()tt 为g中过幺元e的一条曲线则对每一取定的00, ( )tt?是G中的一个元素 设参数t满足 ( )1212()( )(3.8)tttt+=则称( ) t是G中的一个单参数子群 因( )(0)(0) ( )ttt=+=所以(0)e= 又因( ) ()()(0)tttte= 所以( ) t之逆元为() t 由于12122121( ) ( )()()( ) ( )tttttttt=+=+= 所以( )()tt 是G的一个单参数子群 我们将Lie群G的一个单参数子群看成流形G对二维Lie群可将G看成为一张曲面中过e处的一条曲线从微积分知道这只要对( ) t在0t =处求导即得( ) t在0t =处的切向量0( )(0)tdtdt=因为我们只讨论线性群 所以( ) t是矩阵 其元素是t的函数( ) t表示对( ) t的每一元素求导所得的矩阵由于 ()( ) ( )tsts+= 两边对s求导并令0s =得 ( )( ) (0)tt= (3.9) 这是一组常微分方程不难验证其解为 ( )exp(0)tt= (3.10) 可见单参数子群必可表示为指数映射的形式 而且从(3.10)可见 对G在幺元处的切空间eT G平面 上的任一向量(0)A=就有G中的一元素(1)exp( (0)=与之对应反之若给定G中Ge( ) t(0)3.1图Ge( ) t(0)3.2图(0)eT GLie群与Lie代数 -16- 与幺元I=邻近的一个元素g因假定G是线性群所以g是矩阵根据公式(3.5)定义logAg=则由Aeg=知A为G在e处之切向量tAe为以A为单位切向量的单参数子群因此对G中与幺元e邻近的一个元素就有( )eT GG在幺元处的切空间中一向量A与之对应也就是说设UG中包含e的一个适当邻域我们建立了一种对应关系 explog( )logeAGUT GgAgeA = (3.11) 这种对应将我们研究的对象从Lie群G转移到G在幺元e处的切空间( )eT G( )eT G是由向量构成的线性空间其结构及运算当然要比Lie群G要简单得多但由于群的乘法运算对线性群而言是矩阵的乘法一般不可交换因此线性空间中向量之间可交换的加法运算肯定不能完全刻划群的乘法运算即 ( )eABA BABT GGAeBeABee e+ (3.12) 为此我们除上述对应关系外还要在( )eT G中引入一种新结构来反映G中乘法运算的不可交换性有了这种新结构的线性空间( )eT G就是我们在下面要介绍的Lie代数 Lie群与Lie代数 -17- 四四 Lie群与群与Lie代数代数 Lie的三基本定理与结构常数的三基本定理与结构常数 从上面的讨论我们知道一般ABA Be ee+现在的问题是?ABe ee=这一问题的回答当然与群的乘法的不可交换性有关 设,( )eA BT G取参数t使t适当小这样tAe与tBe均为Lie群G中与幺元e邻近的元素这样可以保证问题涉及的级数的收敛性为了研究tAe与tBe之间的乘法的不可交换性我们来研究 ( )tAtBtAtBg te e ee= (4.1) 显然当tAe与tBe可交换时( )g teI=单位矩阵而当他们的乘法不可交换时( )g t与幺元e=I单位矩阵 的偏离程度反映了tAe与tBe的乘法与可交换乘法的差异大小现在我们来具体计算( )g t 23232323( )()()2!3!2!3!tAtBtAtBg te e eettttItAAAItBBB=+? 23232323()()2!3!2!3!ttttItAAAItBBB+? 223223234()()()( )226226ABAA BABBIt ABtABtO t=+ 223223234()()()( )226226ABAA BABBIt ABtABtO t+ 2223()()(22A BABIt ABABtABBAt=+ 224)( )22B ABAABABABO t+ 324 , ( , , , , )( )2tItA BA A BB B AO t=+ (4.2) Lie群与Lie代数 -18- 这里引进了一种重要的新记号,对任意两个n阶矩阵,A B , A BABBA=定义(4.3) 这里AB与BA按通常定义的矩阵乘法相乘 我们称这种运算为Lie乘法 , A B为矩阵,A B的Lie乘积 这是下面我们要定义的Lie代数的基本运算 由(4.2)可得 2( ) , ( )g tIA BO tt=+ (4.3) 因此 20( )lim , tg tIA Bt= (4.4) 由此可见Lie群G中的元素tAe与tBe的乘法的不可交换性的程度当t很小时主要取决于 , A B 现在在(4.3)中作变量代换ts=并利用(0)Ige=则 (4.3)化为 ()(0) , ()gsgA BOss=+ (4.5) 因此 0()(0)lim , sgsgA Bs= (4.6) 这说明 ,A B是Lie群G中过幺元的曲线()gs在幺元处的切向量即 , ( )eA BT G ,A B是( )eT G中的任意两个切向量所以我们证明了 ,( )eA BT G ,( )eA BT G 也就是说我们引入的Lie乘法对( )eT G这个向量空间的封闭性 现在可以来回答?tAtBe ee=的问题了 令tAtBtCe ee= 则 loglogtCtAtBtCee e= Lie群与Lie代数 -19- 22233223423223223422232222334log()(2)2(33)( )6()(2)(33)( )26 ()(2)( ) /22 ()(2)( ) /3( )2tIt ABAABBtAA BABBO tttt ABAABBAA BABBO ttt ABAABBO ttt ABAABBO tO t=+=+ 2322224()()(212)( )ttt ABABBAA BABAABABAB ABABBABABO t=+ 411(),( )212tAtBtA tBtA tA tBtB tB tAO t=+ (4.7) 由此可见只要有了Lie乘法( )eT G中知道了与,tAtBee相对应的元素,tA tB由公式(4.7)即可求得( )eT G中与tAtBe e相对应的元素 由此可见Lie群G在幺元e处的切空间 这是一个线性空间引进了Lie乘法就能正确的反映Lie群中的乘法运算 由于我们讨论的Lie群都是线性群 其元素均为矩阵 因而其在幺元处切向量也是矩阵因此上面Lie乘法的定义 , A BABBA=中AB与BA即通常的矩阵乘法但是若G是一般的抽象的Lie群其元素未必是矩阵则相应的向量空间( )eT G的元素也未必是矩阵此时,AB BA表示什么意义需要进一步讨论阐明有兴趣的得学者可参阅有关Lie群的专著 容易验证上面在( )eT G中定义的Lie乘法, 具有下列性质 , , (4.8), , , , , ,(4.9) , , ,. , , , , , , 0()(4.10)A BB Akk A BkA BA kBAB CA CB CA BCA BA CA B CB C AC A BJacobi= =+=+=+=?反对称设 为实数 则线性恒等式 我们称有了Lie乘法的向量空间( )eT G构成一个Lie代数 更确切地称之为Lie群G的Lie群与Lie代数 -20- Lie代数 并记为g用大写字母表示Lie群 用相应的小写黑体字母表示其Lie代数Lie群的Lie代数完全刻划了Lie群在幺元附近的结构要研究Lie群在幺元附近的性质只要研究其Lie代数即可这当然使问题大为简化但是Lie代数仅刻划了Lie群在幺元附近的局部性质而不能反映其整体性质例如例 1全体实数?对加法运算所构成的一维Lie群与例 9 绕固定轴的转动群可用单位圆周作为其几何模型其Lie代数是相同的但其整体结构显然是不同的 设G是一个r维Lie群 取定幺元e的一个邻域U在U中取定坐标系 , U 并取e为坐标原点 ( )(0,0,0)e=? ( )(1),1,2,( )(0,0, ,0,0)jjjtjrtt =? ? ?个零 (4.11) 为其r条坐标曲线 以(0),1,2,jjXjr=?记为其在幺元处的切向量即( )1,2, .jeXT Gjr=?g显然12,rXXX?可取作为向量空间( )eT G的基( )eT G中任一向量可用它们的线性组合表出由于,ijXXg所以 1,1,2, .nkijijkkXXCXi jr=? 这3r个数 , ,1,2,kijCk i jr=?称为Lie群g以12,rXXX?