201309小学数学疑难问题辨析.ppt
L/O/G/O疑难问题辨析疑难问题辨析小学数学小学数学荆门市教研室荆门市教研室 李慧玲李慧玲20132013年年9 9月月2626日日数与代数问题No.01“0是自然数”引起的思考：1. 最小的一位数是0还是1？2. 0是最小的偶数吗？3. 0是合数吗？4. 自然数该怎样分类？5. 0和任意自然数互质吗？问题No.011.最小的一位数是1。位数计数法十进制计数法（遵循两个原则：位置制原则、满十进一原则）问题No.012. 0是偶数，但不是最小的。 根据偶数的定义判断，0是偶数。 偶数是基于整除定义的，整除概念考虑的是全部整数，包括负整数。因此，没有最小的偶数。同样，也没有最小的奇数。3. 0不是合数。 算术中有一个重要的结论，称为算术基本定理：每一个合数都可以分解成若干个素数（质数）的乘积，并且若不计次序，这种分解方式是唯一的。 若把0规定为合数，则破坏了这个结论，因为0不能分解成素数的乘积。 另外，规定0为合数，在数学上也没有其他方便的地方，因此，规定0不是合数。4. 自然数的分类三类：质数、合数、1。（原来） 质数、合数、既不是质数也不是合数（0和1）。（现在） 四类：质数、合数、0、1。（现在）这几种分类都正确，只是标准不同而已。因为所有非零自然数的约数都包含本身，且只有有限个约数，而0的约数不能是0，有无数多个约数，所以0可以单独归为一类。5. 0和任意自然数互质吗？ 互质的两个数只有公约数1, 0和正整数n的公约数至少包括1和n。 有教师认为：当n为1时，0和正整数n的公约数只有1，互质；当n为其他值时，0和正整数n不互质；不宜问0和0是否互质。 事实上，传统的“互质”定义是只对正整数而言的，将“互质”概念从正整数延伸到非零自然数无实质性意义。在小学阶段仍不讨论0与其他数的互质情况。 问题No.02解答概述 很显然，这个学生的回答并不符合教师的预设，但他能结合自己理解的分数的意义来涂色表示。教师应当让他充分表达自己涂色的理由和思路，并对其思维的独特性给予肯定。同时，教师应意识到学生的这种理解往往是基于生活的、原发的，还有待提炼，因此，应该追问：“纸的两面是不是一样大”、“你是把什么看做一个整体”、“你的方法与其他同学的方法有什么不同？有什么相同的地方”，将学生思考与探究的重点引导到对分数概念核心要素的理解上来。 启示：使用学习材料时要充分考虑学生的数学现实和思维特点，尽量用准确、精炼的语言，突出学习材料的数学属性，以免影响学生的思考方向。问题No.031.2的小数部分是0.2还是2？解答概述 人教版（2001年版）数学第八册第87页：“小数可以分成两部分：小数点左边是它的整数部分，小数点右边是它的小数部分。” 意见A:一个小数由整数部分、小数部分组成；小数部分即指小数部分的数值大小，且“小数部分整数部分”应该等于这个小数；1.2的小数部分是0.2。 意见B:一个小数应该包括小数点的“左边”（整数部分）、“右边”（小数部分）和小数点三部分；小数部分是对数字而言的，1.2的小数部分是“2”。 分歧：小数部分指的是数字还是数值？ 我们认为“小数部分”只是为了让学生理解小数的组成而采用的一个过渡性概念，只是起桥梁的作用，因此建议： （1）在教学中为避免产生歧义，提问时应指明是小数部分的数值还是数字； （2）针对本题，1.2的小数部分是0.2更合适些。整数部分体现了数值的大小，若小数部分也能体现数值的大小，更具一致性；将“小数部分”与“小数部分的数值”统一起来，简洁明了，不存在歧义，便于交流。否则，小数部分如何读也是个问题。问题No.04 用0、1、2组成的最大小数是20.1还是21.0？解答概述 部分教师认为21.0就是21，是整数，本题问的是最大的小数，因此不包括21。 问题的关键：21.0是整数还是小数？ 从小数意义的角度看，把单位“1”平均分成10份、100份、1000份表示这样的十分之几、百分之几、千分之几等的数（如0.1、0.36、0.854）都是小数。21.0中的0在十分位上，表示十分之零，虽然十分位上一个单位也没有，但0起到了占位的作用。 从小数结构的角度看，完全符合。 