2022年最新华师版八年级数学第19章矩形菱形与正方形教案 .pdf

第 19章 矩形、菱形与正方形19.1 矩形1.矩形的性质【知识与技能】了解矩形的有关概念，理解并掌握矩形的有关性质【过程与方法】经过探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理意识,掌握几何思维方法【情感态度】培养严谨的推理能力以及自主合作精神；体会逻辑推理的思维价值【教学重点】掌握矩形的性质，并学会应用【教学难点】理解矩形的特殊性一、情境导入 ,初步认识收集有关长方形的图片，让学生进行感性认识，引入新课矩形. 【教学说明】让学生体会到数学来源于生活，找到数学的价值. 二、思考探究，获取新知探究：矩形的性质1思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察.不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？（演示拉动过程如图）2再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 29 页【归纳结论】矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形 )3.让学生观察教师的教具，研究其变化情况，可以发现：矩形是平行四边形的特例，属于平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质.思考矩形还具有哪些特殊的性质？为什么？【教学说明】采用观察、操作、交流、演绎的方法来解决重点，突破难点. 【归纳结论】矩形性质1 矩形的四个角都是直角矩形性质 2 矩形的对角线相等4.矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？【教学说明】引导学生尽可能多的发现结论，养成善于观察的好习惯. 三、运用新知，深化理解1.已知： 如图， 矩形 ABCD 的两条对角线相交于点O， AOB=60， AB=4cm，求矩形对角线的长分析：因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等且互相平分的特殊性质，根据矩形的这个特性和已知，可得OAB 是等边三角形，因此对角线的长度可求解：四边形 ABCD 是矩形，AC 与 BD 相等且互相平分OA=OB又 AOB=60，OAB 是等边三角形OA=AB=4cm. 矩形的对角线长AC=BD=2OA=2 4=8（cm）2.已知：如图，矩形ABCD，AB 长 8cm，对角线比 AD 边长 4cm求 AD的长及点 A 到 BD 的距离 AE 的长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 29 页分析：（ 1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质， 而此题利用方程的思想， 解决直角三角形中的计算， 这是几何计算题中常用的方法解：设 AD=xcm，则对角线 BP 长（x+4）cm，在 RtABD 中，由勾股定理：x2+82=(x+4)2，解得 x=6则 AD=6cm“直角三角形斜边上的高” 是一个基本条件， 利用面积公式， 可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式：AEDB=AD AB，解得 AE=4.8cm3.已知： 如图，矩形 ABCD 中， E 是 BC 上一点，DFAE 于 F， 若 AE=BC 求证：CE=EF分析： CE、EF 分别是 BC，AE 等线段上的一部分，若AF=BE，则问题解决，而证明 AF=BE，只要证明 ABEDFA 即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形证明：四边形 ABCD 是矩形，B=90，且 ADBC1=2DFAE， AFD=90B=AFD又 AD=AE ，ABEDFA（AAS）AF=BEEF=EC此题还可以连接 DE，证明 DEFDEC，得到 EF=EC【教学说明】给予学生足够的时间，让学生先独立思考后，小组合作，由不同学生表述自己的不同思路，展示不同的方法.使学生能做一题会一类，熟知矩形中的基本图形 . 4.若矩形一个角的平分线分一边为4cm 和 3cm 的两部分，则矩形的周长为22 或 20cm分析：本题需分两种情况解答精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 29 页即矩形的一个角的平分线分一边为4cm 和 3cm，或者矩形的角平分线分一边为 3cm 和 4cm当矩形的一个角的平分线分一边为4cm 和 3cm 时， 矩形的周长为 2 （3+4）+24=22cm；当矩形的角平分线分一边为3cm 和 4cm 时，矩形的周长为 2（3+4）+23=20cm解：分两种情况当矩形的一个角的平分线分一边为4cm 和 3cm 时， 矩形的周长为 2 （3+4）+24=22cm；当矩形的角平分线分一边为3cm 和 4cm 时，矩形的周长为 2（3+4）+23=20cm【教学说明】 本题考查的是基本的矩形性质，学生需要注意的是分两种情况作答即可 . 四、师生互动，课堂小结1.师生回顾矩形的性质 . 2.通过本节课的学习你还有哪些疑惑？