2022年《一次函数与几何图形综合》-专题 .pdf

精品资料欢迎下载一次函数与几何图形综合专题总论： 函数与几何是初中数学中的重点内容, 是中考命题重点考查的内容之一；函数中的几何问题，能使代数知识图形化，而几何中的函数问题，能使图形性质代数化；由于函数与几何结合的综合题的形式灵活、立意新颖，能更好地考查学生的思维水平和数学思想方法，因而成为近几年各地中考的一类热门试题；函数知识与几何知识有机结合的综合题，根据构成命题的主要要素可分为以下两类：一类是几何元素间的函数关系问题（这类问题不妨称简称为“几函”问题），这类问题的特点是：根据已知几何图形间的位置和数量关系（如平行、全等、相似，特别是成比例）建立自变量与函数所表示的几何元素间的等量关系，求出函数关系式，运用函数的性质解决几何图形中的问题；另一类是函数图像中的几何图形的问题（如三角形、 四边形， 特别是圆） （这类问题不妨简称为“函几”问题），这类问题的特点是：根据已知函数图像中的几何图形的位置特征，运用数形结合方法解决有关函数、几何问题。一次函数与几何综合题是八年级学生初次接触一种用代几综合解决问题的方法，这种方法和能力是九年级解决中考压轴题所必须具备的。1. 代数（1）表达什么函数（包括其系数的代数意义、几何意义、物理意义）（2）显现怎样的图形（自身、与坐轴、与其他图形）（3）既是一个方程，也是一个坐标 4 ）藏有那些数据，含有什么些关系（5）要建立某种代数关系缺少那些数据2. 几何（1）基本图象有几个（2）图象之间有怎样关系（3）图象与所要证明（求解）的结论怎样的关联（4）要建立图象与图象之间的关系缺少那些数据3. 代数与几何（1）代数（几何）在那些地方为几何（代数）提供了怎样的数据（2）几何（代数）通过什么方式为几何（代数）提供关系式（3）怎样设数据（坐标或线段长）函数与几何综合题的解题思想方法：“函几问题”与“几函问题”涉及的知识面广、知识跨度大、综合性强，应用数学方法多、纵横联系较复杂、 结构新颖灵活、注重基础能力、探索创新和数学思想方法，它要求学生有良好的心理素质和过硬的数学基本功， 能从已知所提供的信息中提炼出数学问题，从而灵活地运用所学知识和掌握的基本技能创造性的解决问题，正因如此，解决这类问题时，要注意解决问题的策略，常用的解题策略一般有以下几种：1. 综合使用分析法和综合法。就是从条件与结论出发进行联想、推理，“由已知得可知”，“从要求到需求”，通过对问题的“两边夹击”，使它们在中间的某个环节上产生联系，从而使问题得以解决。2. 运用方程的思想。就是寻找要解决的问题中量与量之间的等量关系，建立已知量与未知量间的方程，通过解方程从而使问题得到解决；在运用这种思想时，要注意充分挖掘问题的的隐藏条件，寻找等量关系建立方程或方程组；3. 注意使用分类讨论的思想（函数方法）。函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 20 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题函数与几何结合的综合题中往往注意考查学生的分类讨论的数学思想，因此在解决这类问题时，一定要多一个心眼儿，多从侧面进行缜密地思考，用分类讨论的思想探讨出现结论的一切可能性，从而使问题的解答完整无遗。4. 用数形结合的思想。数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用在中学数学中，“数”与“形”不是孤立的，它们的辩证统一表现在：“数”可以准确地澄清“形”的模糊，而“形”能直观地启迪“数”的计算；使用数形结合的思想来解5. 运用转化的思想。转化的数学思想是解决数学问题的核心思想，由于函数与几何结合的问题都具有较强的综合性，因此在解决这类问题时，要善于把“新知识”转化为“旧知识” ，把“未知”化为“已知”，把“抽象”的问题转化为“具体”的问题，把“复杂”的问题转化为“简单”的问题，可以大胆地说，不掌握转化的数学思想，就很难正确而全面地解决函数与几何结合的综合问题。