2022年最新人教版七年级数学上册总复习知识点汇总 .pdf

名师总结优秀知识点七年级数学上册知识点第一章有理数1.1 正数与负数1.正数和负数的概念正数：大于0 的数叫正数。 （根据需要，有时在正数前面也加上“+”）负数：在以前学过的0 以外的数前面加上负号“”的数叫负数。与正数具有相反意义。0 既不是正数也不是负数。0 是正数和负数的分界，是唯一的中性数。注意 ：字母 a 可以表示任意数，当a 表示正数时， -a 是负数；当a 表示负数时， -a 是正数；当a表示 0 时， -a 仍是 0。 （如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如 +a,-a 就不能做出简单判断）正数有时也可以在前面加“+” ，有时“ +”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。2. 具有相反意义的量若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：零上 8表示为： +8；零下8表示为： -8 3.0 表示的意义0 表示“没有” ，如教室里有0 个人，就是说教室里没有人；0 是正数和负数的分界线，0 既不是正数，也不是负数。如：（3） 0 表示一个确切的量。如：0以及有些题目中的基准，比如以海平面为基准，则0 米就表示海平面。注意：搞清相反意义的量：南北；东西；上下；左右；上升下降；高低；增长减少等1.2 有理数有理数1. 有理数的概念正整数、 0、负整数统称为整数（0 和正整数统称为自然数）正分数和负分数统称为分数正整数， 0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。理解 ：只有能化成分数的数才是有理数。是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。3，整数也能化成分数，也是有理数注意 ：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8也是偶数， -1,-3,-5也是奇数。2. 有理数的分类按有理数的意义分类按正、负来分正整数正整数整数0 正有理数负整数正分数有理数有理数0（0 不能忽视）正分数负整数分数负有理数负分数负分数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 17 页名师总结优秀知识点总结：正整数、0 统称为非负整数（也叫自然数）负整数、 0 统称为非正整数正有理数、0 统称为非负有理数负有理数、0 统称为非正有理数数轴数轴的概念规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。注意 ：数轴是一条向两端无限延伸的直线；原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；同一数轴上的单位长度要统一；数轴的三要素都是根据实际需要规定的。 2. 数轴上的点与有理数的关系所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0 用原点表示。所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点不是有理数）3. 利用数轴表示两数大小在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。4. 数轴上特殊的最大（小）数最小的自然数是0，无最大的自然数；最小的正整数是1，无最大的正整数；最大的负整数是-1 ，无最小的负整数5.a 可以表示什么数a0 表示 a 是正数；反之，a 是正数，则a0；a0 表示 a 是负数；反之，a 是负数，则a0 时， -a0（正数的相反数是负数）当 a0（负数的相反数是正数）当 a=0 时， -a=0， （0 的相反数是0）绝对值绝对值的几何定义一般地，数轴上表示数 a 的点与 原点 的距离叫做a 的绝对值，记作|a| 。2. 绝对值的代数定义一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是0. 可用字母表示为：如果 a0，那么 |a|=a ；如果 a0，那么 |a|=-a ；如果 a=0，那么 |a|=0 。可归纳为：a0， |a|=a （非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。）a0， |a|=-a （非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。）经典考题如数轴所示，化简下列各数 |a|, |b| , |c| , |a-b|, |a-c| , |b+c| 解：由题知道，因为a0 ，b0，c0, a-c0, b+c0，所以|a|=a ,|b|=-b, |c|=-c ,|a-b|=a-b , |a-c|=a-c ,|b+c|=-(b+c)=-b-c 3. 绝对值的性质任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以，a 取任何有理数，都有|a| 0。即 0 的绝对值是0；绝对值是0 的数是 0. 即： a=0 |a|=0；一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0. 即： |a| 0；任何数的绝对值都不小于原数。即：|a| a；绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若|x|=a （a0） ，则 x=a；互为相反数的两数的绝对值相等。