2022年最全圆锥曲线知识点总结 2.pdf

1 高中数学椭圆的知识总结1. 椭圆的定义 ：平面内一个动点P 到两个定点12,FF的距离之和等于常数（12122PFPFaF F） ，这个动点 P的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距. 注意： 若1212PFPFF F，则动点P的轨迹为线段12F F；若1212PFPFF F，则动点 P的轨迹无图形 .（1）椭圆 ：焦点在x轴上时12222byax（222abc）cossinxayb（参数方程，其中为参数），焦点在y轴上时2222bxay 1（0ab） 。2. 椭圆的几何性质：（ 1）椭圆 （以12222byax（0ab）为例）：范围：,axabyb；焦点：两个焦点(,0)c；对称性：两条对称轴0,0 xy，一个对称中心（0,0 ） ，四个顶点(,0),(0,)ab，其中长轴长为2a，短轴长为2b； 离心率：cea，椭圆01e，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。（ 2）.点与 椭圆的位置关系：点00(,)P xy在椭圆外2200221xyab；点00(,)P xy在椭圆上220220byax1；点00(,)P xy在椭圆内2200221xyab3直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交：0直线与椭圆相交； （ 2）相切：0直线与椭圆相切；（3）相离：0直线与椭圆相离；如: 直线 ykx 1=0 与椭圆2215xym恒有公共点，则m 的取值范围是 _；4. 焦点三角形 （椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形）5. 弦长公式 ：若直线ykxb与圆锥曲线相交于两点A、B，且12,xx分别为 A、B 的横坐标，则AB2121kxx，若12,yy分别为 A、B 的纵坐标，则AB21211yyk，若弦AB 所在直线方程设为xkyb，则AB2121 kyy。6. 圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆12222byax中，以00(,)P xy为中点的弦所在直线的斜率k=0202yaxb；如（ 1）如果椭圆221369xy弦被点 A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是；（2）已知直线y=x+1 与椭圆22221(0)xyabab相交于 A、 B 两点，且线段AB 的中点在直线 L：x 2y=0 上，则此椭圆的离心率为_；（3）试确定 m 的取值范围，使得椭圆13422yx上有不同的两点关于直线mxy4对称；特别提醒 ：因为0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0！椭圆知识点的应用1. 如何确定椭圆的标准方程？任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件ba,；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。2. 椭圆标准方程中的三个量cba,的几何意义椭圆标准方程中，cba,三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：)0(ba，)0(ca，且)(222cba。可借助右图理解记忆：cba,恰构成一个直角三角形的三条边，其中a 是斜边， b、c 为两条直角边。3如何由椭圆标准方程判断焦点位置椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看2x，2y的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。4方程均不为零）CBACByAx,(22是表示椭圆的条件方程CByAx22可化为122CByCAx，即122BCByACx，所以只有A、B、C同号，且 AB时，方程表示椭圆。 当BCAC时，椭圆的焦点在x轴上； 当BCAC时，椭圆的焦点在y轴上。5求椭圆标准方程的常用方法：待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数cba,的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。6共焦点的椭圆标准方程形式上的差异精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页2 共 焦 点 ， 则c相 同 。 与 椭 圆12222byax)0(ba共 焦 点 的 椭 圆 方 程 可 设 为12222mbymax)(2bm，此类问题常用待定系数法求解。7判断曲线关于x轴、 y 轴、原点对称的依据： 若把曲线方程中的x换成x，方程不变，则曲线关于y 轴对称； 若把曲线方程中的y 换成y ，方程不变，则曲线关于x轴对称； 若把曲线方程中的x、 y同时换成x、y ，方程不变，则曲线关于原点对称。8如何求解与焦点三角形PF1F2（P为椭圆上的点）有关的计算问题？思路分析：与焦点三角形PF1F2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式2121sin2121PFFPFPFSFPF相结合的方法进行计算解题。将有关线段2121FFPFPF、，有关角21PFF (21PFF21BFF) 结合起来，建立21PFPF、21PFPF之间的关系 . 9如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？长 轴与 短轴的 长短 关系 决 定 椭 圆 形状 的变 化。 离 心 率) 10(eace，因 为222bac，0ca，用ba、 表示为) 10()(12eabe。显然：当ab越小时，) 10(ee越大，椭圆形状越扁；当ab越大，) 10(ee越小，椭圆形状越趋近于圆。题型 1:椭圆定义的运用例 1.已知1,F F为椭圆221259xy的两个焦点，过1F的直线交椭圆于A、B 两点若2212F AFB，则AB_. 例 2.如果方程222xky表示焦点在x 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是_. 