无论从哪个角度看，都不能认为可以化成整数的小数就不是小数，因此，本题的答案是21.0。问题No.05 这样的整合是否必要？ 在教学百分数时，经常有教师让学生用百分数表示“百里挑一”、“百发百中”、“十拿九稳”等。这样进行学科整合是否合理？解答概述 相当多的老师认为让学生用百分数表示成语的做法合情合理。 何谓合理？ 百里挑一、百发百中、十拿九稳等都是人们耳熟能详的的成语，通常用来描述事情成功的可能性，如百里挑一可以理解为从一百个人里挑出一个人来，用1%表示，这符合百分数“表示两个同类量的倍比关系”的意义，也能说明被挑中的人很优秀。从数学意义上看，这样的表示不存在知识性错误。 何谓合情？ 在学完百分数的意义后，让学生试着用百分数表示百里挑一、百发百中、十拿九稳，可以有效调节课堂气氛，这无异于给数学课蒙上了一层“朦胧柔和”的面纱，能促进学生争先恐后的去思考。 我们认为，调节课堂气氛无妨，但不能认为是学科整合。 第一，整合不是简单的“合并”、“拼凑”，必须有实质性的内容。 第二，整合的内容不能与学科知识相矛盾。 第三，调节课堂气氛后应进行适当的引导。问题No.06 从“平均分”的意义入手 有题为：“有12个苹果，要平均分到若干个盘子里，可以怎样分？” 多数学生说可以把12个苹果平均分到2个、3个、4个或6个盘子里。 有个学生说，可以分在1个盘子里。有学生说，放在一个盘子里根本没有分，所以不算。但生活中确有这样的放法，而且可以用121表示这种方法。将12个苹果都放在1个盘里，到底算不算一种分法，为什么？解答概述 认为算一种分法的理由有： 正如方程无解一样，没有分也是分法的一种； 若干个盘子的“若干个”是不定量，可以表示1个； 每一种分法都对应一个算式，此分法对应的算式是12112。 我们认为不算一种分法。“平均分”隐含“分成几部分”、“各部分一样多”。综观教材中涉及“平均分”的内容，都是至少分成2份。只有将苹果分成2盘或2盘以上才能比较是否一样多。 注意： 除法算式并不等于分法；生活中的“放法”不等于数学中的“分法”。 问题No.07 自然数比整数少吗？ 有人认为整数比自然数多出负整数这一部分，因此整数比自然数的个数多。您认为呢？解答概述 部分教师认为：根据一般比大小、长短、多少等经验，得出一个“公理”整体总是大于它的各部分。事实上，直观的比较，或在有限集合中比较，这个“公理”是成立的。 我们不妨来思考高一年级上册数学教材中的这样一个问题：解答概述 我们需意识到： 比较集合元素个数多少的方法不是用生活中比大小、长短、多少的直观方法，而是寻找两个集合元素中的一一对应关系； 一个有限集合确实不可能和它的真子集建立一一对应关系，但是无限集合可以和它的某些真子集建立一一对应关系。此时，我们认为该集合与它的这些真子集具有相同的基数，或称等势。 事实上，自然数集合（N）是整数集合（Z）的真子集，但它们的元素之间可以建立一一对应关系。 如： N： 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10， Z：0，1，1，2, 2，3, 3 ，4，4 以上从集合N到集合Z的一一对应关系可以表示为00, 2n 1 n, 2n n, 其中n是自然数。 因此，我们认为整数集合和自然数集合具有同样的基数，通俗的、不规范的说法就是整数与自然数的个数同样多。 需要特别引起教师注意的是：我们不能把与有限有关的知识随便延伸或迁移到与无限有关的领域。 如在有限个数之间运算，加法满足交换律和结合律，但如果是无限个数运算，加法就不满足交换律和结合律。不妨看个例子： s111 1 表示无限个1相加，利用结合律，可得到 s（11）（11） （11） ，继而可得s222 2 2 （111 1 ）。 同理，还可得sn（111 1 ），其中，n为任意正整数。因此，有 111 1 n（111 1 ），化简得： 1 n，其中，n为任意正整数。 这显然是错误的。问题No.08 近似值为6.89的三位小数是否包括6.890？解答概述 近似值是无法得到或无需得到准确值时，所取的接近准确值的数值。 有教师认为：6.8906.89，因此6.89不是6.890的近似值。我们认为，近似值为6.89的三位小数包括6.890，建议大家关注以下内容： 6.890是三位小数，用四舍五入法保留两位小数得到6.89，这个结果是近似值； 对准确值而言，可以谈是否相等，但一般不说两个近似值是否相等，也不说近似值与准确值是否相等； 如果6.89与6.890都是近似值，它们的精确度和有效数字都不同，不能根据小数性质认为它们相等； 准确数6.890一般写作6.89，并不是说6.890就不存在，即两位小数6.89和三位小数6.890都有其存在的合理性； 与近似值有关的问题，最好结合具体的问题情境讨论。 问题No.09 切莫见“约”就估算 有题为：“一袋黄豆约重89千克，74袋黄豆约重多少千克？” 列式8974后，应该精确计算还是估算？解答概述 小学生接触到的现实世界的数量可以分为两类： 第一类是与自然数对应的，如人数、课桌椅的张数等；第二类是与正实数对应的，如长度、重量、温度等，只能通过测量或计算得到。 第一类数量都是准确数，如某班有42人。但在一定的情境下，这些准确数也可以用整十、整百等近似数描述，如“某校大约有3000名学生”中的3000就是一个近似数。 所有测量数据都只可能接近测量对象的真实数据而无法完全一样，因此这类数据都是近似值，但在表达时可不强调“约”、“大约”等。“两个班大约有多少人”中的“大约”与“一袋黄豆约重89千克”中的“约”表达的意义不一样。 “两个班大约有多少人”中的“大约”与“一袋黄豆约重89千克”中的“约”表达的意义不一样。 在求“两个班大约有多少人”时，应估算。 而“约重89千克” 的“约”主要是针对测量总是存在误差这种现象而言，在解决问题过程中应视同准确数。即使没有“约”，每袋黄豆的重量也不可能正好都是89千克，74袋黄豆也不可能绝对一样重。 另外，估算是计算时处理数据的一种方法，主要是对计算本身而言的，而与已知数据是否是近似值关系不大。 所以，切不可以看到“大约”、“约”就估算，本题要精确计算。问题No.10 如何比较百分率？解答概述 类似求“A比B多几分之几（或百分之几）”的问题在小学数学中比较常见，且都是把B作为标准量，其求解模型为“（AB）B”。这种类型的问题及其求解模式对小学师生的影响很大。可以说见到这类题型，大家会产生条件反射。 讨论本题，应关注以下两方面： 一是模型的适应背景。综观所有小学教材，归纳出求“A比B多几分之几（或百分之几）”的背景中A、B都是表示具体的量，而不表示相对的率。因此，我们不能把这种在量背景下归纳出来的模型“理所当然”地迁移到率背景下。问题No.11 关注本质，淡化形式 六年制第九册（人教版2002年4月版）第102页：“在0.5、1.5、2.5、3.5、4这五个数中，哪个数是方程0.5x1.50.5的解？” 0.5x1.50.5的解是4，还是x4？ 解答概述 从“使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解”可知，说“4是方程0.5x1.50.5的解”应毫无争议。说“x4是原方程的解”也是对的。两者无本质的区别，只是表达方式不同，第二种说法比第一种说法更规范一些，也更利于和后续知识衔接。 小学接触的都是一元方程，只涉及一个未知数，说方程的解是4不会产生歧义。但初中学了二元方程后，必须指明各未知数的取值，表述为“x？， y?”。另外，在解方程0.5x1.50.5时，其解应写成“x4”。图形与几何问题No.12 左右的确定 当你确定一幅照片的左右时，是站在自己的角度还是以图中的人为参照来确定？ 解答概述 左右是一组相对概念，确定左右时，通常要考虑站在谁的角度来观察，以什么为中心。 当谈论某物的左右时，通常是站在说话者的角度，以谈论的某物为中心。如下图，我们一般说“圆的左边有3个三角形，右边有4个三角形”。 当我们谈论照片中某人的左右时，是以照片中的人为中心，但是站在谁的角度观察要视谈论的内容而定。 如果谈论的是照片中人物身体的一部分或与这个人密切相关的对象时，应站在相片中人物的角度观察，如照片中某人左手拿着什么，右手边有什么，等等。如下图中，“小孩（右）手放在嘴边”，“小猫抬的是（右）爪。” 如果谈论时把这个人作为一个整体，和照片中其他部分（含人物）比较，一般是从谈论者的角度观察，如下图，“孩子 的左边是妈妈”。目前，在各大纸质媒体中，涉及图片中人物的标注时，一般所说的“左三” 、“右二”等，都是属于这种情况。有观点认为：像这样判断照片中某人的左边或右边是谁时，以照片中的人或看照片的人为标准都是可以 的，如上图中，可以观察者的角度，说孩子 的左边是妈妈；也可以以孩子的角度，孩子的左边是奶奶。这种看法明显是受教材标注说话主体的情境影响（如图）。在这种标注情境中，一般是将图片情境化、动态演绎化的，相当于将静态的图片看成动态的剧本，让学生充当其中的某一角色，而不是简单的看图谈左右。我的左边是谁？问题No.13 天安门是轴对称图形吗？ 认为不是轴对称图形的老师主要持三种观点： 轴对称图形是指平面图形，天安门是实物，不能说天安门是对称图形。 从不同角度看到的天安门视图是不一样的，不能一概而论。 天安门上有标语，文字不对称，天安门正面图形也不是轴对称图形。如果可以不考虑天安门上的标语，那么也可以不考虑五星红旗上面的五角星，只考虑其长方形的外形，得到五星红旗也是轴对称图形。 解答概述 我们认为关于轴对称的教学要关注以下几方面： 数学课程标准及教材对“轴对称”的教学要求。作为一种基本的图形变换，其表现方式很多，如中心对称、轴对称、镜面对称等，其中轴对称、轴对称图形都是在平面图形的范围内研究的。“轴对称”的教学重点是判断直观的图形是否是轴对称图形，找出给定图形中的轴对称图形，画出轴对称图形的对称轴，而对“轴对称”的定义和性质不必作深入探讨。轴对称图形研究的是平面图形，不是实物，判断“是不是轴对称图形”应结合具体 图形进行。以人教版二年级上册第68页教材内容为例，教材中出现“蜻蜓”、“树叶”、“蝴蝶”、“脸谱”等都不是实物，而是经过一定加工后的图片。 因此，不宜问“天安门是不是轴对称图形”，也不宜脱离具体的图形问“天安门的图片是不是轴对称图形”，而应结合具体的天安门视图问“是不是轴对称图形”。呈现图形时，应处理好生活与数学的关系，并对生活原型进行一定的加工，即舍弃一些非本质属性，对“非标准”信息进行适当的“矫正”。如人教版二年级上册第68也出示的剪出来的雪松、心形和葫芦图：对非本质因素的判断应以是否影响事物本质为主。如五星红旗的没有五角星就不能称之五星红旗，故五角星是五星红旗的“本质因素”。而标语去掉后不影响人们对天安门的形象的理解，因此标语可看做“非本质”因素，可不予考虑。问题No.14 汽车行驶是平移吗？ 人教版二年级下册平移和旋转一课的教学中，大家碰到疑问：“汽车在路上行驶”是“平移”还是“旋转”？ 解答概述 教师们对这一问题的看法，主要有三种观点： 认为是“平移”，因为它是在直线方向上运动，大方向没有改变。 认为是“旋转”，原因在于车轮在行驶中一直在旋转，而路不一定是平的，有的坑坑洼洼，就没有直走。 认为“平移”“旋转”均可，只要学生说得有理就行。 什么是平移呢？我们来看看人教版数学教材七二年级下册的相关内容： 我们再来看看人教版数学教材七年级下册第五章第4小节的相关内容：平移变换不改变图形的形状、大小和方向平移前后两个图形是全等的。 汽车在公路上行驶，在现实中基本上不可能是平移现象，因为路的曲直、路面的凹凸、方向的左右等使得绝对的平移是不存在的。当考虑汽车在公路上是否是平移现象时，我们实际上是把汽车的行驶状态理想化了在绝对水平的公路上，沿笔直的方向，车子作为一个整体前进。 因此，判断汽车的运动是属于平移还是旋转时，我们要忽略一些非本质的因素，且把“在路上行驶的”汽车看做一个整体，既不考虑轮子的转动，也不考虑里面的物体是否滑动。从这个角度看，说汽车在路上行驶是平移现象更合情。统计与概率问题No.15 “我可能比你大”是可能事件吗？ 教师叫学生举出一些可能事件和必然事件。学生说“我可能比小明大”（小明是某同学的化名）。这属于可能事件吗？ 解答概述 虽然生活中，我们也经常用到“一定”、“可能”、“不可能”，但是这些生活化的表达与概率中对事件的判断“一定”、“可能”、“不可能”所表示的意义并不一样。 必然事件、可能性事件都是相对于随机事件而言的。因此随机事件中的“一定”是指尚未发生的事情必然发生，“不可能”指尚未发生的事情一定不会发生。 