方程的根与函数的零点_课件.ppt
l问题（问题（1 1）： 求方程求方程x x2 2-3 -3 x+2x+2=0=0的的实数根。实数根。 变式：变式： 求方程求方程 x x3 3+3 +3 x-5x-5=0=0的实数根的实数根. .问题（问题（2 2）：）：如果无法用如果无法用代数运算解方程，那代数运算解方程，那么如何探讨方程的解么如何探讨方程的解或近似解呢？或近似解呢？ 解方程是初等数学中的一个中解方程是初等数学中的一个中心问题，一次、二次、三次、四次心问题，一次、二次、三次、四次方程的解都可以通过系数的四则运方程的解都可以通过系数的四则运算，乘方与开方等运算来表示，但算，乘方与开方等运算来表示，但高于四次的方程不能用公式求解。高于四次的方程不能用公式求解。挪威数学家阿贝尔成功的证明了五挪威数学家阿贝尔成功的证明了五次及高于五次的方程不能用代数运次及高于五次的方程不能用代数运算求解，但算求解，但寻找高次方程求根公式寻找高次方程求根公式过程，促进了代数学研究内容与研过程，促进了代数学研究内容与研究方向的发展。究方向的发展。事实上高次方程在事实上高次方程在实际生活中并没有多少用途，即使实际生活中并没有多少用途，即使在一些工程和学科中出现的许多高在一些工程和学科中出现的许多高次方程，它们的系数常是由测量得次方程，它们的系数常是由测量得到的一些近似值。所以，我们只需到的一些近似值。所以，我们只需知道根的具有一定知道根的具有一定精确度的近似值精确度的近似值就行了。实际上代数学正是延着以就行了。实际上代数学正是延着以下三个方向发展：下三个方向发展：1 1、关于根的存在、关于根的存在问题；问题；2 2、不通过解方程，直接按照、不通过解方程，直接按照方程的系数考察根的性质；方程的系数考察根的性质；3 3、研究、研究根的近似解根的近似解问题。问题。 课题：方程的根与函数的零点课题：方程的根与函数的零点 【思考并讨论思考并讨论】（1）（判断）函数）（判断）函数 的零点是的零点是（-1， 0）吗？）吗？（2）求下列函数的零点）求下列函数的零点:（3）讨论讨论：函数：函数yf（x）的零点，）的零点，方程方程f（x）0实数根，函数实数根，函数yf（x）的图象与）的图象与x轴交点的横坐标轴交点的横坐标关系。关系。【定义定义】 函数零点的概念函数零点的概念： 对于函数对于函数yf（x）（xD），把使），把使f（x）0成立的实数成立的实数x叫做函数叫做函数yf（x）（）（xD）的）的零点零点。（zero point） c是方程是方程f（x）=0的实数根，的实数根，c在方程中称为实数根，在函在方程中称为实数根，在函数中称为零点。数中称为零点。 1 xyl归纳交流：归纳交流：函数零点的意义：函数零点的意义： 函数函数y yf f（x x）的零点就是方）的零点就是方程程f f（x x）0 0实数根，亦即函数实数根，亦即函数y yf f（x x）的图象与）的图象与x x轴交点的横轴交点的横坐标。即方程坐标。即方程f f（x x）0 0有实数有实数根根 函数函数y yf f（x x）的图象与）的图象与x x轴轴有交点有交点 函数函数y yf f（x x）有零点。）有零点。 函数函数y yf f（x x）没有零点就是）没有零点就是方程方程f f（x x）0 0没有实数根。没有实数根。 讨论方程讨论方程f f（x x）0 0实数根情况实数根情况（存在与近似解问题），就是确（存在与近似解问题），就是确定函数定函数y yf f（x x）的零点情况。）的零点情况。l问题问题1 1：观察的图象（右图）回答下：观察的图象（右图）回答下列问题。列问题。(1)(1)当图象经过零点当图象经过零点-1-1（或（或3 3）是函数值）是函数值的符号的符号 改变改变 (2)(2)在两零点在两零点-1-1，3 3之间时，函数值的符之间时，函数值的符号号 同号同号(3) (3) f(-2) f(-2) f(1) f(1) 0 0（或），（或）， f(2) f(2) f(4) f(4) 0 0（或）。（或）。l问题问题2 2： 利用问题利用问题1 1的图象，的图象，试从零点试从零点的角度简述其在解一元二次不的角度简述其在解一元二次不等式等式axax2 2+bx+c0+bx+c0， axax2 2+bx+c0+bx+c0+bx+c0， axax2 2+bx+c0+bx+c0的的x x的分界值。的分界值。 2 2、当一元二次函数、当一元二次函数y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c有一个两重零点时，有一个两重零点时，除零点外函数值同号。除零点外函数值同号。 3 3、并不是所有的二次函数都、并不是所有的二次函数都有零点。有零点。l问题问题3 3：不在不在x x轴上轴上A A、B B两点，两点，当当A A、B B满足什么条件时，过满足什么条件时，过A A、B B两点的连续函数图象两点的连续函数图象一定一定与与x x轴相交？轴相交？l问题问题4 4：上述：上述A A、B B与与x x轴的位置轴的位置关系，如何用数学符号（代数关系，如何用数学符号（代数的形式）来表示？的形式）来表示？l问题问题5:5: 满足上述条件的函数图满足上述条件的函数图象与象与x x轴的交点一定在轴的交点一定在(a,b(a,b) )内内吗？即函数的零点一定在吗？即函数的零点一定在(a,b(a,b) ) 内吗？内吗？ 进阶挑战题二进阶挑战题二 函数的零点存在性定理函数的零点存在性定理： 如果函数如果函数y=f(xy=f(x) )在区间在区间a.ba.b 上上的图像是连续不断的一条曲线，并且的图像是连续不断的一条曲线，并且满足满足f(a)f(a)f(bf(b)0)0，那么函数，那么函数y=f(xy=f(x) )在区间在区间(a,b(a,b) )内有零点，即存在内有零点，即存在c(a,bc(a,b) )，使得，使得f(cf(c)=0)=0，这个，这个c c也就也就是方程是方程f(xf(x)=0)=0的根。的根。l思考思考1 1：满足上述定理的条件时，：满足上述定理的条件时，零点唯一吗？零点唯一吗？l思考思考2 2：若只给条件：若只给条件f(a)f(a)f(bf(b)0)0)0，是否在，是否在(a(a，b)b)内函内函数就没有零点？数就没有零点？ l讨论上述思考问题并总结出函数讨论上述思考问题并总结出函数f(xf(x) )在在(a,b(a,b) )上存在唯一零点的条上存在唯一零点的条件。件。思考与讨论思考与讨论应用研究应用研究42-25g x 应用研究应用研究642-2-4-55g x f x 应用研究应用研究总结交流总结交流l1 1、能否从知识内容和掌握、能否从知识内容和掌握的数学思想方法的角度谈的数学思想方法的角度谈谈对本节学习的收获？谈对本节学习的收获？l2 2、学习过程中还有哪些不、学习过程中还有哪些不明白的，请提出，交流。明白的，请提出，交流。l3 3、本节课你自己的学习表、本节课你自己的学习表现如何，体会是什么？现如何，体会是什么？函数零点方程根，函数零点方程根，形数本是同根生。形数本是同根生。函数零点端点判，函数零点端点判，图象连续不能忘。图象连续不能忘。 作业布置作业布置必做题必做题选做题：选做题：作业布置作业布置