例 3.已知P为椭圆2212516xy上的一点，,M N分别为圆22(3)1xy和圆22(3)4xy上的点，则PMPN的最小值为题型 2： 求椭圆的标准方程例 1、求满足下列各条件的椭圆的标准方程. (1)经过两点(3,2),( 2 3,1)AB；(2)经过点 (2， 3)且与椭圆229436xy具有共同的焦点；(3)一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为42 4. 题型 3:求椭圆的离心率例 1、ABC中，30 ,2,3,oABCAABSV若以,A B为焦点的椭圆经过点C，则椭圆的离心率为. 例 2、过椭圆的一个焦点2F作椭圆长轴的垂线交椭圆于P，若12F PF为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为题型 4:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）例 1.已知实数, x y满足22142xy,则22xyx的范围为例 2.已知点,A B是椭圆22221xymn（0,0mn）上两点 ,且AOBOuuu ruu u r,则= 题型 5：焦点三角形问题例 1.已知12,FF为椭圆22194xy的两个焦点， p 为椭圆上的一点，已知12,P FF为一个直角三角形的三个顶点，且12PFPF,求12PFPF的值 . 例 2.已知12,FF为椭圆 C:22184xy的两个焦点，在C 上满足12PFPF的点的个数为. 例 3.已知椭圆的焦点是) 1 , 0 (),1, 0(21FF,且离心率1e2 求椭圆的方程 ; 设点 P 在椭圆上,且121PFPF,求 cos21PFF. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页3 题型 6: 三角代换的应用例 1.椭圆221169xy上的点到直线l:90 xy的距离的最小值为_例 2.椭圆221169xy的内接矩形的面积的最大值为题型 7：直线与椭圆的位置关系的判断例 1.当m为何值时，直线yxm与椭圆221169xy相交？相切？相离？例 2.若直线)(1Rkkxy与椭圆1522myx恒有公共点，求实数m的取值范围；题型 8：弦长问题例 1.求直线24yx被椭圆224199xy所截得的弦长. 例 2.已知椭圆2212xy的左右焦点分别为F1,F2，若过点P（ 0，-2）及 F1的直线交椭圆于A,B两点，求 ABF2的面积；题型 9：中点弦问题例1. 求以椭圆22185xy内的点 A（2，-1）为中点的弦所在的直线方程。例 2. 中心在原点，一个焦点为1(0,50)F的椭圆截直线32yx所得弦的中点横坐标为12，求椭圆的方程例 3. 椭圆221mxny与直线1xy相交于 A、 B两点，点 C 是 AB的中点若2 2AB，OC的斜率为22（O为原点），求椭圆的方程巩固训练1. 如图 ,椭圆中心在原点,F 是左焦点 ,直线1AB与 BF 交于D,且o1=90BDB,则椭圆的离心率为2.设12,FF为椭圆2214xy的两焦点， P 在椭圆上，当12F PF面积为 1 时，12PFPFuu u ruuu r的值为3.椭圆221369xy的一条弦被4,2A平分 ,那么这条弦所在的直线方程是4. 若12,FF为椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,若122112:1: 2 :3PF FPF FF PF, 则此椭圆的离心率为5.在平面直角坐标系中，椭圆22221(0)xyabab的焦距为2c，以 O 为圆心，a为半径的圆，过点2(,0)ac作圆的两切线互相垂直，则离心率e= 双曲线基本知识点双曲线标准方程（焦点在x轴）)0,0( 12222babyax标准方程（焦点在y轴）)0,0(12222babxay定义定义：平面内与两个定点1F，2F的距离的差的绝对值是常数（小于12F F）的点的轨迹叫双 曲 线 。 这 两 个 定 点 叫 做 双 曲 线 的 焦 点 ， 两 焦 点 的 距 离 叫 焦 距 。aMFMFM221212FFa范围xa，yRya，xR对称轴x轴 ，y轴；实轴长为2a, 虚轴长为2b对称中心原点(0,0)O焦点坐标1(,0)Fc2( ,0)Fc1(0,)Fc2(0, )FcxyP1F2FxyxyP1F2Fxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页4 焦点在实轴上，22cab；焦距：122F Fc顶点坐标（a,0 ） (a,0) (0, a,) (0，a) 离心率221,(1)cbeeaa渐近线方程xabyayxb共渐近线的双曲线系方程kbyax2222（0k）kbxay2222（0k）直线和双曲线的位置双曲线12222byax与直线ykxb的位置关系：利用22221xyabykxb转化为一元二次方程用判别式确定。二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。相交弦 AB的弦长2212121()4ABkxxx x补充知识点：等轴双曲线的主要性质有：（1）半 实轴 长=半虚轴长（一般而言是a=b，但有些地区教材版本不同，不一定用的是a,b 这两个字母）；（2）其标准方程为22xyC，其中0C；（3）离心率2e；（4）渐近线 ：两条渐近线y=x 互相垂直；例题分析：例 1、动点P与点1(0 5)F， 与点2(05)F，满足126PFPF，则点P的轨迹方程为（）221916xy221169xy221(3)169xyy221(3)169xyy同步练习一 : 如果双曲线的渐近线方程为34yx ，则离心率为（）535453或543例 2、已知双曲线2214xyk的离心率为2e，则 k 的范围为（）121k0k50k120k同步练习二 : 双曲线22221xyab的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为例 3、设P是双曲线22219xya上一点，双曲线的一条渐近线方程为320 xy，12FF，分别是双曲线的左、右焦点，若13PF，则2PF的值为同步练习三 : 若双曲线的两个焦点分别为(02) (0 2)，且经过点(215)，则双曲线的标准方程为。