知识规律小结：（1）常数 k，b 对直线 y=kx+b(k 0）位置的影响当 b0 时，直线与y 轴的正半轴相交；当 b=0 时，直线经过原点；当 b0 时，直线与y 轴的负半轴相交当 k，b 异号时，即 -kb0 时，直线与x 轴正半轴相交；当 b=0 时，即 -kb=0 时，直线经过原点；当 k，b 同号时，即 -kb0 时，直线与x 轴负半轴相交当 kO ， bO时，图象经过第一、二、三象限；当 k0，b=0 时，图象经过第一、三象限；当 bO ，bO时，图象经过第一、三、四象限；当 kO ，b0 时，图象经过第一、二、四象限；当 kO ，b=0 时，图象经过第二、四象限；当 bO ，bO时，图象经过第二、三、四象限（2）直线 y=kx+b（ k0）与直线y=kx(k 0) 的位置关系直线 y=kx+b(k 0) 平行于直线y=kx(k 0) 当 b0 时，把直线y=kx 向上平移b 个单位，可得直线y=kx+b ；当 bO时，把直线y=kx 向下平移 |b| 个单位，可得直线y=kx+b（3）直线 b1=k1x+b1与直线 y2=k2x+b2（k10 ，k20）的位置关系k1k2y1与 y2相交；2121bbkky1与 y2相交于 y 轴上同一点（0，b1）或（ 0，b2）；2121,bbkky1与 y2平行；2121,bbkky1与 y2重合 . 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 20 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载例题精讲：1.已知，如图，在平面直角坐标系内，点A 的坐标为（ 0，24），经过原点的直线l1与经过点A 的直线 l2相交于点 B，点 B 坐标为（ 18，6）（1）求直线l1，l2的表达式；（2）点 C 为线段 OB 上一动点（点C 不与点 O，B 重合），作CDy 轴交直线l2于点 D，过点 C，D 分别向 y 轴作垂线，垂足分别为F，E，得到矩形CDEF 设点 C 的纵坐标为a，求点 D 的坐标（用含a的代数式表示）；若矩形CDEF 的面积为 108，求出点C 的坐标l2l1yxBAO解：（ 1）设直线l1的表达式为y=k1x点（ 18，6）在直线 l1上6= 18k1k1=13y=13x设直线 l2的表达式为y=k2x +b点 A（0，24）， B（18，6）在 l2上待定系数法可得直线l2的解析式为：y=- x+24 （2）点C 在直线 l1上，且点 C 的纵坐标为a x=3a，点 C 的坐标为（ 3a，a）CDy 轴点 D 的横坐标为3a点 D 在直线 l2上，y=- 3a+24 D（3a，- 3a+24） C（3a，a）， D（ 3a，- 3a+24）CF=3a，CD=- 3a+24- a=- 4a+24 矩形 CDEF 的面积为108 S矩形CDEF=CF?CD=3a （- 4a+24）=108，解得 a=3 当 a=3 时， 3a=9 C 点坐标为（ 9，3）FEDCl2l1yxBAO名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 20 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载2如图所示，直线L：5ymxm与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点。（1）当 OA=OB 时，试确定直线L 的解析式；（2）在(1) 的条件下，如图所示，设Q为 AB延长线上一点，作直线OQ ，过 A、B两点分别作AM OQ 于 M ，BN OQ于 N，若 AM=4 ，BN=3 ，求 MN的长。(3) 当m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB 、AB为边，点B 为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角OBF和等腰直角ABE ，连 EF交y轴于 P点，如图。问：当点B在 y 轴正半轴上运动时，试猜想 PB的长是否为定值，若是，请求出其值，若不是，说明理由。考点：一次函数综合题；直角三角形全等的判定专题：代数几何综合题分析：（1）是求直线解析式的运用，会把点的坐标转化为线段的长度；（2）由 OA=OB 得到启发，证明AMO ONB ，用对应线段相等求长度；（3）通过两次全等，寻找相等线段，并进行转化，求PB 的长解答：解：（ 1）直线L：y=mx+5m ，A（-5，0）， B（0，5m ），由 OA=OB 得 5m=5 ，m=1 ，直线解析式为：y=x+5 （2）在 AMO 和 OBN 中 OA=OB ， OAM= BON ， AMO= BNO ， AMO ONB AM=ON=4 ，BN=OM=3 （3）如图，作EKy 轴于 K 点先证ABO BEK ，OA=BK ，EK=OB 再证PBF PKE ，PK=PB PB=21BK=21OA=25点评：本题重点考查了直角坐标系里的全等关系，充分运用坐标系里的垂直关系证明全等，本题也涉及一次函数图象的实际应用问题3. 