2022年时间序列分析练习题 .pdf

1 时间序列分析练习题一、填空题1. 从统计意义上讲，所谓的时间序列就是将某一指标在（不同时间）上的不同数值，按时间的先后顺序排列而成的数列。2. 从统计意义上看，时间序列就是某一系统在（不同时间）的响应。3. 按所研究对象的多少分，时间序列有（一元）时间序列和（多元）时间序列。4. 按时间的连续性可将时间序列分为（离散）时间序列和（连续）时间序列。5. 按序列的统计特性分，时间序列有（平稳）时间序列和（非平稳）时间序列。6. 按时间的分布规律来分，时间序列有（高斯型）时间序列和（非高斯型）时间序列。7. 如果序列的一二阶矩存在，而且对任意的时刻t 满足：（ 均值为常数）（协方差为时间间隔的函数）则称该序列为宽平稳时间序列，也叫广义平稳时间序列。8. 对于一个纯随机过程来说，若其期望和方差（均为常数），则称之为白噪声过程。白噪声过程是一个（宽平稳）过程。9. 时间序列分析方法按其采用的手段不同可概括为数据图法，指标法和（模型法）10.AR（ 1）模型为： Xt=1Xt-1+at11.AR（ 2）模型为： Xt=1Xt-1+2Xt-2+at12.AR（ n）模型为： Xt=1Xt-1+2Xt-2+nXt-n+at13.MA（ 1）模型为： Xt=at-1at-114.MA（ m ）模型为： Xt=at-1at-1-2at-2 -mat-m15.ARMA(2.1) 模型为： Xt-1Xt-1-2Xt-2 =at-1at-116.AR(1) 模型是一个使相关数据转化为独立数据的变化器。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页2 17. 差分可以将非平稳序列转化为平稳序列。18. AR （1）模型，当11时，就变成了随机游走。19若时间序列的自相关函数在m 步截尾，并且偏自相关函数被负指数函数控制收敛到零，则可判断时间序列为MA(m) 序列。20若时间序列的偏自相关函数在n 步截尾， 并且自相关函数被负指数函数控制收敛到零，则可判断时间序列为AR(n) 序列。21若时间序列的自相关函数和偏自相关函数序列均不截尾，但都被负指数函数控制收敛到零，则时间序列很有可能是ARMA 序列。22建立平稳时间序列模型就是从观察到的有限长度的平稳序列样本出发，通过模型的识别、模型的定阶、模型的参数估计、适应性检验等步骤建立起适合序列的ARMA模型，为预测和进一步分析做好准备。23模型定阶方法有残差方差图定阶法.F 检验定阶法 .最佳准则函数定阶法等，实际中可灵活选用。24模型主要的估计方法有矩估计法.最小二乘估计法和极大似然估计法等，实际中有软件直接计算。25. 模型的适应性检验实质上是检验残差序列是否为白噪声序列，通常用自相关函数检验法和卡方检验法。26. 预测方差（以t 为原点，向前l期作预测，预测值为?X ( )tl）?( )X ( )tltte lXl27. 预测误差均方值22?( )X ( )ttltE elEXl注意：我们所要做的工作是，求出一个预测值?X ( )tl，使得2( )tE el最小。28. 预测的三种形式：差分方程形式.传递形式 .逆转形式29. 条件期望预测是最小均方误差预测30. 对于平稳ARMA(n,m) 模型，特征方程所有特征根绝对值均小于1，随,0jjG，系统记忆性趋于零，?X ( )tl随l增大，也趋于零。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页3 31. 时间序列模型是时间序列动态性和发展变化规律的客观描述，因而可以利用建立的时间序列模型对时间序列的未来取值进行预测。32. 对预测值适时修正的理解：在进行超前多步预测时，随时间推移，原来预测值变为已知， 需要进行新预测，而这种新预测可由就预测值和新的观察值推算出，在旧预测值上加一个修正项，完成新的预测。33. 时间序列的趋势，有（确定性）和（非确定性）两种，前者又分为线性趋势和非线性趋势。34. 平稳过程的时间序列具有（常数）的均值和方差。35. 单位根检验一般包含三种情况：（没有常数项） （仅含有常数项） （含有常数项和时间趋势）。36. 对于确定性趋势的消除方法有：（最小二乘法） （差分法）。37. ARMA(n,m) 的逆转形式1jtjtjtaXIX。38. 模型适应性检验的相关函数法，在显著性水平05.0下，若Nk/96.1，则接受0k的假设，认为ta是独立的。39. 模型适应性检验的2检验法，在显著性水平下，若统计量)(21mnNLQ则认为模型是适合的。