为基的结构常数 对g中任意向量,X Y 11,.rrjjjjjjXXYX= 1212(,),(,).rrXY =? G1X1( ) t2( ) t2XeU()U1x2x4.1图( )eT GLie群与Lie代数 -21- 111,1, ,rrrrijkjkjkjkijkij kZX YXXCX = (4.12) 将Z也用坐标表示 121,(,).ririiZXZ=? 由(4.12)即得 ,1,1,2, .riijkjkj kCir =? (4.13) 由此可见一个Lie代数完全由其结构常数决定 当然结构常数与基的选取有关基改变时相应的结构常数也随之改变Lie代数的一个重要的基本问题是如何选取适当的基使相应的结构常数最简单 由Lie代数的基本性质(4.8),(4.9),(4.10)易知结构常数有下列重要性质 (1)., ,1,2,kkijjiCCi j kr= =? (4.14) (2).1()0, , ,1,2, .rlmlmlmijlkjklikiljlC CCCC Ci j k mr=+=? (4.15) 例12. 在 例8的 群2T中10( )01tett= 与21( ).01ttt= 是过幺元的两条曲线也是两个单参数子群它们在幺元处的切向量分别为1110(0)00X=与为2201(0)00X=因此Lie群2T的Lie代数2t的基有12,XX组成现在来求2t相对于这组基的结构常数 11220000,0000XXXX= 1221001011001,.0000000000XXX= 所以 1212112211112222122112210,0,1,1.CCCCCCCC= = 例 13现在来求Lie群(3)SO的Lie代数(3)SO及其结构常数 Lie群与Lie代数 -22- 我们取(3)SO绕, ,x y z轴的转动 100cos0sin( )0cossin,( )010.0sincossin0cosxyttg tttgttttt= cossin0( )sincos0 .001zttg ttt= (4.16) 显然这是(3)SO的三个单参数子群它们在幺元处的切向量分别为 12000001(0)001 ,(0)000 .010100 xyIgIg= 3010(0)100 .000zIg= (4.17) 123 ,I II构成(3)SO的Lie代数(3)SO的一组基(3)SO是3(3 1)32=维Lie群所以(3)SO是一个三维线性空间它们的Lie乘法为 121 22 13 ,I II II II= 231312, ,.IIIIII= (4.18) 由(4.18)即求得1231212120,0,1,.CCC= ? 若在三维空间3?中取基向量, ,i j k? ?在解析几何中熟知它们的向量积为ijkjijkikjkijik= = = ? (4.19) 可见, ,i j k? ?的向量乘法就是123,I II的Lie乘法 xyzi?j?k?O4.2图Lie群与Lie代数 -23- Lie的三基本定理 现在再回来讨论Lie群及其乘法函数 在r维Lie群G中取幺元e的一个邻域U在U中取定坐标系 , U 并取e位坐标原点 ( )(0,0,0)e=? 对U中三元素111( ,)(,)( ,)rrrgxxhyykzz? (4.20) 设G在坐标系 , U 中的乘法函数为 11111( ,;,),( ,;,).rrrrrf xxyyfxxyy? 由(2.3) 111111( ,;,),( ,;,).rrrrrrzf xxyyzfxxyy=? (4.21) (4.21)两边对1,ryy?求导并令120ryyy=?得 1111,0,01( ,;,)( ,)rrjjrrkkyyyyjkrzfxxyyyylxx=?记为 (4.22) 我们称1,1,( ,)jkrj krlxx= ?为Lie群G的辅助函数也可用矩阵记号记为 11,1, .( )( ,)( ,)rjkrj krL xL xxlxx=? (4.23) (4.19)又可写成0( , )( ).yf x yL xy= 现在来研究乘法函数应满足结合律的关系式(2.5) 111111111111( ,;(,;,),(,;,)( ,;,),( ,;,);,)jrrrrrrjrrrrrrfxxf yy zzfyy zzff xxyyfxxyyzz=? 简记为( ,( , )( ( , ), )f x f y zf f x y z= (4.24) G( ) teU1x2x4.3图( )eT G(0)( ) t(0)Lie群与Lie代数 -24- 上式两方对1,rzz?求导并令1,0rzz =?来用简略记号得 ( ,0)00( , )( , )( ( , ), ).wf yzzf x wf y zf f x y zwzz=? 即( , )( )( ( , )f x yL yL f x yy= (4.25) 若具体将坐标分量写出来则上式即为 111111111( ,;,)(,)( ,;,),( ,;,),1,2, .rjrrksrkkjsrrrrrfxxyylyyylf xxyyfxxyyj sr=? (4.26) 由此可见Lie群G的乘法函数11( ,;,)( , )jrrfxxyyf x y=?满足一组偏微分方程(4.26)这组偏微分方程是由辅助函数1( ,)( )jkrlxxL x=?所确定的因此只要知道了辅助函数就可以通过求解微分方程(4.23)而求得乘法函数从而确定Lie群G的结构在幺元附近这就是 Lie 的第一基本定理的第一基本定理 我们还可以进一步证明乘法函数适合微分方程组 11( )( )( )( )( ), ,1,2, .rrksjsikikjijskkkkklxlxlxlxC lxxxs i jr=? (4.27) 这里, , ,1,2, .kijCk j ir=?就是Lie群G的Lie代数g在取定的坐标中的结构常数 由此Lie群的辅助函数完全由其Lie代数的结构常数所确定知道了结构常数只要解一组微分方程就可求得乘法函数这就是 Lie 的第二基本定理 我们知道Lie代数的结构常数满足关系式(4.14)与(4.15) 反之知道一组满足关系式(4.14)与(4.15)的数就可以构造一个Lie代数它以这组数为其结构常数这就是 Lie 的第三定理 所以 Lie 的三条基本定理用现代的观点表达出来就是说由Lie群唯一确定其Lie代数反之由Lie代数也可在幺元附近完全确定Lie群但是Lie代数不能确定Lie群的整体性质要研究Lie群的整体性质必须用到更多的近代数学知识有兴趣的学者可参看Lie群理论的专著 Lie群与Lie代数 -25- 五五一些典型一些典型Lie群及其群及其Lie代数代数 1 全线性群( ,)( ,)GL nGL n?或由一切行列式不为零的n阶矩阵构成 其Lie代数gl( ,)(n ?或gl( ,)n ?由一切n阶矩阵构成记为( ,)M n ? (5.1) 2 特殊线性群( ,)SL n ?由行列式等于 1 的n阶矩阵构成 这是一个21n 维Lie群 现在来求( ,)SL n ?的Lie代数sl( ,)n ?. 设( ).X tt 为( ,)SL n ?的一个单参数子群 由于( )X t ( ,)SL n ?所以 det( )1.X t= (5.2) 上式两边对t求导并令等于 0即得 (0)0.rtX= (5.3) 这里的记号rt表示取矩阵对角线元素之和 由(5.1)(5.2)的推导利用了公式 设( )( )ijX tx t=则 1112111121212222122212121112121( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )(det( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnnnnnnnnnxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtdX tdtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxt=+?22212( )( )( )( )( )nnnnnxtxtxtxtxt? 及10(0).01XI= ? 再利用公式det.AtrAee=可知若trA=0则det1.Ae =故得 sl( ,)( ,)|0.nAM ntrA=? (5.4) 3 特殊正交群( ).SO n Lie群与Li