例 4、下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是（）(A)x23-y2=1 和y29-x23=1 (B)x23-y2=1 和 y2-x23=1 (C)y2-x23=1 和 x2-y23=1 (D)x23-y2=1 和92x-32y=1 同步练习四 : 已知双曲线的中心在原点，两个焦点12FF，分别为 ( 5 0)， 和 (5 0)， ，点P在双曲线上且12PFPF ，且12PF F的面积为1，则双曲线的方程为（）22123xy22132xy2214xy2214yx例 5、与双曲线116922yx有共同的渐近线，且经过点A32, 3(的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（）（A）8 （B）4 （ C）2 （D）1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页5 同步练习五 : 以xy3为渐近线，一个焦点是F（0， 2）的双曲线方程为_. 例 6、下列方程中，以x2y=0 为渐近线的双曲线方程是(A)12yx)D(1y2x)C(116y4x)B(14y16x22222222同步练习六 : 双曲线 8kx2-ky2=8 的一个焦点是 (0 ，3)，那么 k 的值是例 7、经过双曲线2213yx的右焦点 F2作倾斜角为30的弦 AB，（1）求 |AB|. （2） F1是双曲线的左焦点，求F1AB的周长同步练习七过点（0，3）的直线l 与双曲线22143xy只有一个公共点，求直线l 的方程。高考真题分析1.【 2012 高考新课标文10】等轴双曲线C的中心在原点， 焦点在x轴上，C与抛物线xy162的准线交于,A B两点，4 3AB；则C的实轴长为（）()A2()B2 2()C()D2. 【 2012 高考山东文11】已知双曲线1C ：22221(0,0)xyabab的离心率为2. 若抛物线22:2(0)Cxpy p的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为 (A) 28 33xy(B) 216 33xy(C)28xy(D)216xy3. 【2012 高考全国文10】已知1F、2F为双曲线22:2Cxy的左、右焦点，点P在C上，12| 2 |PFPF，则12cosF PF（A）14（B）35（C）34（D）454.（ 2011 年高考湖南卷文科6) 设双曲线2221(0)9xyaa的渐近线方程为320,xy则a的值为（）A4 B3 C 2 D1 5.【2012 高考江苏8】（ 5 分） 在平面直角坐标系xOy中，若双曲线22214xymm的离心率为5，则 m 的值为抛物线抛物线)0(22ppxy)0(22ppxy)0(22ppyx)0(22ppyx定义平面内与一个定点F和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。MFM=点 M到直线 l 的距离 范围0,xyR0,xyR,0 xR y,0 xR y对称性关于x轴对称关于y轴对称焦点(2p,0) (2p,0) (0,2p) (0,2p) 焦点在对称轴上顶点(0,0)O离心率e=1 准线方程2px2px2py2py准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。顶点到准线的距离2px y O l F x y O l F l F x y O x y O l F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页6 焦点到准线的距离p焦半径11(,)A xy12pAFx12pAFx12pAFy12pAFy焦 点弦长 AB12()xxp12()xxp12()yyp12()yyp焦点弦AB 的几条性质11(,)A xy22(,)B xy以AB为直径的圆必与准线l 相切若AB的倾斜角为，则22sinpAB若AB的倾斜角为，则22cospAB2124px x212y yp112AFBFABAFBFAFBFAFBFp?切线方程00()y yp xx00()y yp xx00()x xp yy00()x xp yy1、直线与抛物线的位置关系直 线:lykxb， 抛 物 线2:2Cypx，由22ykxbypx， 消y 得 ：（1）当 k=0 时，直线 l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（2）当 k0 时， 0，直线 l 与抛物线相交，两个不同交点；=0， 直线 l 与抛物线相切，一个切点；0，直线 l 与抛物线相离，无公共点。（3）若直线与抛物线只有一个公共点, 则直线与抛物线必相切吗 ?（不一定）1、关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线 l ：bkxy抛物线2:2Cypx，(0)p联立方程法：pxybkxy220)(2222bxpkbxk设交点坐标为),(11yxA,),(22yxB，则有0, 以及2121,xxxx，还可进一步求出bxxkbkxbkxyy2)(212121，2212122121)()(bxxkbxxkbkxbkxyy在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如(1) 相交弦 AB的弦长2122122124)(11xxxxkxxkABak21或2122122124)(1111yyyykyykABak21（2）. 中点),(00yxM, 2210 xxx，2210yyy点差法：设交点坐标为),(11yxA，),(22yxB，代入抛物线方程，得1212pxy2222 pxy将两式相减，可得)(2)(212121xxpyyyy2121212yypxxyy（1）在涉及斜率问题时，212yypkAB（ 2 ） 在 涉 及 中 点 轨 迹 问 题 时 ， 设 线 段AB的 中 点 为),(00yxM，00212121222ypypyypxxyy，即0ypkAB，同理，对于抛物线)0(22ppyx， 若直线 l 与抛物线相交于BA、两点，点),(00yxM是弦AB的中点，则有pxpxpxxkAB0021222（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）ox 22,B xyFy11,A x y精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页