请与同伴交流. 1.布置作业 :教材 P101练习. 2.完成同步练习册中本课时的练习. 本节课以“平行四边形变形为矩形的过程”的演示引入课题， 将学生视线集中在数学图形上， 思维集中在数学思考上， 更好地突出了观察的对象， 使学生容易把握问题的本质 .真实、自然、和谐，体现了数学学习的内在需要，加强了学生对知识之间的理解和把握，形成了和本质相关的认知结构. 2.矩形的判定【知识与技能】1.理解并掌握矩形的判定方法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 29 页2.使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力 . 【过程与方法】通过探索矩形判定的过程， 培养学生实验探索的意识； 形成几何分析思路和方法. 【情感态度】培养推理能力，会根据需要选择有关的结论证明，体会来自于实践的需要. 【教学重点】理解并掌握矩形的判定方法及其证明，掌握判定的应用. 【教学难点】定理的证明方法及运用 . 一、情境导入 ,初步认识1什么叫做平行四边形？什么叫做矩形？2矩形有哪些性质？3矩形与平行四边形有什么共同之处？有什么不同之处？【教学说明】通过这些问题，教师可以检查学生学习的情况. 4事例引入：小华想要做一个矩形相框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形相框吗？看看谁的方法可行？【教学说明】事例引入，激发学生的兴趣. 二、思考探究，获取新知1.矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论，并与同伴交流. 【归纳结论】有三个角是直角的四边形是矩形. 2.动手操作：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 29 页思考： (1)随着的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？(2)当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？你能证明吗？【教学说明】让学生动脑思考，动手操作.为下面的学习做好知识上的准备；【归纳结论】对角线相等的平行四边形是矩形三、运用新知，深化理解1._ 的平行四边形是矩形 . _ 的四边形是矩形 . 2.下列说法正确的是（）A.一组对边平行且相等的四边形是矩形B.一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形C.对角线互相垂直的平行四边形是矩形D.一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形分析：矩形的判定定理有：（1）对角线相等的平行四边形是矩形（2）有三个角是直角的四边形是矩形；据此判断解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A 错误；B、一组对边平行且相等有一个是直角的四边形是矩形，也有可能为梯形,故 B 错误；C、对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”），故 C 错误；D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故D 正确【教学说明】学生口答展示第1、2 道题，训练学生的语言表达能力，3.如图所示， ABCD 的四个内角的平分线分别相交于E，F，G，H，试说明四边形 EFGH 是矩形解： HAB+ HBA=90H=90同理可求得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 29 页HEF=F=FGH=90四边形 EFGH 是矩形4.（一题多解题）如图所示，ABC 为等腰三角形， AB=AC ，CDAB 于D，P 为 BC 上的一点，过 P 点分别作 PEAB，PFCA，垂足分别为E，F，则有 PE+PF=CD，你能说明为什么吗？解法一：能如图所示，过P 点作 PHDC，垂足为 H, 可得四边形 PHDE 是矩形PE=DH，PHBD HPC=B 又AB=AC B=ACB HPC=FCP又PC=CP，PHC=CFP=90PHCCFP PF=HC DH+HC=PE+PF 即：DC=PE+PF解法二：能延长EP，过 C 点作 CHEP，垂足为 H，如图所示，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 29 页可得四边形 HEDC 是矩形EH=PE+PH=DC，CHAB HCP=BPHCPFC PH=PF PE+PF=DC【教学说明】到黑板展示第3、4 道题，有多种证明方法的题目学生口答展示，教师予以总结 .既训练了学生的语言表达能力，也训练了学生的书写能力和分析问题的能力 . 四、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾矩形有哪些判定定理？2.通过本节课的学习你还有哪些疑惑？请与同伴交流. 1.布置作业 :教材“习题 19.1”中的第 1、2、3、5 题. 2.完成本课时对应练习 . 本节课用逻辑推理的方法对以前曾用直观感知，操作说明而得到的矩形判定进行重新研究，让学生充分感受到逻辑推理是研究几何的重要方法.