2022年“数的整除”易错题集锦 .pdf

学习必备欢迎下载“数的整除”易错题集锦一. 填空(1)100 以内 14 的倍数有 ( ),21的倍数有 ( ) 它们的公倍数有( ),14 和 21 的最小公倍数是( ). (2)8 和 9 的最大公约数是( ),最小公倍数是 ( ). (3)18 和 54 的最大公约数是( ),最小公倍数是( ). (4) 三个质数的最小公倍数是105, 这三个数是 ( ),( ),( ). (5) 自然数 a 和 b, 若 ab=4, 那么 a 与 b 的最小公倍数是( ). (6)A=2 335;B=2 23 511, 那么 A与 B的最小公倍数是( ). (7) 如果 a,b 两数是互质数 , 那么它们的最大公约数是( ),最小公倍数是 ( ). (8) 如果甲数能被乙数整除, 甲, 乙两数的最大公约数是( ). (9)2 和 5 的公倍数特点是( ),2和 5 的最小公倍数是( ). (10)11 和 15 的最大公约数是( ).最小公倍数是 ( ). (11)48 和 16 的最大公约数是( ),最小公倍数是 ( ). (12)3,7和 10 的最大公约数是( ),最小公倍数是 ( ). (13)7,21和 42 的最大公约数是( ),最小公倍数是( ). 二. 判断下面各题 . 正确的在 ( ) 里画 , 错误的在 ( ) 里画 . (1) 如果两个数互质, 那么它们没有公约数和最大公约数( ). (2) 两个不同的质数一定是互质数.( ) (3) 两个合数一定不是互质数.( ) (4) 互质的两个数一定都是质数.( ) (5) 互质的两个数的乘积是它们的最小公倍数.( ) (6) 两个自然数的积, 一定是这两个数的公倍数.( ) (7) 两个数的公约数一定比这两个数都小.( ) (8) 两个数的积 ,一定是这两个数的最小公倍数.( ) 三. 选择 . 将正确答案的题号写在括号内(1) 自然数 a 除以自然数b, 商是 5, 那么 a 和 b 的最小公倍数是( ). a b 5b (1) 若 a,b,c都是自然数 ,a b=c, 那么 ( ). a 是 b 和 c 的最大公约数 . a 是 b 和 c 的最小公倍数 . b 是 c 和 a 的最大公约数 . a 是 a,b,c的最小公倍数 . b 和 c 都是 a 的约数 . b 是 a 和 b 的最大公约数 . 四. 实际应用1. 从四月一日开始, 小明的妈妈每4天休息一天 , 他的爸爸每6天休息一天 , 等爸爸妈妈全休息时, 全家一起去公园玩, 那么最早要到几日小明全家才能一起去玩分析 : 小明爸爸和妈妈全都休息的时间既是4 的倍数 , 也是 6 的倍数 , 也就是 4 和 6 的公倍数 .题目中要求最早全家到公园去玩, 因此爸爸 , 妈妈的共同休息日应该是4 和 6 的最小公倍数. 解:4, 6=12 答: 最早要到4月 12 日小明全家才能到公园玩. 2. 人民公园是1 路,3 路,8 路汽车的起点站.1 路汽车每3 分钟发一辆车 ,3 路汽车每5 分钟发一辆车 ,8 路汽车每 6分钟发一辆车 .1,3,8路汽车在 8 时 55 分同时各出发一辆汽车后, 求下一次这三路汽车又在同一时刻发车是几时几分. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载分析 : 解答此题的关键, 是要先求出这三路汽车从8 时 55 分同时各发出一辆汽车后, 到下一次又在同一时刻发车, 经过多少时间 , 显然 , 经过的时间应该是3,5,6的最小公倍数. 解:3,5,6=30 8时 55 分+30 分=9 时 25 分答: 下一次这三路汽车又在同一时刻发车的时间是9 时 25 分. 3. 一种长方形的木板条,长 64 厘米 , 宽 40 厘米 , 用这样的木板条拼成一个正方形, 至少需长方形木板多少板分析 : 解答此题的关键是要先求出正方形木板的边长. 由于长方形木条不能横截或竖截, 所以正方形的边长应是长方形木条的长(64) 和宽 (40) 的公倍数 , 以它们公倍数做边长,就能保证拼成的是正方形. 而题目问 至少需要长方形木条多少块 , 要满足这个条件, 就要使拼成的正方形的边长尽可能的小, 从而可知 , 拼成的正方形木板的边长应是长方形木板条的长和宽的最小公倍数. 解: 64,40=2228 5=320 (320 64) (320 40) =58 =40( 块) 或320320(64 40) =1024002560 =40( 块) 答: 至少需要长方形木块40 块. 4. 一次野营会餐时, 每两人合用一只饭碗, 三人合用一只菜碗,四人合用1 只汤碗会餐时共用了 65 只碗 . 问参加会餐的一共有多少人分析 : 参加会参的人, 一定是 2的倍数 , 也是 3的倍数 , 同时也是 4的倍数 , 那么参加会参的一定是能同时被2,3,4的整除 , 也就是参加会餐的人是2,3,4的公倍数 . 