如图，直线1l与 x 轴、 y 轴分别交于A、 B两点， 直线2l与直线1l关于 x 轴对称，已知直线1l的解析式为3yx（1）求直线2l的解析式；（ 3 分）第 2 题图第 2 题图第 2 题图名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 20 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载（2）过 A点在 ABC的外部作一条直线3l，过点 B作 BE 3l于 E,过点 C作 CF 3l于 F分别，请画出图形并求证： BE CFEF （3） ABC沿 y 轴向下平移， AB边交 x 轴于点 P，过 P点的直线与AC边的延长线相交于点Q，与 y 轴相交与点 M ，且 BP CQ ，在 ABC平移的过程中，OM为定值； MC为定值。在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值。（6 分）考点：轴对称的性质；全等三角形的判定与性质分析：（1）根据题意先求直线l1与 x 轴、 y 轴的交点A、B 的坐标，再根据轴对称的性质求直线l2的上点 C 的坐标，用待定系数法求直线l2的解析式；（2）根据题意结合轴对称的性质，先证明BEA AFC ，再根据全等三角形的性质，结合图形证明BE+CF=EF ；（3） 首先过 Q 点作 QH y 轴于 H， 证明 QCH PBO ， 然后根据全等三角形的性质和QHM POM ，从而得 HM=OM ，根据线段的和差进行计算OM 的值解答：解：（ 1）直线l1与 x 轴、 y 轴分别交于A、B 两点，A（-3，0）， B（0，3），直线 l2与直线 l1关于 x 轴对称，C（0，-3）直线 l2的解析式为： y=-x-3 ；（2）如图 1答： BE+CF=EF 直线 l2与直线l1关于 x 轴对称，AB=BC ，EBA= FAC ，BEl3，CF BEA= l3 BEA AFC=90 BE=AF ，AFC EA=FC ，BE+CF=AF+EA=EF；（3） 对，OM=3 过 Q 点作 QHy 轴于 H，直线 l2与直线 l1关于 x 轴对称 POB= QHC=90 ，BP=CQ ，又 AB=AC ， ABO= ACB= HCQ ，则 QCHPBO （AAS）， QHM QH=PO=OB=CH HM=OM POM OM=21BC=3 OM=BC- （OB+CM ）=BC- （CH+CM ）=BC-OM 4.如图，在平面直角坐标系中，A(a，0)，B(0，b)，且 a、b 满足04)2a2b（. (1)求直线 AB 的解析式；(2)若点 M 为直线 y=mx 上一点，且 ABM 是以 AB 为底的等腰直角三角形，求 m 值；CBA0 xyQMPCBA0 xyCBAl2l10 xy名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 20 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载(3)过 A 点的直线kkxy2交 y 轴于负半轴于P，N 点的横坐标为-1，过 N 点的直线22kxky交AP 于点 M，试证明AMPNPM的值为定值考点：一次函数综合题；二次根式的性质与化简；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求正比例函数解析式；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形分析：（1）求出 a、b 的值得到A、B 的坐标，设直线AB 的解析式y=kx+b ，代入得到方程组，求出即可；（2）当 BM BA，且 BM=BA 时，过 M 作 MN Y 轴于 N，证 BMN ABO （AAS ），求出M 的坐标即可；当 AM BA， 且 AM=BA 时， 过 M 作 MNX 轴于 N， 同法求出M 的坐标；当 AM BM， 且 AM=BM时，过 M 作 MN X 轴于 N，MHY 轴于 H，证 BHM AMN ，求出 M 的坐标即可（3）设 NM 与 x 轴的交点为H，分别过M、H 作 x 轴的垂线垂足为G， HD 交 MP 于 D 点，求出 H、G 的坐标，证 AMG ADH ， AMG ADH DPC NPC ， 推出 PN=PD=AD=AM代入即可求出答案解答：解：（ 1）要使04)2a2b（有意义，必须（ a-2）2=0，4-b=0，a=2 ， b=4，A（2，0）， B（0，4），设直线 AB 的解析式是y=kx+b ，代入得： 0=2k+b ，4=b，解得： k=-2 ，b=4，函数解析式为：y=-2x+4 ，答：直线AB 的解析式是y=-2x+4 （2）如图 2，分三种情况：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 20 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载如图（ 1）当 BMBA，且 BM=BA 时，过 M 作 MN Y 轴于 N，BMN ABO （AAS），MN=OB=4 ，BN=OA=2 ，ON=2+4=6 ，M 的坐标为（ 4，6 ），代入 y=mx 得： m=23，如图（ 2）当 AM BA，且 AM=BA 时，过 M 作 MNX 轴于 N， BOA ANM（AAS ），同理求出M的坐标为（ 6，2）， m=31，当 AM BM，且 AM=BM 时，过 M 作 MNX 轴于 N，MH Y 轴于 H，则 BHM AMN ，MN=MH ，设 M（x， x）代入 y=mx 得： x=mx ，（ 2）m=1 ，答： m 的值是23或31或 1（3）解：如图3，结论 2 是正确的且定值为2，设 NM 与 x 轴的交点为H，分别过M、H 作 x 轴的垂线垂足为G，HD 交 MP 于 D 点，由 y=2kx-2k与 x 轴交于 H 点，H（1，0），由 y=2kx-2k与 y=kx-2k 交于 M 点，M（ 3，K），而 A（2，0），A 为 HG 的中点， AMG ADH （ASA ），又因为 N 点的横坐标为-1，且在 y=2kx-2k上，可得 N 的纵坐标为 -K，同理 P 的纵坐标为 -2K，ND 平行于 x 轴且 N、D 的横坐标分别为-1、1 N 与 D 关于 y 轴对称， AMG ADH DPC NPC ， PN=PD=AD=AM，AMPN-PM=2名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 20 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载点评：本题主要考查对一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形性质，用待定系数法求正比例函数的解析式， 全等三角形的性质和判定，二次根式的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键5. 如图，直线AB交 X轴负半轴于B（ m ，0），交 Y轴负半轴于A（0，m ）， OC AB于 C（ -2 ，-2）。(1 求 m的值； (2 直线 AD交 OC于 D，交 X轴于 E，过 B作 BF AD于 F, 若 OD=OE ，求AEBF的值；(3 如图， P为 x 轴上 B点左侧任一点，以AP为边作等腰直角APM ，其中 PA=PM ，直线 MB交 y 轴于 Q，当 P在 x 轴上运动时，线段OQ长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，说明理由。解答：（ 1）设直线AB的方程为y=kx+m，将点（ m,0）代入方程得k= -1 ，则方程可写为y= -x+m 再将点 C(-2,2)代入方程得 -2 (-1) (-2)+m, 即 m= -4 -4m2CGOGGB,45OAOBGOBC都是等腰直角三角形为等腰直角三角形的垂线，垂足为作过OCBCGOCGBCBOAOB（2）直线 AD交 OC 于 D，交 X轴于 E，过 B作 BF AD于 F,若 OD=OE，求AEBF的值；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 20 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载21BF2BFBHBFAEBF2BHBFBHAEBHASAAOEBOH90AOEBOHAOBOEAOHBOAOEBOH)(BFASAAFHAFB)(AFAF90AFHAFBAFHAFBFEBADC)(OEDFEBODEOEDODOEFAHHBOBFHFFAHBAFFAHCADCADHBOODEADC等）（全等三角形对应边相）（已知）（已证）中，和在全等三角形对应边相等）（已证（公共边）中和在对顶角相等，（同角的余角相等）（3）如图， P为 x 轴上 B点左侧任一点，以AP为边作等腰直角 APM ，其中 PA=PM ，直线 MB交 y 轴于 Q ，当 P在 x 轴上运动时，线段OQ长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，说明理由。