尽可能地提供多种机会让学生自己去理解、感悟、体验，从而加深学生对数学的认识，激发学生的数学兴趣，提高学生的数学水平. 19.2 菱形1.菱形的性质【知识与技能】理解菱形的概念，掌握菱形的性质【过程与方法】经过探索菱形的性质和基本概念的过程，在操作、观察、分析过程中培养学生思维意识，体会几何说理的基本方法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 29 页【情感态度】培养学生主动探究的习惯和严密的思维意识、审美观、价值观【教学重点】理解并掌握菱形的性质【教学难点】形成合情推理的能力一、情境导入 ,初步认识分四人小组， 先在组内交流自己收集的有关菱形的图片，实物等然后进行全班性交流引入定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形【教学说明】认识菱形，感受菱形的生活价值二、思考探究，获取新知教师拿出平行四边形木框（可活动的），操作给学生看，让学生体会到：平移平行四边形的一条边， 使它与相邻的一条边相等， 可以得到一个菱形， 说明菱形也是平行四边形的特例，因此，菱形也具有平行四边形的所有性质【教学说明】通过教师的教具操作感受菱形的定义如图：将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，再打开. 思考： 1.这是一个什么样的图形呢？2.有几条对称轴？3.对称轴之间有什么位置关系？4.菱形中有哪些相等的线段？【教学说明】 充分地应用直观学具的制作， 发现菱形所具有的性质， 激发课堂学习的热情【归纳结论】菱形具有平行四边形的一切性质，另外，菱形的四条边相等、对角线互相垂直 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 29 页三、运用新知，深化理解1.如图，菱形 ABCD 中，AB=15，ADC=120，则 B、D 两点之间的距离为（A）A15B1523 C7.5D153 【教学说明】本题考查有一个角是60的菱形，有一条对角线等于菱形的边长2.如图所示，在菱形ABCD 中， ABC=60，DEAC 且 DE 交 BC 的延长线于点 E求证： DE=12BE分析：由四边形 ABCD 是菱形，ABC=60，易得 BDAC，DBC=30 ，又由 DEAC， 即可证得 DEBD， 由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得 DE=12BE证明：方法一：如下图，连接BD，四边形 ABCD 是菱形， ABC=60，BDAC，DBC=30，DEAC，DEBD，即 BDE=90，DE=12BE方法二：四边形ABCD 是菱形， ABC=60，ADBC，AC=AD ，ACDE，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 29 页四边形 ACED 是菱形，DE=CE=AC=AD ，又四边形 ABCD 是菱形，AD=AB=BC=CD ，BC=EC=DE，即 C 为 BE 中点，DE=BC=12BE【教学说明】 此题考查了菱形的性质， 直角三角形的性质等知识 此题难度不大，注意数形结合思想的应用3.如图，在菱形 ABCD 中， A=60，AB=4，O 为对角线 BD 的中点，过O 点作 OEAB，垂足为 E（1）求 ABD 的度数；（2）求线段 BE 的长分析：（ 1）根据菱形的四条边都相等，又A=60，得到 ABD 是等边三角形， ABD 是 60；（2）先求出 OB 的长和 BOE 的度数，再根据 30角所对的直角边等于斜边的一半即可求出解：（ 1）在菱形 ABCD 中，AB=AD ，A=60，ABD 为等边三角形，ABD=60；（2）由（ 1）可知 BD=AB=4 ，又O 为 BD 的中点，OB=2，又OEAB，及 ABD=60，BOE=30，BE=1【教学说明】本题利用等边三角形的判定和直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半求解， 需要熟练掌握 学生自主完成， 对有一定难度可相互交精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 29 页流，最后由教师总结 . 四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结，教师作以补充. 1.布置作业 :教材 P113“练习”2.完成本课时对应练习 . 在本节课中， 重在经历探索菱形性质的过程，在操作活动和观察分析过程中发展学生的主动审美意识， 进一步体会和理解说理的基本步骤，了解菱形的现实应用和常用方法 . 2.菱形的判定【知识与技能】1.理解并掌握菱形的定义及两个判定方法. 2.会用菱形的两个判定方法进行有关的论证和计算. 【过程与方法】经历探索菱形判定思想的过程， 领会菱形的概念以及应用方法，发展学生主动探究的思想和说理的能力. 