而 2,3,4的最小公倍数是12. 参加会餐的人是12 的倍数 . 122=6( 只) 饭碗123=4( 只) 菜碗124=3( 只) 汤碗12 个人共用了6 只饭碗 ,4 只菜碗 ,3 只汤碗 , 即 12 人共用 6+4+3=13( 只) 饭. 由于会餐时共用了65 只碗 , 是 13 只饭碗的5 倍 , 因此参加会餐的人也一定是12 的 5 倍. 解:2,3,4=12 122=6( 只) 123=4( 只) 124=3( 只) 65(6+4+3) =6513 =5 125=60( 人) 答: 参加会餐的有60 人 . 5. 加工一种机器零件经过四道工序, 第一道工序 , 平均每人每小时加工16 个; 第二道工序平均每人每小时加工12 个; 第三道工序 , 平均每人每小时加工20 个; 第四道工序 , 平均每人每小时加工 15 个. 每道工序至少要安排多少人才算合理名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载分析 : 题目问题的意思是, 费时的工序安排的人要多, 省时的工序安排的人要少. 使每道工序既不出现有人无活干的现象, 也不出现有活无人干的现象. 最合理人员分配方案是, 每道工序在交给下一道工序零件时,正好接受上一道工序送来的零件. 因此 , 每一道工序加工零件总数, 应是每道工序平均每人每小时加工零件个数的公倍数. 题目问 每道工序至少安排多少人才最合理. 那么每一道工序加工的零件总数, 应是每一道工序平均每人每小时加工零件个数的最小公倍数. 解: 16,12,20,15=22 354=240 第一道工序应安排:240 16=15(人) 第二道工序应安排:240 12=20(人) 第三道工序应安排:240 20=12(人) 第四道工序应安排:240 15=16(人) 答: 第一道 , 第二道 , 第三道 , 第四道工序分别安排15 人,20 人,12 人,16 人. 6. 有甲 , 乙两数 ,它们的最大公约数是6, 最小公倍数是72, 求甲 , 乙二数 . 解法一 :72=2 2233 =22(2 3) 3 =463 46=24 63=18 答: 甲,乙二数分别是24 和 18. 解法二 :72 6=12 12=223 因为 2与 6(2 3=6) 不是互质数 , 所以只有4(2 2=4)与 3 才是互质数 . 64=24 63=18 答: 甲,乙二数分别是24 和 18. 评析 : 解法一把甲 , 乙二数的最小公倍数分解质因数, 从这个质因数连乘式中找出它们的最大公约数 , 再组成一个连乘式. 这个连乘式中除去有它们的最大公约数外, 必须有两个互质数. 用这个两个互质数分别乘以它们的最大公约数, 就可以求出这两个数. 解法二用甲 , 乙二数的最小公倍数除以它们的最大公约数, 所得的商必是甲, 乙二数取出最大公约数后 , 所剩下的两个互质数的积. 因此 ,把所求得的商再分解质因数, 并搭配成两个互质数,最后用这个互质数分别乘以它们的最大公约数, 就可以求出这两个数了. 7. 父亲和儿子年龄的最大公约数是6, 最小公倍数是462, 求父亲和儿子的年龄. 解: 462 6=2772 2772=2 2337 11 =(2 3)(2 3)7 11 237=42 2311=66 答: 父亲 66 岁,儿子 42 岁. 评析 : 解答这个问题, 需要先掌握一个定理: 两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积, 等于这两个数的乘积. 根据这个定理,可知父亲和儿子的年龄的乘积是:462 6=2772 把 2772 分解质因数 : 2772=2 2337 11 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载已知父亲和儿子年龄的最大公约数是6,6 是由质因数2 和 3 相乘得到的 .这就是说 , 父亲的年龄与儿子年龄既有公约2, 又有公约数3, 这就是他们年龄的乘积中有两个质因数2和两个质因数 3 的道理 . 由此可知 , 父亲年龄的质因数分解式中, 应有质因数2,3 和 11, 儿子年龄的质因数分解式中 , 应有质因数2,3,7. 2311=66,2 37=42. 经验算 ,66 和 42 的最大公约数是6, 最小公倍数是462, 符合题意 .于是可知 , 父亲年龄是66 岁. 儿子年龄是42 岁. 8. 有甲 , 乙, 丙三个人 , 甲每分钟行走120米, 乙每分钟行走100米, 丙每分钟行走70 米. 如果三人同时同向 , 从同地出发 , 沿周长是300 米的圆形跑道行走, 那么多少分钟以后, 三个人第一次相遇解:300 (120-100) =30020 =15( 分钟 ) 300(120-70) =30050 =6( 分钟 ) 300(100-70) =30030 =10( 分钟 ) 15,6,10=2 53=30 答:30 分钟以后 , 三个人第一次相遇. 