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 20 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载线段 OQ 的长度不变如图，过 P 作 x 轴的垂线交 AB 的延长线为 N，PM=PA,PB=PN ,NPA= BPM , NPA BPM （边角边 ），则有 PMB =PAN =PAB ，由题意可知 OA B=ABO=45 ，OA P+APO =OA B+PAB+ APB=90 MPA ，在PMB 中PMB +MBP +MPB =PMB+ MBP +MPA +APB=180 PMB+ MBP +APB=180 -MPA =90 MBP=90 -PMB- APB=90 -PAB- APB=90 -(90 -OAB) 45 所以 MBA=180 -ABO- MBP=180 -45-45=90 故直线 MB 与直线 AB 互相垂直，所以线段OQ 值不变（直线 AB 固定）。向左转 |向右转名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 20 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载6.在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b 的图像过点B（-1，25），与 x 轴交于点A（4,0），与 y 轴交于点 C，与直线 y=kx 交于点 P，且 PO=PA（1）求 a+b 的值；（ 2）求 k 的值；（2）（ 3）D 为 PC 上一点， DF x 轴于点 F，交 OP 于点 E，若 DE= 2EF，求 D 点坐标 . 考点：一次函数与二元一次方程（组）专题：计算题；数形结合；待定系数法分析：（1）根据题意知，一次函数y=ax+b 的图象过点B（-1，25）和点 A（4，0），把 A、B 代入求值即可；（2）设 P（ x，y），根据PO=PA ，列出方程，并与y=kx 组成方程组，解方程组；（3）设点 D（x，- 21x+2 ），因为点E 在直线 y= 21x 上，所以E（x，21x）， F（x，0），再根据等量关系 DE=2EF 列方程求解解答：解：（ 1）根据题意得：25=-a+b 0=4a+b 解方程组得：a=21， b=2 a+b=-21+2=23，即 a+b=23；（2）设 P（ x，y），则点P 即在一次函数y=ax+b 上，又在直线y=kx 上，由（ 1）得：一次函数y=ax+b 的解析式是y=-21x+2，又 PO=PA ，x2+y2=(4-x)2+y2 y=kx y=21x+2 ，解方程组得：x=2 ，y=1，k=21 k 的值是21；（3）设点 D（x，-21x+2 ），则 E（x，21x）， F（x，0），DE=2EF ，-21x+2-21x=221x，解得： x=1 ，则-21x+2=-21 1+2=23，D（1，23）点评：本题要求利用图象求解各问题，要认真体会点的坐标，一次函数与一元一次方程组之间的内在联系名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 20 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载7.在直角坐标系中， B、A 分别在 x，y 轴上， B 的坐标为（ 3，0），ABO=30，AC 平分OAB 交 x 轴于 C；(1)求 C 的坐标(2 若 D 为 AB 中点， EDF=60，证明： CE+CF=OC (3)若 D 为 AB 上一点，以 D 作DEC，使 DC=DE，EDC=120 ，连 BE，试问EBC 的度数是否发生变化；若不变，请求值。.