【情感态度】培养良好的思维意识以及合情推理的能力，感悟其应用价值及培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力【教学重点】菱形的两个判定方法【教学难点】判定方法的证明方法及运用一、情境导入 ,初步认识精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 29 页回顾：（1）菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形；（2）菱形的性质：性质1 菱形的四条边都相等；性质 2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；（3）运用菱形的定义进行菱形的判定，应具备几个条件？（判定：2 个条件）【教学说明】通过对菱形的性质复习回顾，让学生养成勤复习的习惯.温故而知新 . 二、思考探究，获取新知1.试一试 . 如图作一个四条边都相等的四边形. 步骤：(1)画两条相等的线段AB、AD；(2)分别以点 B 和点 D 为圆心， AB 长为半径画弧，两条相交于点C；(3)连结 BC、CD，即得一个四条边都相等的四边形ABCD. 观察你所画的图形，它是菱形吗？你能证明你的结论吗？【归纳结论】菱形判定方法1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形注意此方法包括两个条件：（ 1）是一个平行四边形；（ 2）两条对角线互相垂直【教学说明】首先教师活动让学生观察， 而后让学生自己动手亲自体验活动，从而猜想出结论来 . 已知：在 ABCD 中，ACBD 求证：ABCD 是菱形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 29 页数学语言 : 四边形 ABCD 是平行四边形， ACBD; ABCD 是菱形. 2.画一画如图，作一个两条对角线互相垂直的平行四边形. 步骤：(1)作两条互相垂直的直线m,n，记交点为点 O；(2)以点 O 为圆心、适当长为半径画弧，在直线m 上截取相等的两条线段OA、OC；(3)以点 O 为圆心，另一适当长为半径画弧，在直线上截取相等的两条线段OB、OD；(4)连结 A,B,C,D 四点，即得到一个对角线互相垂直且平分的四边形ABCD，显然，它是一个对角线互相垂直的平行四边形. 和你的同伴交流一下，看看它是否也是一个菱形. 思考：四边形 ABCD 是什么四边形？你能证明吗？【归纳结论】菱形的判定方法2：四条边相等的四边形是菱形. 数学语言 : 在四边形 ABCD 中, AB=BC=CD=DA 四边形 ABCD 是菱形 . 【教学说明】让学生自己动手亲自体验活动,从而猜想出结论来并进行证明.从而加深印象 . 三、运用新知，深化理解1.如图，在菱形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是菱形四边的中点，连结EG与 FH 交于点 O，则图中的菱形共有（ B）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 29 页A4 个 B5 个C6 个 D7 个2.下列说法正确的是（ B）A对角线互相垂直且相等的四边形是菱形B对角线互相垂直的平行四边形是菱形C对角线互相平分且相等的四边形是菱形D对角线相等的四边形是菱形3.已知：如图ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边AD、 BC 分别交于 E、F求证：四边形 AFCE 是菱形证明：四边形 ABCD 是平行四边形，AEFC1=2又AOE=COF，AO=CO，AOECOFEO=FO四边形 AFCE 是平行四边形又EFAC，AFCE 是菱形 (对角线互相垂直的平行四边形是菱形)4.如图，在 ABC 中， BAC=90，ADBC 于 D，CE 平分 ACB，交AD 于 G，交 AB 于 E，EFBC 于 F，求证：四边形AEFG 是菱形；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 29 页证明： CE 平分 ACB，EACA，EFBC，AE=FE，1=2，AECFEC，AC=FC，CG=CG，ACGFCG，5=7=B，GFAE，ADBC，EFBC，AGEF，AG=GF（或 AE=EF），四边形 AGFE 是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）【教学说明】 让学生先独立完成， 而后将不会的问题各小组交流讨论得出结果.让学生养成从题目中找解题信息，从图形中找解决问题的突破口. 四、师生互动，课堂小结1.师生回顾判定一个四边形是菱形的方法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形2.通过本节课的学习，你还有哪些疑惑？请与同伴交流. 1.布置作业 :教材“习题 19.2”中第 2、3、4 题. 2.完成本课时对应练习 . 本节课让学生动手操作， 不仅可以调动学生的积极性， 而且通过动手做一做，然后再说一说的过程，巩固了菱形的判定.只有这样，才能使学生在今后的学习中有更严密的思维，使他们的抽象概括能力有更好的提升. 19.3 正方形【知识与技能】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 29 页1.掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别. 【过程与方法】经历探索正方形有关性质、判定重要条件的过程.在观察中寻求新知，在探索中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法. 