评析 : 解答这个题目首先要了解一个事实: 当甲第一次追上乙时, 则甲比乙正好多行一圈(300米). 同样的 , 当甲第一次追上丙或乙第一次追上丙时, 也是正好比丙多行一圈. 由已知条件可知, 甲每分钟比乙多行20 米,几分钟甲比乙多行了300 米呢从而可知 , 甲第一次追上乙要用15分钟 . 同理 , 甲第一次追上丙要用6分钟 , 乙第一次追上丙要用 10 分钟 . 要求甲 , 乙, 丙三人多少分钟第一次在跑道上相遇, 就是求 15,6,10的最小公倍数 . 9. 动物园的饲养员给三群猴子分花生. 若只分给第一群, 则每只猴子可得12 粒; 若只分给第二群, 则每只猴可得15粒; 若只分给第三群, 则每只猴子可得20粒. 那么平均分给三群猴子, 每只可得几粒解: 12,15,20=223 5=60 设共有几粒花生,n 是 60 的 m倍,(m 为整数 ) 则有 n=60m 第一群猴子的只数是:60m12=5m; 第二群猴子的只数是:60m15=4m; 第三群猴子的只数是:60m20=3m 三群猴子的总只数是: 5m+4m+3m=12m 60m 12m=5(粒 ) 答: 平均分给三群猴子, 每只可得 5 粒. 评析 : 解题时有些同学束手无策, 原因是花生总数及猴子总数的不确定性. 解决这个难点的办法, 可以用字母表示数. 设共有花生几粒, 由题意可知 , 花生的总数n 应是 12,15 和 20 的公倍数 . 三个数的公倍数必定名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载是它们最小公倍数的倍数.12,15,20的最小公倍数是60. 因此花生粒数n 应是 60 的倍数 . 设 n是 60 的 m倍. 知道花生的总粒数, 又知道每只猴子分别的粒数, 就可以求出三群猴子每群有多少只, 再求三群猴子的总只数. 用花生的总粒数除以猴子的总只数就是问题所求. 在整个过程中,充分利用字母表示数. 恰当地运用字母表示数,不但会给解题带来方便, 而且对今后的学习也是很有好处. 10学校买来40 支圆珠笔和50 本练习本，平均奖给四年级三好学生，结果圆珠笔多4 支，练习本多2 本，四年级有多少名三好学生，他们各得到什么奖品？11 老虎和豹进行跳远比赛; 老虎每次跳米, 豹每次跳米, 它们每秒只跳一次. 比赛途中 , 从起点开始 , 每隔米设有一个陷阱. 它们之中谁先掉进陷阱一个掉进陷阱时另一个跳了多远？12已知两个自然数的和为54, 它们的最小公倍数与最大公倍约数的差为114, 求这两个自然数. （这两个自然数为24 和 30. ）13有甲, 乙, 丙三种溶液 , 分别重 36 千克 ,48 千克和 24 千克 . 现要将它们全部分别装入小瓶中, 每个小瓶装入液体的重量相同. 问: 每瓶最多装多少千克？14甲校和乙校有同样多的同学参加数学竞赛, 学校用汽车把学生送往考场. 甲校用的汽车,每车坐 15 人, 乙校用的汽车 , 每车坐 13 人, 结甲校比乙校少派一辆汽车. 后来每校各增加一个人参加竞赛 , 这样两校需要的汽车就一样多了. 最后又决定每校再各增加一个人参加竞赛, 乙校又要比甲校多派一辆汽车. 问最后两校共有多少人参加竞赛？（最后甲乙两校共有184 人参加竞赛 . ）15大雪后的一天, 小飞和爷爷一起测量一个圆形花圃的周长, 他俩的起点和走的方向完全相同, 小飞每步长48 厘米 ,爷爷每步长72 厘米 , 由於两人脚印有重合, 所以各走完一圈后雪地下只留下 40 个脚印 , 求花圃的周长？（花圃的周长为1440 厘米）16甲数有 9 个约数 , 乙数有 10 个约数 , 甲, 乙两数的最小公倍数是2800, 求甲 , 乙两数各是多少 ？（甲数是100, 乙数是 112. ）17一对啮合齿轮, 一个有 132 个齿 , 一个有 48 个齿 , 其中啮合的任意一对齿从第一次相接到再次相接 , 两个齿轮各要转动多少圈？（大齿轮要转4 圈, 小齿轮转11 圈）18 有两个油桶 ,一个容量为27 升,另一个容量为15 升, 只利用这两个油桶怎样从一个大油桶中倒出 6 升油米 . ？（从运算角度审视倒油结果, 就应该是用15 的倍数与 27 的倍数之差来表示 6, 因此可先表示3, 由(15,27) = 3知, 可用辗转相除法解决. 作辗转相除法 , 得所以 15 = (27 - 15) + 3即 152 27 = 3所以 154 - 272 = 6 根据这个式子可设计倒油方案: 从大油桶裏向15 升的油桶裏倒四次, 每次倒满后就向27 升的油桶裏倒 ,27 升的油桶倒满后再倒回小油桶. 这样 , 当 27 升的油桶第二次倒满时,15 升的油桶裏就刚好剩有6 升油 . 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -