六年级下册数学竞赛试题-巧解“中国剩余定理”（无答案）.doc

巧解“中国剩余定理” 凑“多”相同，即把余数处理成相同（条件：余数与除数的和相同） 凑“缺”相同，即把余数处理成缺的数字相同（条件：除数与余数的差相同） 逐步满足法：先满足条件一，得N，再用“M=N+已满足除数公倍数”来满足下一个条件我国古代的孙子算经中有这样一道题：“今有物不知其数，凡三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”这个问题及其解法，在世界数学史上是十分有名的。中外数学家将这道题的解法称之为“孙子定理”或“中国剩余定理”。题意：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合条件的最小整数。人们总结出了解答这类问题的一般方法，并编成口诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知。意思：三个三个数，余数乘70，五个五个数，余数乘21，七个七个数，余数乘15，把三个乘积加起来减去105（105为3、5、7的最小公倍数）的倍数就是要求的数。70×2+21×3+15×2=233233-105×2=2323就是最适合条件的最小的数。这种类型的题目在小学数学各种竞赛中曾多次出现，一些小学数学课外书中也有专门的讲解，但方法大都高于小学生现有的接受水平，有些老师在课外辅导时遇到这样的题目，也觉得不太好将。其实，这种类型的题目完全可以用学生现有的数学知识来解答。以上题为例，如果我们假设物体的总数减少2，则问题就变为：有一对物体，总数能够被3整除，能够被7整除，除以5余1，求这堆物体最少有多少？据题意，我们可以在3和7的公倍数中除以5余1的数：3和7公倍数21426384除以5余1×××最少：21+2=23个【难题点拨1】一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合条件的最小整数。 【点拨】我们假设给这个数减少 ，求适合条件的最小数。【想一想 做一做】1、有一个数，被3除余2，被4除余2，被5除余3，这个数最小是多少？2、一个自然数被3除余2，被5除余1，被7除余5，求满足这个条件的最小自然数。3、一个自然数被3除余1，被5除余3，被7除余5，求满足这个条件的最小自然数。【难题点拨2】篮子里有鸡蛋若干个，每次取出3个，最后剩1个，每次取出5个，最后剩2个，每次取出7个，最后剩3个。问：篮子里至少有多少个鸡蛋？在上面的解答过程中，我们都是假设总数减少了多少，使减少后的数能被其中的两个数整除，被第三个数除余几，然后在前两个数的公倍数中找能够满足被第三个数除余几的数。思考：假设总数增加多少，是增加后的数能够被其中的两个数整除，被第三个数除余几，然后在前两个数的公倍数中找能够满足被第三个数除余几的数。【想一想 做一做】1、王大妈的篮子里有若干个鸡蛋，如果2个2个地取，最后剩下1个，如果3个3个的取，最后还剩1个，如果4个4个的取，最后剩下3个。王大妈的这篮鸡蛋里最少有多少个?2、今有物不知其数，九九数之，八八数之，七七数之，三三数之，二二数之皆余一，问：物至少几何？3、一盒围棋子，7个7个的数，多2个，8个8个的数，多4个，9个9个的数，多2个。这盒围棋子最少多少个？【难题点拨3】一个自然数被7、8、9除的余数分别是1、2、3，并且三个商的和是570，求这个自然数。【点拨】给这个自然数增加6，那么这个自然数就分别是7、8、9的倍数，这个自然数除以7、8、9的商分别是8×9的n倍，7×8的n倍，7×9的n倍，三个商的和（8×9+7×8+7×9）×n应该大于570，所以：（8×9+7×8+7×9）×n570 191×n570n2（取自然数）7、8、9三个数的最小公倍数是504，所以这个自然数就是504×（2+1）-6=1506【想一想 做一做】1、自然数n被7、8、9除所得的结果余数分别是1、2、3，并且三个商的和是761，那么n是多少？2、一个自然数被3、4、5除，余数分别是2、3、4，并且三个商的和是138，求这个自然数。【看你能摘几颗】1、一个数被3除余1，被5除余2，被7除余3，求满足条件的最小自然数。2、一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合条件的最小自然数。3、用一个非0自然数去除另外一个证书，商为40，余数是16，被除数、除数、商与余数的和是933，求被除数和除数各是多少？4、一个自然数除以8余1，所得到的商除以8也余1，然后把第二次所得的商再除以8，发现商为a，余数为7。若开始时，这个自然数除以17则余4，将得到的商再除以17，发现此时得到的商是a的2倍，并且最后的余数是15。那么这个自然数是多少？