即：|-a|=|a|或若 a+b=0，则 |a|=|b|；绝对值相等的两数相等或互为相反数。即：|a|=|b|，则 a=b 或 a=-b；若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0。即 |a|+|b|=0，则 a=0 且 b=0。（非负数的常用性质：若几个非负数的和为0，则有且只有这几个非负数同时为0）经典考题已知|a+3|+|2b-2|+|c-1|=0,求 a+b+c 的值解：因为 |a+3|0，|2b-2| 0，|c-1|0，且|a+3|+|2b-2|+|c-1|=0 所以|a+3|=0 ，|2b-2|=0 ，|c-1|=0 即 a=-3 ,b=1 ,c=1 所以 a+b+c=-3+1+1=-1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 17 页名师总结优秀知识点4. 有理数大小的比较利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。5. 绝对值的化简当 a 0 时， |a|=a ；当 a0 时， |a|=-a 6. 已知一个数的绝对值，求这个数一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点到原点的距离，一般地，绝对值为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为0 的数是 0，没有绝对值为负数的数。如： |a|=5 ，则 a=土 5 1.3 有理数的加减法有理数的加减法1. 有理数的加法法则同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两数相加，和为零；一个数与零相加，仍得这个数。2. 有理数加法的运算律加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：互为相反数的两个数先相加“相反数结合法”；符号相同的两个数先相加“同号结合法”；分母相同的数先相加“同分母结合法”；几个数相加得到整数，先相加“凑整法”；整数与整数、小数与小数相加“同形结合法”。3. 加法性质一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加0 后的和等于原数。即：当 b0 时， a+ba 当 b0 时， a+ba 当 b=0 时， a+b=a 4. 有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为：a-b=a+(-b)。5. 有理数加减法统一成加法的意义在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算。在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。如：(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5. 和式的读法：按这个式子表示的意义读作“负8、负 7、负 6、正 5 的和”按运算意义读作“负8 减 7 减 6 加 5”6. 有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧：. 把符号相同的加数相结合（同号结合法）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 17 页名师总结优秀知识点 (-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23) 原式 =-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23) （将减法转换成加法）=-33+18-15-1+23 （省略加号和括号）=(-33-15-1)+(18+23) （把符号相同的加数相结合）=-49+41 （运用加法法则一进行运算）=-8 （运用加法法则二进行运算）. 把和为整数的加数相结合（凑整法） (+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8) 原式 =(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8) （将减法转换成加法）=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8 （省略加号和括号）=(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8 （把和为整数的加数相结合）=4-10+3.8 （运用加法法则进行运算）=7.8-10 （把符号相同的加数相结合，并进行运算）=-2.2 （得出结论）. 把分母相同或便于通分的加数相结合（同分母结合法）-53-21+43-52+21-87原式 =(-53-52)+(-21+21)+(+43-87) =-1+0-81=-181. 既有小数又有分数的运算要统一后再结合（先统一后结合） (+0.125)-(-343)+(-381)-(-1032)-(+1.25) 原式 =(+81)+(+343)+(-381)+(+1032)+(-141) =81+343-381+1032-141=(343-141)+(81-381)+1032=221-3+1032=-3+1361=1061. 