【情感态度】通过正方形与平行四边形、 矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力【教学重点】正方形的判定方法 . 【教学难点】正方形的判定方法 . 一、情境导入 ,初步认识1.在我们的生活中，除了平行四边形、矩形、菱形外，还有什么特殊的平行四边形呢？2.出示正方形图片，学生观察它们有什么共同特征？【教学说明】学生回答后，再举例.使学生感受生活中到处存在数学，激发其学习热情 . 【归纳结论】 有一组邻边相等， 并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 二、思考探究，获取新知1.正方形是我们熟悉的图形，它是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？2.正方形有哪些性质？正方形可以看成哪些图形？【归纳结论】正方形的四个角都是直角，四条边相等.正方形的对角线相等且互相垂直平分 . 正方形可以看成是：有一个角是直角的菱形；有一组邻边相等的矩形. 3.议一议：平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地说明吗？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 29 页【教学说明】小组交流，引导学生从角、对角线的角度归纳总结.使学生感受变化过程，更清晰地了解各种四边形之间的联系与区别. 三、运用新知，深化理解1.如图，ABC 是一个等腰直角三角形， DEFG 是其内接正方形， H 是正方形的对角线交点； 那么，由图中的线段所构成的三角形中相互全等的三角形的对数为（）A.12B.13 C.26D.30 分析：根据全等三角形的判定可以确定全等三角形的对数，由于图中全等三角形的对数较多，可以根据斜边长的不同确定对数，可以做到不重不漏解：设 AB=3，图中所有三角形均为等腰直角三角形，其中，斜边长为1 的有 5 个，它们组成 10 对全等三角形；斜边长为2 的有 6 个，它们组成 15 对全等三角形；斜边长为2 的有 2 个，它们组成 1 对全等三角形；共计26 对故选 C2.已知正方形 ABCD 在直角坐标系内，点A（0，1），点 B（0，0），则点C，D 坐标分别为 _和_（只写一组）分析：首先根据正方形ABCD 的点 A（0，1），点 B（0，0），在坐标系内找出这两点，根据正方形各边相等，从而可以确定C，D 的坐标解：正方形 ABCD 的点 A（0，1），点 B（0，0），ADx 轴，CDy 轴，这样画出正方形，即可得出C 与 D 的坐标，分别为：C（1，0），D（1，1）或 C(-1,0),D(-1,1).(写其中一组即可 ) 3.如图，点 E、F 分别在正方形 ABCD 的边 DC、BC 上，AGEF，垂足为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 29 页G，且 AG=AB ，求 EAF 度数. 分析：根据角平分线的判定，可得出ABF AGF，故有BAF=GAF，再证明 AGEADE ，有 GAE=DAE；所以可求 EAF=45解：在 RtABF 与 RtAGF 中，AB=AG ，AF=AF，B=AGF=90，ABFAGF（HL），BAF=GAF，同理易得： AGE ADE，有GAE=DAE；即EAF=EAG+FAG=12DAG+12BAG=12DAB=45，故EAF=45 . 4.如图， 正方形 ABCD 中， AB=3， 点 E、 F 分别在 BC、 CD 上， 且BAE=30 ，DAF=15（1）求证： DF+BE=EF；（2）求 EFC 的度数；分析：（ 1）延长 EB 至 G，使 BG=DF，连接 AG利用正方形的性质，证明ABGADF， FAEGAE，得出 DF+BE=EF；（2）根据 AGEAFE 及角之间的关系从而求得EFC 的度数；解：（ 1）延长 EB 至 G，使 BG=DF，连结 AG 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 29 页正方形 ABCD ，AB=AD ，ABG=ADF=BAD=90，BG=DF，ABGADF，AG=AF ，GAB=DAF. BAE=30， DAF=15，FAE=GAE=45，AE=AE，FAEGAE，EF=EG=GB+BE=DF+BE；（2） AGEAFE，AFE=AGE=75，DFA=90-DAF=75，EFC=180-DFA-AFE=180-75-75=30，EFC=30 5.已知：如图， D 是ABC 的 BC 边上的中点， DEAC，DFAB，垂足分别是 E、F.且 BF=CE. （1）求证： ABC 是等腰三角形；（2） 当A=90时，试判断四边形 AFDE 是怎样的四边形， 证明你的结论分析：先利用 HL 判定 RtBDFRtCDE，从而得到 B=C，即ABC是等腰三角形；由已知可证明它是矩形， 因为有一组邻边相等即可得到四边形AFDE 是正方形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 29 页（1）证明： DEAC，DFAB，BFD=CED=90，又BD=CD，BF=CE，RtBDFRtCDE，B=C故ABC 是等腰三角形；（2）解：四边形 AFDE 是正方形证明： A=90，DEAC，DFAB，四边形 AFDE 是矩形，又RtBDFRtCDE，DF=DE，四边形 AFDE 是正方形6.