40. AR(1) 模型可用一个无限阶MA 来逼近。41. ARMA 模型的差分形式mtmtttntntttaaaaXXXX2211221142. ARMA 模型的传递形式0jjtjtaGX43. ARMA 模型的逆转形式tjjtjtaXIX144. 由 ARMA 模型的传递形式进行预测，ltX预测 95%的置信区间为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页4 2/12122212096.1laltGGGGX二、简答题1. 时间序列具有那几个特点？答：首先，序列中的数据或数据点的位置依赖于时间，即数据的取值依赖于时间的变化，但不一定是时间t 的严格函数。其次，就每一时刻上的取值或数据点的位置具有一定的随机性，不可能完全准确地用历史值预测。再次，前后时刻的数据点或数值的位置有一定的相关性，这种相关性就是系统的动态规律性。最后，从整体上看，时间序列往往呈现某种趋势性或出现周期性变化的现象。2时间序列分析与数理统计学的主要区别是什么？答：首先， 数理统计学的样本值是对同一随机变量进行n 次独立重复试验的结果，或是n 个相互独立同分布的随机变量序列的一个实现，而时间序列则是某一随机过程的一次样本实现。其次，在数理统计学中， 进行统计推断的目的主要是对某一个随机变量的分布参数进行估计和假设检验，而时间序列分析中，则是对某一时间序列建立统计模型。最后，数理统计学中的回归模型描述的是因变量与其他自变量之间的统计静态依存关系；而时间序列分析中的自回归模型描述的是某一变量自身变化的统计规律性，是某一系统的现在的行为与其历史行为之间的统计动态依存关系。3随机变量和随机过程的区别和联系。答：主要区别有：（1）随机变量是定义在样本空间上的一个单值函数；随机过程则是一族时间t 的函数。（2）对应于一定随机试验和样本空间的随机变量与时间t 无关； 而随机过程则与时间密切相关。（3）随机变量描述事物在某一特定时间上的静态；随机过程描述事物发展变化的动态。主要联系有：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页5 （1）随机过程具有随机变量的特征，同时还具有普通函数的特征性。（2）随机变量是随机的特例，即一元随机变量可视为参数集为单元素的随机过程。（3）当随机过程固定在某一个时刻是，就得到一个随机变量。（4）随机过程是n 维随机变量， 随机变量列的一般化，它是随机变量)( tX的集。4.AR(1) 模型基本假设是什么？（1）Xt与 Xt-1有直线相关关系。（2）at为独立正态同分布序列。5. AR(2) 模型基本假设是什么？（1） Xt与 Xt-1和 Xt-2有直线相关关系, 而在 Xt-1和 Xt-2已知的条件下， Xt与 Xt-j（j=3.4 ）无关， at是一个白噪声序列。6.MA（1）模型基本假设是什么？系统的响应Xt仅与其前一时刻进入系统的扰动at-1有一定的依存关系，而且为白噪声。7.ARMA(2,1) 模型基本假设是什么？at 独立于 at-j(j=2.3 ), 从而 at独立于 Xt-j（j=3.4 ）8.n 阶自回归模型基本假设是什么？Xt与 Xt-1,Xt-2， ,Xt-n有直线相关关系, 而在Xt-1.Xt-2 Xt-n已知的条件下，Xt与 Xt-j（j=n+1.n+2 ）无关，at是一个白噪声序列。9.m 阶移动模型基本假设是什么？系统的响应Xt仅与 at-1.at-2 at-m有关而与at-j(j=m+1.m+2 ) 无关，且 at为白噪声。10. ARMA(n.m) 模型基本假设是什么？at 独立于 at-j(j=n.n+1 ), 从而 at独立于 Xt-j（j=n+1.n+2 ）11.将下表补充完整：自相关系数偏自相关系数MA 截尾拖尾AR 拖尾截尾ARMA 拖尾拖尾精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页6 12.请简述 AR(2) ，ARMA(1,1) ，ARMA(2,1) 系统之间的关系答： ARMA(2,1) 的格林函数jjjjgg21212121112211jG1=0 时，ARMA(2,1) 系统就成为AR(2) 系统； AR(2) 系统的格林函数，即为12121j1Gjj，2=0 时， ARMA(2,1) 系统称为ARMA(1,1) 系统。13模型定阶方法有哪些？答：模型定阶方法有残差方差图定阶法；F 检验定阶法；最佳准则函数定阶法。14Box-Jenkins建模方法有哪几个步骤？