把带分数拆分后再结合（先拆分后结合）-351+10116-12221+4157精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 17 页名师总结优秀知识点原式 =(-3+10-12+4)+(-51+157)+(116-221) =-1+154+2211=-1+308+3015-307. 分组结合2-3-4+5+6-7-8+9+66-67-68+69 原式 =(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+(66-67-68+69) =0 . 先拆项后结合（1+3+5+7 +99）- （2+4+6+8+100）有理数加法法则：1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。2、绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。3、一个数同0 相加，仍得这个数。加法的交换律和结合律有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。1.4 有理数的乘除法1. 有理数的乘法法则法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（ “同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三）法则二：任何数同0 相乘，都得0；法则三：几个不是0 的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；法则四：几个数相乘，如果其中有因数为0, 则积等于0. 2. 倒数乘积是 1 的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为aa1=1（a0） ，就是说 a 和a1互为倒数，即a 是a1的倒数，a1是 a 的倒数。注意 ： 0 没有倒数；求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置；正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。（求一个数的倒数，不改变这个数的性质）；倒数等于它本身的数是1 或-1, 不包括 0。3. 有理数的乘法运算律乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即ab=ba 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 17 页名师总结优秀知识点乘法结合律： 三个数相乘， 先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。 即(ab)c=a(bc). 乘法分配律：一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加。即 a(b+c)=ab+ac 4.有理数的除法法则（1）除以一个不等0 的数，等于乘以这个数的倒数。（2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0 除以任何一个不等于0 的数，都得0 5.有理数的乘除混合运算（1）乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。（2）有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照先乘除，后加减的顺序进行。有理数的乘方1.乘方的概念求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方， 乘方的结果叫做幂。在na中，a 叫做底数， n 叫做指数。2.乘方的性质（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。（2）正数的任何次幂都是正数，0 的任何正整数次幂都是0。有理数的混合运算做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：1.先乘方，再乘除，最后加减；2.同级运算，从左到右进行；3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。科学记数法把一个大于10 的数表示成na10的形式（其中101a， n 是正整数），这种记数法是科学记数法。从一个数的左边第一个非0 数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字。四舍五入遵从精确到哪一位就从这一位的下一位开始，而不是从数字的末尾往前四舍五入。比如：3.5449 精确到 0.01 就是 3.54 而不是 3.55. 第二章整式的加减2.1 整式1、单项式：由数字和字母乘积组成的式子。系数，单项式的次数. 单项式指的是数或字母的积的代数式单独一个数或一个字母也是单项式因此，判断代数式是否是单项式，关键要看代数式中数与字母是否是乘积关系，即分母中不含有字母，若式子中含有加、减运算关系，其也不是单项式2、单项式的系数：是指单项式中的数字因数；3、单项数的次数：是指单项式中所有字母的指数的和4、 多项式：几个单项式的和。 判断代数式是否是多项式，关键要看代数式中的每一项是否是单项式每个单项式称项，常数项，多项式的次数就是多项式中次数最高的次数。多项式的次数是指多项式里次数最高项的次数，这里是次数最高项，其次数是6；多项式的项是指在多项式中，每一个单项式特别注意多项式的项包括它前面的性质符号常数项的次数为0。5、 它们都是用字母表示数或列式表示数量关系。