如图，已知平行四边形ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，E 是 BD 延长线上的点，且 ACE 是等边三角形（1）求证：四边形 ABCD 是菱形；（2）若 AED=2EAD，求证：四边形 ABCD 是正方形分析： （1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形由题意易得 AO=OC.又 AEC 是等边三角形 .BEAC，四边形 ABCD 是菱形；（2）根据有一个角是90的菱形是正方形由题意易得ADO=DAE+DEA=15+30=45，四边形 ABCD 是菱形， BAD=2DAO=90，四边形 ABCD 是正方形证明：（ 1）四边形 ABCD 是平行四边形，AO=COACE 是等边三角形，EOAC（三线合一）四边形 ABCD 是菱形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 29 页（2）从上易得： AOE 是直角三角形，AED+EAO=90ACE 是等边三角形，EAO=60，AED=30AED=2EAD EAD=15，DAO=EAO- EAD=45四边形 ABCD 是菱形BAD=2DAO=90平行四边形 ABCD 是正方形【教学说明】由学生独立完成以培养学生的独立意识. 四、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾正方形有哪些性质？2.师生共同回顾正方形有哪些判定定理？3.通过本节课的学习，你还有哪些疑惑？请与同伴交流. 1.布置作业 :教材“习题 19.3”中第 1、2、3 题. 2.完成本课时对应练习 . 本课虽然是学习正方形的性质和判定，实际上也是对平行四边形、 矩形、菱形的复习、归纳和总结，培养了学生的发散思维能力.前边已经学习了平行四边形、矩形、菱形的判定方法，正方形的判定是平行四边形、矩形、菱形的判定的综合.可以通过本节的学习，总结、归纳前面所学内容，弄清学习中存在的一些模糊概念，有助于我们发展演绎推理能力. 本章复习【知识与技能】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 29 页熟练掌握平行四边形的定义， 平行四边形的性质及判定定理，并运用它们进行有关的证明和计算【过程与方法】引导学生通过练习回忆已学过的知识，提高逻辑思维能力、 合情推理能力和归纳概括能力，训练思维的灵活性，领悟数学思想【情感态度】在整理知识点的过程中培养学生的独立思考习惯，让学生找到解决特殊平行四边形问题的一般方法 ,并感受成功【教学重点】使学生能熟练运用特殊平行四边形的性质、判定定理【教学难点】构造平行四边形解决问题一、知识结构【教学说明】 引导学生回顾本章知识点， 使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系二、释疑解惑，加深理解1.矩形的性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等2.矩形的判定：对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 29 页3.菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质，另外，菱形的四条边相等、对角线互相垂直 . 4.菱形的判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形 . 5.正方形的性质：正方形的四个角都是直角，四条边相等；正方形的对角线相等且互相垂直平分 . 6.正方形的判定：对角线相等的菱形是正方形； 对角线垂直的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形叫做正方形. 【教学说明】让学生对知识进行回忆，进一步体会特殊平行四边形的性质、判定. 三、典例精析，复习新知1.矩形的一条较短边的长为5cm，两条对角线的夹角为60，则它的对角线的长等于 10cm2.已知菱形的锐角是60，边长是 20cm，则较长的对角线是20 3 cm3.如图， E 是正方形ABCD 内一点，如果ABE 为等边三角形，那么DCE=15 度第 3 题图第 4 题图4.如图，周长为 68 的矩形 ABCD 被分成 7 个大小完全一样的小矩形，则矩形 ABCD 的面积为（ C）A.98B.196 C.280D.248 分析：设小长方形的长、宽分别为x、y，根据周长为 68 的矩形 ABCD ，可以列出方程4x+7y=68；根据图示可以列出方程2x=5y，联立两个方程组成方程组，解方程组就可以求出矩形ABCD 的面积解：设小长方形的长、宽分别为x、y，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 29 页依题意得476825xyxy解之得104xy则矩形 ABCD 的面积为 7104=280故选 C. 5.