答：模型的识别： 依据平稳时间序列的样本自相关函数和样本偏自相关函数的不同的统计特征来初步判断时间序列模型的类型。模型的定阶： 应用残差方差图定阶法或F检验定阶法或应用准则函数定阶法来对模型的阶数进行判定。模型的参数估计：估计出其中的参数，以便进一步识别和应用模型。（主要的参数估计方法有矩估计法，最小二乘估计法和极大似然估计法等）。模型的适应性检验：就是判断这个模型用于描述时间序列是否恰当，是否完全或基本上解释了系统的动态性，即检验ta序列是否为白噪声序列。15. 如何判断时间序列的趋势性？a.利用序列图进行判断；b.利用样本自相关函数进行平稳性判断；c.利用单位根检验进行判断。16.如何用差分的方法消除时间序列的趋势性？(书 133 页) 一阶差分可消除线性趋势，二阶差分可消除二次曲线趋势。若趋势方程为Yt=a+bt，则通过一阶差分，得到Yt=a+bt-a+b(t-1)=b消除了线性趋势。17. 在趋势性检验中，进行单位根检验的意义是什么？单位根检验就是根据已观测到的时间序列，检验产生这个时间序列的随机过程中的一阶自回归系数是否为一，这个检验实际上就是对时间序列是否为一个趋势平稳过程的检验，如果检验表明没有单位根，则它是一个趋势平稳过程，否则，它是一个带趋势的单位根过程。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页7 如果时间序列是趋势平稳的，我们就可以用一个线性趋势来拟合这个时间序列，并由此进行预测。 如果时间序列不是趋势平稳的，我们就不能用一个趋势来拟合时间序列，在统计学中没有对一个时间序列进行单位根检验就直接进行趋势拟合的做法显然是欠妥的。18. 什么是 ARIMA模型？若tX的 d 阶差分，tdtXBY)1(是一个平稳的ARMA(p,q), 则称tX为具有 p,d,q阶自回归求和移动平均模型，即tXARIMA(p,d,q) 。19. 线性趋势平稳的特点：当我们将时间序列中的完全确定的线性趋势去掉以后，所形成的时间序列就是一个平稳的时间序列。20. 如何以系统的观点看待时间序列的动态性？系统的动态性就是在某一时刻进入系统的输入对系统后继行为的影响，也就是系统的记忆性，描述记忆性的函数称为记忆函数。三、证明题1. AR(1)模型：tttaXX11，其中ta是白噪声，且22ataE证明：211212121122tttttttaaxxEaxExE由平稳时间序列模型的性质得：0212ttxExE221, 0atttaEaxE，所以，222120attxExE21221atxE2. AR(1) 模型tttaXX11，其中ta是白噪声，证明：tltXlX1证明：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页8 3. AR(1)模型tttaXX11，其中ta是白噪声，试证0jjtjtaGX证明：由tttaXX11，则有tttaXX11ttaXB)1(1（注：利用无穷等比级数求和）tjjjtttaBaBBaBX0122111111jtjjjtjjtaGaX001，其中jjG1为 AR(1) 的格林函数。4. 已知 MA(1) 模型11tttaaX，ta是白噪声，且22)(ataE。证明其自身相关函数为1011211kkk证明：由22, 0atstaEstaaE，得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页9 221211201atttaaEXEr212111111attttttaaaaEXXEr当2k时，有01111ktktttkttkaaaaEXXEr10112110kkrrkk5. 证明：随机游动过程是非平稳时序。证明：对于tttayy1，设00y，则,321321211aaayaayay于是，ttay，且2,00tyVartEaEytttty 的方差随时间而改变，因此，过程是非平稳的。6. 试证 ARMA(2,1) 的格林函数隐式2,02211jGGGjjj7. 试证 ARMA(1,1) 模型1111ttttaaXX的预测值0,111laXlXlttt8. 试证明jtjdjtdtdYCYBY119. 由 ARMA模型的传递形式进行预测，试证ltX的条件方差为212221202)var(laltGGGGX精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页10 四、分析题1某零均值序列（N=250）适合 AR模型，对其分别拟合AR(1).AR(2) 和 AR(3)模型（模型中不包括常数项） ，残差平方和分别为：1619.236 ，1474.032 ，1473.748 ，试用 F 检验定阶法判定该序列适合模型的阶数（显著性水平取为0.05 ） 。答：1474.032 1473.7480.28410.0471473.7485.99250 13F取0.05，查F 分布表可得0.051,2463.84F，显然0.051,246FF，所以在0.05的显著性水平下，AR(2)和 AR(3)模型没有显著差异，所以模型阶数可以继续降低。33.24968.5204.14521250032.14741032.1474236.1619F取0.05，查F 分布表可得0.051,2463.84F，显然0.051,246FF，所以在0.05的显著性水平下，AR(1)和 AR(2)模型有显著差异，所以合适的模型阶数为2 阶。2从特征根和平稳域两个方面，分别判断下面模型的平稳性。（1）tttaXX18 .0；（2）tttaXX11 .1；（3）ttttaXXX215. 0； （4）ttttaXXX215.03. 对某时间序列（N=80）拟合 ARMA(2,1)模型，得到残差自相关如下表所示，试检验该模型的适应性（显著性水平取为0.05 ） 。残差自相关函数k1 2 3 4 5 6 7 8 k0.1 0.08 0.09 0.04 -0.13 0.05 0.02 -0.06 答：残差自相关函数满足?1.96/800.22k统计量07.11)128(96. 3205.01Q因此在 0.05 的显著性水平下可以接受，因而 ARMA(2,1) 模型是适合的。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页11 五、解答题1. 解差分方程kkykyky5)(12) 1(7)2(解：设kky)(，则有012712kkk01272解得：1=3，2=4 kCCky3)(111；kCCky4)(222则通解为：kkCCky43)(21令kCky5)(，得：kkkkCCC531257511123525CCC2C=1，C= 21特解为：kkCky5215)(原方程的通解为：kkkCCky52143)(212. 有 t=1,2,11 的数据序列如下：0.21,1.02,1.31,0.39,-0.26；-0.26,-0.10,0.83,0.71,1.38,2.27 （1）求均值和减去均值后的序列Xt（2）用 AR （1）模型拟合Xt，?=0.58 ，计算残差序列at,t=2.3 8 3. 预测题目不是背的，如果不从本质上理解，很难得到高分，因为更换数字后将是另一种结果，所以这里介绍集中常规模型求解方法，只要形成一种思维，才会以不变应万变。必须记忆的公式（解题关键）：（1）()()ktkktkE XXXktE aXakt（2）()00t ltE aXl精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页12 （3）?()X0tltt lE XXl（4）t lX在 95%置信度下的置信区间1222220121?X1.96*tllGGGG+（其中22220121lGGGG +为格林函数）（5）修正公式1?X( )X(1)*t lt lltllGa其中1?X (1)ttltaX4. 请同学们自行验证以下模型结论AR(1)模型t1t1t1?X (1)*?X (2)*?1,X ( )*ttltXXllX时ARMA(1,1) 模型t11t1tt1t?X (1)?X (2)X (1)?1,X ( )X (1)tXalll时MA(1) 模型t1tt?X (1)?X (2)0?2,X ( )0tall时（验证了 MA 序列短记忆性）5. 请同学们把书上第三章的前三节，尤其关于平稳性与可逆性、尤沃方程、格林函数等相关知识，以及P87 习题 3.5 、3.6、3.7 与 3.11、例 4.1、例 4.2、例 4.3，P120 例 5.1、例 5.2、例 5.3 以及 P125 的 5.4 掌握了。这几道例题将作为极高频考试题目。（数字更换，思想不变）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页13 6. 推导 AR(2) 模型参数21,及2a矩估计的表达式7.判断下列模型的平稳性与可逆性（1）ttttaXXX212 .06 .0（2）2122. 02.14 .0tttttaaaXX精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页