向量的直角坐标运算-田鸿.ppt
向向量量向量向量7.3.2 向量的直角坐标运算向量的直角坐标运算主讲人：田鸿（古县职教主讲人：田鸿（古县职教中心）中心）1.在平面直角坐标系内在平面直角坐标系内,点点 A 可以用什么来表示可以用什么来表示?ba2.平面向量是否也有类似的表示呢平面向量是否也有类似的表示呢?OxyAa( , )ab3. 平面向量分解定理的内容是什么平面向量分解定理的内容是什么?（一）向量的直角坐标（一）向量的直角坐标(1)(1)取基向量取基向量: : 与与 x 轴轴, , y 轴方向相同的轴方向相同的(2) 得到实数对：得到实数对：任作一个向量任作一个向量 , a其中其中 叫做叫做 在在x轴上的坐标，轴上的坐标， 叫做叫做 在在 y 轴上的坐标轴上的坐标1aa2aa),(21aaa（1）（1）式叫做向量的坐标表示）式叫做向量的坐标表示.1e2ea1e2e ， 叫做直角坐标平面上的基向量叫做直角坐标平面上的基向量Oxy1e2e两个单位向量两个单位向量 ， 作为基向量作为基向量1a2aa我们把我们把( , )叫做向量叫做向量 的坐标，记作的坐标，记作2211eaeaa1a2a 、 ，使得，使得由平面向量基本定理，有且只有一对实数由平面向量基本定理，有且只有一对实数 1e2eyx0 1 如图：如图： ， 是直角坐标平面上的基向量，你能写出是直角坐标平面上的基向量，你能写出 1e2e ， ， 的坐标吗？的坐标吗？1e2e0，)0,0(0 ).1 ,0(2e，)0,1(1e 2 向量的坐标与点的坐标之间有何关系？向量的坐标与点的坐标之间有何关系？ 设点设点 A 的坐标为的坐标为),(yxA则则),(21yxeyexOA结论：结论：一一对应一一对应向量向量 的坐标的坐标OA),(yxA点2ey1ex),(yxAyx0并求出它们的坐标并求出它们的坐标 例例1 如图，用基向量如图，用基向量 ， 分别表示向量分别表示向量1e2eacdcba,；)3,2(3221eea1e2ebd解：解：；)3,2(3221eeb；)3,2(3221eec)3,2(3221eed（二）向量的直角坐标运算（二）向量的直角坐标运算设 ， ，则),(21aaa ),(21bbb ),(),(2121bbaaba；),(2211baba),(),(2121bbaaba；),(2211baba),(),(2121aaaaa结论结论1：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差坐标的和与差.结论结论2：数乘向量积的坐标等于数乘上向量相应坐标的积数乘向量积的坐标等于数乘上向量相应坐标的积.（二）向量的直角坐标运算（二）向量的直角坐标运算设设 ， ，则，则),(21aaa ),(21bbb ),(),(2121bbaaba),(2211baba证明：证明：由向量坐标的定义有由向量坐标的定义有)()(22112211ebebeaeaba222111)()(ebaeba),(2211baba其他两式同理可以得到其他两式同理可以得到例例2已知已知 ， , ，bababa43解：解：)12( ，a)43(，b)43()12(， ba)4132(，；，)51()43()12(， ba)4132(，；，)35()43(4)12(343，ba)1612()36(， )196(求求例例3解：解：已知点已知点 ， , 求向量求向量 的坐标的坐标AB)(11yxA，)(22yxB，OAOBAB),(1212yyxx),(),(1122yxyx结论：结论：一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的相应坐标相应坐标2.已知已知 A A，B B 两点的坐标两点的坐标 , 求求 坐标坐标 1.已知已知 的坐标的坐标 , 求求 )8,3(),3,4(baba,baba,BAAB ,)4,0(),0,3(ba),43(，A)36( ，B),63(，A)78(，B例例4，)221(M已知点已知点 ， , 求线段求线段 AB 中点中点 M 的坐标的坐标)12(，A)31( ，B解：因为解：因为OAOBAB)23(21)12(， ，)221()12()31(，)23(因此因此所以所以AMOAOMABOA21AMBxOy11（三）用向量的坐标表示向量平行的条件（三）用向量的坐标表示向量平行的条件温故知新温故知新1 1、平行向量基本定理、平行向量基本定理若若 则则,0bba/存在唯一实数存在唯一实数 ，使，使.ba2 2、数乘向量、数乘向量),(21bbb已知已知 ，则，则21,bbb 问题问题 在直角坐标系中，向量可以用坐标表示，那么，能否在直角坐标系中，向量可以用坐标表示，那么，能否用坐标表示两个向量的平行呢？用坐标表示两个向量的平行呢？（三）用向量的坐标表示向量平行的条件（三）用向量的坐标表示向量平行的条件)()(2121bbbaaa，设设ba则则 ，可化为，可化为，)()()(212121bbbbaa11ba即即22ba探索新知探索新知 两式的两边分别乘以两式的两边分别乘以 得得，12bb2121bbba1212bbba- - 得：得：01221baba所以所以，)()(2121bbbaaa若向量若向量0/1221bababa则则例例5 解：解： 因为(1)(15)350， 判断下列两个向量是否平行：判断下列两个向量是否平行： ；，)155()31(ba，)30()02(fe 因为230060， fe所以 与 不平行所以 与 平行ab例例6 已知点已知点 A（- -2，- -1），点），点 B（0，4）和向量）和向量), 1 (ya ,/ aABa并且并且 求求 的纵坐标的纵坐标 y解：由已知条件得解：由已知条件得，)52()12()40(AB,/ aAB因为因为0251y25y所以所以解得：解得：例例7 已知点已知点 A（- -2，- -3），），B（0，1），），C(2，5)，求证：求证：A，B，C 三点共线三点共线证明：由已知条件得证明：由已知条件得，)42()32()10(ABACAB /因为因为，04482所以所以又因为线段又因为线段 AB 和线段和线段 AC 有公共点有公共点 A，所以所以 A，B，C 三点共线三点共线，)84()32()52(AC1.已知已知 , 并且并且),2(),4,3(yba,/ ba 求 y2.已知点已知点 A（-1，-3），），B（0，-1），），C(1，1)，求证：求证：A，B，C 三点共线三点共线1 1向量的直角坐标向量的直角坐标3 3用向量的坐标表示向量平行的条件用向量的坐标表示向量平行的条件),(212211aaeaeaa2 2向量的直角坐标运算向量的直角坐标运算两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差坐标的和与差. .数乘向量积的坐标等于数乘上向量相应坐标的积数乘向量积的坐标等于数乘上向量相应坐标的积.一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的相应坐标相应坐标，)()(2121bbbaaa若向量若向量0/1221bababa则则教材教材 P49，练习，练习 A 组第组第 1 题题 ； 第第 2 题题 ；教材教材 P51，练习，练习 A 组第组第 3 题题