注意单项式和多项式的每一项都包括它前面的符号。6、单项式和多项式统称为整式。注意：分母上含有字母的不是整式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 17 页名师总结优秀知识点代数式书写规范：数与字母、字母与字母中的乘号可以省略不写或用“”表示，并把数字放到字母前；出现除式时，用分数表示；带分数与字母相乘时，带分数要化成假分数；若运算结果为加减的式子，当后面有单位时，要用括号把整个式子括起来。2.2 整式的加减1、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。与字母前面的系数（0）无关。2、同类项必须同时满足两个条件：（1）所含字母相同；（2）相同字母的次数相同，二者缺一不可 同类项与系数大小、字母的排列顺序无关3、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项。可以运用交换律，结合律和分配律。合并同类项的步骤： （1）准确的找出同类项； （2）运用加法交换律，把同类项交换位置后结合在一起； （3）利用法则，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变；（4）写出合并后的结果。4、合并同类项法则：合并同类项后， 所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变；5、去括号法则：去括号，看符号：是正号，不变号；是负号，全变号。6、整式加减的一般步骤：一去、二找、三合（1）如果遇到括号按去括号法则先去括号. （2）结合同类项 . （3）合并同类项第三章一元一次方程3.1 一元一次方程1、方程是含有未知数的等式。2、方程都只含有一个未知数（元）x，未知数 x 的指数都是1（次） ，这样的方程叫做一元一次方程。注意：判断一个方程是否是一元一次方程要抓住三点：1）未知数所在的式子是整式（方程是整式方程）；2）化简后方程中只含有一个未知数；3）经整理后方程中未知数的次数是1. 一般形式： ax+b= 0(a0) 注意 ：未知数在分母中时，它的次数不能看成是1 次。如xx31，它不是一元一次方程。3、解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解。4、等式的性质：1）等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；2）等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0 的数，结果仍相等。注意：运用性质时，一定要注意等号两边都要同时变；运用性质2 时，一定要注意0 这个数 . 3.2 、3.3 解一元一次方程在实际解方程的过程中，以下步骤不一定完全用上，有些步骤还需重复使用. 因此在解方程时还要注意以下几点：去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母的项；分子是一个整体，去分母后应加上括号；去分母与分母化整是两个概念，不能混淆；去括号：遵从先去小括号，再去中括号，最后去大括号；不要漏乘括号的项；不要弄错符号；移项：把含有未知数的项移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边（移项要变符号）移项要变号；注意：移项时要跨越“=”号，移过的项一定要变号。合并同类项：不要丢项，解方程是同解变形，每一步都是一个方程，不能像计算或化简题那样写能连等的形式；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 17 页名师总结优秀知识点系数化为1：:字母及其指数不变系数化成1，在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解。不要分子、分母搞颠倒。3.4 实际问题与一元一次方程一概念梳理列一元一次方程解决实际问题的一般步骤是：审题，特别注意关键的字和词的意义，弄清相关数量关系；设出未知数（注意单位）；根据相等关系列出方程；解这个方程； 检验并写出答案 （包括单位名称） 。一些固定模型中的等量关系及典型例题参照一元一次方程应用题专练学案。二、思想方法（本单元常用到的数学思想方法小结）建模思想：通过对实际问题中的数量关系的分析，抽象成数学模型，建立一元一次方程的思想. 方程思想：用方程解决实际问题的思想就是方程思想. 化归思想：解一元一次方程的过程，实质上就是利用去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1 等各种同解变形，不断地用新的更简单的方程来代替原来的方程，最后逐步把方程转化为x=a 的形式 . 体现了化 “ 未知 ” 为“ 已知 ” 的化归思想 . 数形结合思想：在列方程解决问题时，借助于线段示意图和图表等来分析数量关系，使问题中的数量关系很直观地展示出来，体现了数形结合的优越性. 分类思想：在解含字母系数的方程和含绝对值符号的方程过程中往往需要分类讨论，在解有关方案设计的实际问题的过程中往往也要注意分类思想在过程中的运用. 三、数学思想方法的学习1. 解一元一次方程时，要明确每一步过程都作什么变形，应该注意什么问题. 2. 寻找实际问题的数量关系时，要善于借助直观分析法，如表格法，直线分析法和图示分析法等. 3. 列方程解应用题的检验包括两个方面：检验求得的结果是不是方程的解；是要判断方程的解是否符合题目中的实际意义. 实际问题的常见类型：行程问题：路程=时间速度，时间=速度路程，速度 =时间路程（单位：路程米、千米；时间秒、分、时；速度米秒、米分、千米小时）工程问题：工作总量=工作时间工作效率，工作总量=各部分工作量的和利润问题：利润=售价 -进价，利润率 =进价利润，售价 =标价（ 1-折扣）等积变形问题：长方体的体积=长宽高；圆柱的体积=底面积高；锻造前的体积=锻造后的体积利息问题：本息和=本金 +利息；利息 =本金利率四、一元一次方程典型例题例 1. 已知方程2xm3+3x=5 是一元一次方程，则m= . 解： 由一元一次方程的定义可知m 3=1，解得 m=4.或 m3=0，解得 m=3 所以 m=4 或 m=3 警示：很多同学做到这种题型时就想到指数是1， 从而写成m=1，这里一定要注意x 的指数是 （m3）. 例 2. 已知2x是方程ax2（ 2a3）x+5=0 的解，求a 的值 . 解： x=2 是方程 ax2（ 2a 3）x+5=0 的解将 x=2 代入方程，得a （ 2）2（ 2a3） （ 2）+5=0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 17 页名师总结优秀知识点化简，得4a+4a6+5=0 a=81点拨： 要想解决这道题目，应该从方程的解的定义入手，方程的解就是使方程左右两边值相等的未知数的值，这样把x=2 代入方程，然后再解关于a 的一元一次方程就可以了. 例 3. 解方程 2（x+1） 3（4x 3）=9（ 1x）. 解： 去括号，得2x+212x+9=9 9x，移项，得2+99=12x2x9x. 合并同类项，得2=x，即 x=2. 点拨： 此题的一般解法是去括号后将所有的未知项移到方程的左边，已知项移到方程的右边，其实，我们在去括号后发现所有的未知项移到方程的左边合并同类项后系数不为正，为了减少计算的难度，我们可以根据等式的对称性，把所有的未知项移到右边去，已知项移到方程的左边，最后再写成 x=a 的形式 . 例 4. 解方程175321416181x. 解析： 方程两边乘以8，再移项合并同类项，得1 113516 42x同样，方程两边乘以6，再移项合并同类项，得113142x方程两边乘以4，再移项合并同类项，得112x方程两边乘以2，再移项合并同类项，得x=3. 说明： 解方程时，遇到多重括号，一般的方法是从里往外或从外往里运用乘法的分配律逐层去特号，而本题最简捷的方法却不是这样，是通过方程两边分别乘以一个数，达到去分母和去括号的目的。例 5. 解方程41.550.81.20.50.20.1xxx. 解析： 方程可以化为(41.5)2(50.8)5(1.2) 100.520.250.1 10 xxx整理，得2(41.5)5(50.8)10(1.2)xxx去括号移项合并同类项，得7x=11，所以 x=117. 说明： 一见到此方程，许多同学立即想到老师介绍的方法，那就是把分母化成整数，即各分数分子分母都乘以10，再设法去分母，其实，仔细观察这个方程，我们可以将分母化成整数与去分母两步一步到位，第一个分数分子分母都乘以2，第二个分数分子分母都乘以5，第三个分数分子分母都乘以 10. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 17 页名师总结优秀知识点例 6. 解方程1.6122030 xxxx解析： 原方程可化为1.23344 556xxxx方程即为1.23344556xxxxxxxx所以有1.26xx再来解之，就能很快得到答案：x=3. 知识链接： 此题如果直接去分母，或者通分，数字较大，运算烦琐，发现分母6=23，12=34，20=4 5，30=5 6，联系到我们小学曾做过这样的分式化简题，故采用拆项法解之比较简便. 例 7. 参加某保险公司的医疗保险，住院治疗的病人可享受分段报销，?保险公司制度的报销细则如下表，某人今年住院治疗后得到保险公司报销的金额是1260 元， 那么此人的实际医疗费是（）住院医疗费（元）报销率（%）不超过 500 的部分0 超过 5001000 的部分60 超过 10003000 的部分80 A. 2600 元B. 2200 元C. 2575 元D. 2525 元解析： 设此人的实际医疗费为x 元，根据题意列方程，得500 0+500 60%+（x500 500） 80%=1260. 解之，得x=2200，即此人的实际医疗费是2200 元. 故选 B. 点拨： 解答本题首先要弄清题意，读懂图表，从中应理解医疗费是分段计算累加求和而得的. 因为 500 60%12602000 80%，所以可知判断此人的医疗费用应按第一档至第三档累加计算. 例 8. 我市某县城为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每月用水不超过 7 立方米，则按每立方米1 元收费；若每月用水超过7 立方米，则超过部分按每立方米2 元收费. 如果某户居民今年5 月缴纳了 17 元水费，那么这户居民今年5 月的用水量为_立方米 . 解析： 由于 1 717，所以该户居民今年5 月的用水量超标. 设这户居民5 月的用水量为x 立方米，可得方程：7 1+2（x7）=17，解得 x=12. 所以，这户居民5 月的用水量为12 立方米 . 例 9. 足球比赛的记分规则为：胜一场得3 分，平一场得1分，输一场得0 分，一支足球队在某个赛季中共需比赛14 场，现已比赛了8 场，输了1 场，得 17 分，请问：前 8 场比赛中，这支球队共胜了多少场？这支球队打满14 场比赛，最高能得多少分？通过对比赛情况的分析，这支球队打满14 场比赛，得分不低于29 分，就可以达到预期的目标，请你分析一下，在后面的6场比赛中，这支球队至少要胜几场，才能达到预期目标？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 17 页名师总结优秀知识点解析： 设这个球队胜了x 场，则平了（ 8 1x）场，根据题意，得：3x+（81x）=17. 解得 x=5. 所以，前8场比赛中，这个球队共胜了5场. 打满 14 场比赛最高能得17+（148） 3=35 分. 由题意知，以后的6 场比赛中，只要得分不低于12 分即可 . 胜不少于4 场，一定能达到预期目标. 而胜了 3 场，平 3 场，正好达到预期目标. 所以在以后的比赛中，这个球队至少要胜3 场. 例 10. 国家为了鼓励青少年成才，特别是贫困家庭的孩子能上得起大学，设置了教育储蓄，其优惠在于，目前暂不征收利息税. 为了准备小雷5 年后上大学的学费6000 元，他的父母现在就参加了教育储蓄，小雷和他父母讨论了以下两种方案：先存一个2 年期， 2 年后将本息和再转存一个3 年期；直接存入一个5 年期 . 你认为以上两种方案，哪种开始存入的本金较少? 教育储蓄（整存整取）年利率一年：2. 25%；二年： 2. 27%；三年： 3. 24%；五年： 3. 60%. 解析： 了解储蓄的有关知识，掌握利息的计算方法，是解决这类问题的关键，对于此题，我们可以设小雷父母开始存入x 元. 然后分别计算两种方案哪种开始存入的本金较少. 2 年后，本息和为x（1+2. 70% 2）=1. 054x；再存 3 年后，本息和要达到6000 元，则 1. 054x（1+3. 24% 3）=6000. 解得x5188. 按第二种方案，可得方程x（1+3. 60% 5）=6000. 解得x5085. 所以，按他们讨论的第二种方案，开始存入的本金比较少. 例 11. 扬子江药业集团生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图所示. 如果长方体盒子的长比宽多 4cm，求这种药品包装盒的体积. 分析： 从展开图上的数据可以看出，展开图中两高与两宽和为14cm，所以一个宽与一个高的和为 7cm， 如果设这种药品包装盒的宽为xcm， 则高为（7x） cm，因为长比宽多4cm， 所以长为 （x+4）cm，根据展开图可知一个长与两个高的和为13cm，由此可列出方程. 解： 设这种药品包装盒的宽为xcm，则高为（ 7x）cm，长为（ x+4）cm. 根据题意，得（x+4）+2（ 7x）=13，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 17 页名师总结优秀知识点解得x=5，所以 7x=2，x+4=9. 故长为 9cm，宽为 5cm，高为 2cm. 所以这种药品包装盒的体积为：9 5 2=90（cm3）. 例 12. 某石油进口国这个月的石油进口量比上个月减少了5%，由于国际油价上涨，这个月进口石油的费用反而比上个月增加了14%. 求这个月的石油价格相对上个月的增长率. 解： 设这个月的石油价格相对上个月的增长率为x. 根据题意得（ 1x） （ 15%）=114% 解得 x=20% 答： 这个月的石油价格相对上个月的增长率为20%. 点评： 本题是一道增长率的应用题. 本月的进口石油的费用等于上个月的费用加上增加的费用，也就是本月的石油进口量乘以本月的价格. 设出未知数，分别表示出每一个数量，列出方程进行求解. 列方程解应用题的关键是找对等量关系，然用代数式表示出其中的量，列方程解答. 例 13. 某市参加省初中数学竞赛的选手平均分数为78 分，其中参赛的男选手比女选手多50%，而女选手的平均分比男选手的平均分数高10%，那么女选手的平均分数为_. 解析： 总平均分数和参赛选手的人数及其得分有关. 因此， 必须增设男选手或女选手的人数为辅助未知数 . 不妨设男选手的平均分数为x 分，女选手的人数为a 人，那么女选手的平均分数为1. 1x分，男选手的人数为1. 5a 人，从而可列出方程1.51.1781.5a xx aaa，解得 x=75 ，所以 1. 1x=82. 5. 即女选手的平均分数为82. 5 分. 第四章几何图形初步4.1 几何图形1、几何图形：从形形色色的物体外形中得到的图形叫做几何图形。2、立体图形：这些几何图形的各部分不都在同一个平面内。3、平面图形：这些几何图形的各部分都在同一个平面内。4、虽然立体图形与平面图形是两类不同的几何图形，但它们是互相联系的。立体图形中某些部分是平面图形。5、三视图：从左面看，从正面看，从上面看6、展开图： 有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形。这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。3、生活中的立体图形圆柱柱体棱柱：三棱柱、四棱柱（长方体、正方体）、五棱柱、生活中的立体图形球体(按名称分 ) 圆锥椎体棱锥、几何体简称体；包围着体的是面；面面相交形成线；线线相交形成点；点无大小，线、面有曲直；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 17 页名师总结优秀知识点几何图形都是由点、线、面、体组成的；点动成线，线动成面，面动成体；点：是组成几何图形的基本元素。4、棱柱及其有关概念：棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线，都叫做棱。侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱。n 棱柱有两个底面，n 个侧面，共（n+2）个面； 3n 条棱， n 条侧棱； 2n 个顶点。棱柱的所有侧棱长都相等，棱柱的上下两个底面是相同的多边形，直棱柱的侧面是长方形。棱柱的侧面有可能是长方形，也有可能是平行四边形。5、正方体的平面展开图：11 种6、截一个正方体：用一个平面去截一个正方体，截出的面可能是三角形，四边形，五边形，六边形。7、三视图物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。主视图：从正面看到的图，叫做主视图。左视图：从左面看到的图，叫做左视图。俯视图：从上面看到的图，叫做俯视图。平面图形的认识线段，射线，直线名称不同点联系共同点延伸性端点数线段不能延伸2 线段向一方延长就成射线，向两方延长就成直线都是直的线射线只能向一方延伸1 直线可向两方无限延伸无点、直线、射线和线段的表示在几何里，我们常用字母表示图形。一个点可以用一个大写字母表示，如点A 一条直线可以用一个小写字母表示或用直线上两个点的大写字母表示，如直线l,或者直线AB 一条射线可以用一个小写字母表示或用端点和射线上另一点来表示（端点字母写在前面），如射线 l,射线 AB 一条线段可以用一个小写字母表示或用它的端点的两个大写字母来表示，如线段l,线段 AB 点和直线的位置关系有两种：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 17 页名师总结优秀知识点点在直线上，或者说直线经过这个点。点在直线外，或者说直线不经过这个点。线段的性质（1）线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短。（2）两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。（3）线段的中点到两端点的距离相等。（ 4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。（5）线段的比较：1. 目测法 2. 叠合法 3. 度量法线段的中点：点 M 把线段 AB 分成相等的两条相等的线段AM 与 BM ，点 M 叫做线段AB 的中点。M 是线段 AB 的中点AM=BM=21AB （或者 AB=2AM=2BM）直线的性质（1）直线公理：经过两个点有且只有一条直线。（2）过一点的直线有无数条。（3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。（4）直线上有无穷多个点。（5）两条不同的直线至多有一个公共点。角： 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边。或：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的。平角和周角： 一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所形成的角叫做平角。终边继续旋转，当它又和始边重合时，所形成的角叫做周角。角的表示：用数字表示单独的角，如1， 2， 3 等。用小写的希腊字母表示单独的一个角，如 ， ， ， 等。用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如B， C 等。用三个大写英文字母表示任一个角，如BAD ， BAE， CAE 等。注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。用一副三角板， 可以画出15，30，45，60，75，90，105，120，135，150，165角的度量角的度量有如下规定：把一个平角180 等分，每一份就是1 度的角，单位是度，用“”表示，1 度记作“ 1” ，n 度记作“ n” 。把 1的角 60 等分，每一份叫做1 分的角， 1 分记作“ 1 ” 。把 1 的角 60 等分，每一份叫做1 秒的角， 1 秒记作“ 1” ” 。角的性质（1）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。（2）角的大小可以度量，可以比较M A B 1=60 ，1 =60”精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 17 页名师总结优秀知识点aAB（3）角可以参与运算。角的平分线从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。OB 平分 AOC AOB= BOC=21AOC （或者 AOC=2 AOB=2 BOC）余角和补角如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角。用数学语言表示为如果+=90，那么 与 互余；反过来，如果与 互余，那么 + =90如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。用数学语言表示为如果+=180，那么 与 互补； 反过来如果 与 互补， 那么+=180同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。4.2 直线、射线、线段1、直线公理：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。即：两点确定一条直线。2、当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点。3、把一条线段分成相等的两条线段的点，叫做这条线段的中点。4、线段公理：两点的所有连线中，线段做短（两点之间，线段最短）。5、连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。6、直线的表示方法：如图的直线可记作直线或记作直线（ 1）用几何语言描述右面的图形，我们