如图，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，APBD，DPAC，AP、 DP 相交于点 P，则四边形 AODP 是什么样的特殊四边形， 并说明你的理由分析：由APBD，DPAC 先判断四边形AODP 是平行四边形，再由AO=DO 判断四边形 AODP 为菱形解：四边形 AODP 是菱形，理由如下：APBD，DPAC，四边形 AODP 是平行四边形又矩形的对角线互相平分且相等，得 AO=DO，由菱形的判定得四边形AODP 为菱形6.如图所示，有两条笔直的公路BD 和 EF（宽度不计），从一块矩形的土地ABCD 中穿过，已知 EF 是 BD 的垂直平分线， BD=40 米，EF=30米，求四边形BEDF 的面积分析：连结 DE、BF，因为四边形ABCD 是矩形，所以ABCD，进而求证 DF=BE，再求证 FD=FB，即可判定四边形 BFDE 是菱形，根据菱形面积计算公式即可计算菱形BFDE 的面积解：如图，连接 DE、BF，四边形 ABCD 是矩形，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 29 页ABCD，ODF=OBE，由 EF垂直平分 BD，得 OD=OB，DOF=BOE=90，DOF BOE，故 DF=BE，四边形 BEDF 是平行四边形，又EF是 BD 的垂直平分线，四边形 BFDE 是菱形，S菱形BFDE=12EFBD=123040=600（m2）7.如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6 个颜色不同的正方形组成，设中间最小的一个正方形边长为1，求这个矩形色块图的面积分析：因为矩形内都是正方形， 正方形的各边长相等， 又有中间小正方形的边长为 1，可利用边长之间的关系建立等式解：DF-AE=1，AE=BE+1，2CF-DF=1 DF=AE+1，AE=CF+1+1，DF=CF+3，2CF-CF-3=1，解得 CF=4，BE=5，AE=6，AB=11，BC=13 S=ABBC=1113=143【教学说明】 通过上面的解题分析， 再对整个学习过程进行总结， 能够促进理解，提高认识水平，从而促进数学观点的形成和发展. 四、复习训练，巩固提高1.矩形的两条对角线的夹角为60，一条对角线与短边的和为15cm，则短边的边长为 5cm精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 29 页分析：本题首先求证由两条对角线的夹角为60的角为等边三角形，易求出短边边长2.已知：如图，在矩形 ABCD 中，CEBD，E 为垂足， DCE：ECB=3：1，则 ACE=45 度分析：根据矩形的性质首先求出DCE， ECB 的度数然后利用三角形内角和定理求解即可3.如图， E 是正方形 ABCD 的边 BC 延长线上一点，且CE=AC，AE 交 CD于点 F，则 E=22.5度分析 ： 由 于 正 方 形 的 对 角 线 平 分 一 组 对 角， 那 么 ACB=45 ， 即ACE=135 ，在等腰 CAE 中，已知了顶角的度数，即可由三角形内角和定理求得 E 的度数【教学说明】让学生先独立完成， 而后不会的问题各小组交流讨论得出结果.养成学以致用的好习惯 . 4.如图，以 ABC 的三边为边，在 BC 的同侧分别作三个等边三角形，即ABD、 BCE、ACF，请回答下列问题，并说明理由（1）四边形 ADEF 是什么四边形；（2）当 ABC 满足什么条件时，四边形ADEF 是矩形；分析：（1）四边形 ADEF 是平行四边形根据 ABD ，EBC 都是等边三角形，容易得到全等条件证明 DBEABC，然后利用全等三角形的性质和平行四边形的判定可以证明四边形ADEF 是平行四边形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 29 页（2）若四边形ADEF 是矩形，则 DAF=90，然后根据已知可以得到BAC=150解：（ 1）四边形 ADEF 是平行四边形理由：ABD，EBC 都是等边三角形AD=BD=AB ，BC=BE=EC DBA= EBC=60DBE+EBA=ABC+EBADBE=ABC在DBE 和ABC 中BD=BA DBE=ABC BE=BC，DBEABCDE=AC又 ACF 是等边三角形，AC=AFDE=AF同理可证： AD=EF，四边形 ADEF 是平行四边形（2）四边形 ADEF 是矩形，FAD=90BAC=360-DAF-DAB- FAC=360-90-60-60=150BAC=150时，四边形 ADEF 是矩形五、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想， 而后以小组为单位派代表进行总结，教师作以补充. 【教学说明】归纳平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定，体验事物之间的联系与区别 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 29 页1.布置作业 :教材“复习题”中第6、7、9、10、13、15题. 2.完成本课时对应练习 . 通过本节课的复习，归纳矩形、菱形、正方形的性质和判定，使学生体验事物之间的联系与区别 .从而加强对新知识的应用与理解. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 29 页