但生活中的“一定”、“不可能”常常只表示主观愿望的程度，如“我一定会考上大学”“你不可能完成这项工作”等。 概率中的“可能”用来描述即将发生的随机事件的发生情况，生活中的“可能”有时表示对已然事实的不确定性判断。如“我可能比你大”。 会用“一定”或“可能”说一句话理解了事件发生的确定性和不确定性。 对于某一客观事件来说，它发生的确定性和不确定性与个人的愿望无关。 综上所述，当课堂上学生说“我可能比小明大”时，“我”和小明的年龄都是已知的且不可变的，其比较结果也是确定的，因此，“我可能比小明大”不是“可能事件”，而只表示一种不确定性判断。问题No.16 不能僵化地运用统计量 人教版五年级下册第六章统计后练习二十四第2题： 甲、乙的平均数相等，都是9.5； 甲的众数是9.5，乙的众数是10。 解答概述 一致意见：甲、乙的平均成绩一样，无法通过比较平均数确定谁去。 分歧： 坚持用众数。甲的众数是9.5，乙的众数是10，说明乙“多数情况”比甲强。 反对用众数。甲运动员最少9.2环，最多10环；乙运动员最少8.3环，最多10环。虽然乙的众数大，但甲运动员发挥明显比乙更稳定，因此应该派甲去。 其实，统计量只是供人们解决问题时的参考指标，并不具备绝对意义，不能僵化地运用。 我们认为比赛除了实力，还要讲求策略： 9.4及以上，甲8次，乙7次，且甲稳定。如果对手的多数成绩不到9.5，甲去更合适。 9.5及以上，甲乙各7次，且乙高于9.5的次数多。如果对手的多数成绩在9.5左右，乙去更合适。 9.6及以上，甲2次，乙6次。如果对手的多数成绩达到9.6及以上，乙去更合适。 当然，这些也只是针对对手的多数成绩而言的，具体问题还得具体分析。 本题重点不是让学生选出结果，而是让学生对数据进行计算和分析，说出自己的理由，发展统计意识和统计思想。问题No.17 和必须为100% 某地考试有这样一题： 六年级（1）班有43名同学，期末考试成绩有10人优秀、26人良好、7人合格。请用扇形统计图表示该班学生的成绩。 结果多数学生的扇形图中出现“优秀率23.3%”、“良好率60.5%” 、“合格率16.3%”等信息。 扇形统计图中各部分的百分率能超过100%吗？出现这种情况该怎么办？解答概述 我们的意见： 坚持扇形统计图各部分之和为100%。请看教材暗示（六上107页、109页）： 我们的意见： 寻找有效地解决问题的策略： 一是求最后一部分时，不用部分数比总数，而是用100%依次减去其他各部分的百分比。 二是当该“舍”或该“入”时，通过比较确定哪些该“舍”或该“入” 。 问题No.18 寻求学生能接受的方法 有这样一题： 5个奖券中有2个一等奖、3个二等奖。甲、乙两人依次抽奖。有学生坚持认为：“甲先抽时，里面有2个一等奖，所以抽到一等奖的可能性更大。” 该如何让学生接受“甲、乙抽到一等奖的可能性都是2/5？ 解答概述 条件概率的计算方法： 甲抽中一等奖的可能性是2/5，没抽中一等奖的可能性是3/5。 如果甲抽中一等奖，那么乙抽中一等奖的可能性就是1/4；如果甲没抽中一等奖，那么乙抽中一等奖的可能性是2/4，因此，乙抽中一等奖的可能性是： 2/51/4+3/52/42/5。 策略： 引发冲突。 操作验证。 分析证明。 把一等奖的奖券记为A1、A2；把二等奖的奖券记为B1、B2、B3，甲、乙抽到的奖券记为（甲、乙），则（甲、乙）共有20中情况： （A1，A2）（A1，B1）（A1，B2）（A1，B3） （A2，A1）（A2，B1）（A2，B2）（A2，B3） （B1，A1）（B1，A2）（B1，B2）（B1，B3） （B2，A1）（B2，A2）（B2，B1）（B2，B3） （B3，A1）（B3，A2）（B3，B1）（B3，B2）问题No.19 极大概率未必一定 “世界上每天都有人出生”是必然事件吗？怎样帮学生理解呢？ 解答概述 随机事件应呈现以下三个特点： 可以在相同的条件下重复进行试验； 其结果具有多种可能性； 在每次实验前不能预言将出现哪一种结果，但知道所有可能出现的结果。问题No.20 断了一小截的粉笔还能算一根粉笔吗？ L/O/G/OThank you!