在直角坐标系中， B、A 分别在 x，y 轴上，B 的坐标为（3，0），ABO=30，AC 平分 OAB 交 x 轴于 C；解：AOB=90 ABO=30OAB=30又 AC 是OAB 的角平分线OAC=CAB=30OB=3 OA=3OC=1 即 C(1，0) （1）若D 为 AB 中 点， EDF=60 ， 证 明：CE+CF=OC 证明：取 CB 中点 H，连 CD,DH AO= 3CO=1 AC=2 又D,H 分别是 AB,CD 中点DH=AC21AB=23DB=21AB=3BC=2 ABC=30 BC=2 CD=2 CDB=60CD=1=DH EOF=EDC+CDF=60 CDB=CDF+FDH=60EDC=FDH AC=BC=2 CDAB ADC=90CBA=30ECD=60HD=HB=1 DHF=60在 DCE 和 DHF 中EDC=FDH DCE=DHF 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 20 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载DC=DH DCE DHF(AAS) CE=HF CH=CF+FH=CF+CE=1 OC=1 CH=OC OC=CE+CF （2）若 D 为 AB 上一点，以 D 作DEC，使 DC=DE，EDC=120，连 BE，试问EBC 的度数是否发生变化；若不变，请求值。解：不变EBC=60设 DB 与 CE 交与点 G DC=DE EDC=120DEC=DCE=30在DGC 和 DCB 中CDG=BDC DCG=DBC=30 DGC DCB DGDC=DCDBDC=DE DGDE=DEDB在 EDG 和 BDE 中DGDE=DEDBEDG=BDE EDG BDE DEG=DBE=30EBD=DBE+DBC=608.如图，直线AB 交 x 轴正半轴于点A（a，0），交 y 轴正半轴于点B（0， b），且 a 、b 满足4a+ |4b|=0 （ 1）求 A、B 两点的坐标；（ 2）D 为 OA 的中点，连接BD，过点 O 作 OEBD 于 F，交 AB 于 E，求证 BDO =EDA ；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 20 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载（3）如图， P 为 x 轴上 A 点右侧任意一点，以BP 为边作等腰RtPBM，其中 PB=PM，直线 MA 交 y 轴于点 Q，当点 P 在 x 轴上运动时， 线段 OQ 的长是否发生变化？若不变，求其值； 若变化， 求线段 OQ的取值范围 .解答：解：4a+|4-b|=0 a=4 ， b=4，A （4，0）， B（0，4）；（2）作AOB 的角平分线，交BD 于 G，BOG= OAE=45 ，OB=OA ，OBG= AOE=90 -BOF ，BOG OAE ，OG=AE GOD= A=45，OD=AD ，GOD EDA GDO= ADE （3）过M 作 MN x 轴，垂足为N BPM=90 ， BPO+ MPN=90 AOB= MNP=90 ， BPO= PMN ， PBO= MPN BP=MP ， PBO MPN ，MN=OP ，PN=AO=BO ，OP=OA+AP=PN+AP=AN，MN=AN ，MAN=45 BAO=45 ， BAO+ OAQ=90 BAQ 是等腰直角三角形OB=OQ=4 无论 P 点怎么动OQ 的长不变点评：（1）考查的是根式和绝对值的性质（2）考查的是全等三角形的判定和性质（3）本题灵活考查的是全等三角形的判定与性质，还有特殊三角形的性质A BOD EFyxA BOM P Qx y名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 20 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载9. 如图，平面直角坐标系中，点A、B分别在x、y轴上，点B的坐标为 (0 ，1)，BAO=30（1）求AB的长度；（2）以 AB 为一边作等边 ABE，作 OA 的垂直平分线MN 交 AB 的垂线 AD 于点 D求证： BD=OE（ 3）在（ 2）的条件下，连结DE交AB于F求证：F为DE的中点DENMBOxyADEBOxyFA考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；含30 度角的直角三角形专题：计算题；证明题分析：（1）直接运用直角三角形30 角的性质即可（2）连接 OD ，易证 ADO 为等边三角形，再证ABD AEO 即可（3）作 EHAB 于 H，先证 ABO AEH ，得 AO=EH ，再证 AFD EFH 即可解答：（1）解：在RtABO 中， BAO=30 ，AB=2BO=2 ；（2）证明：连接OD ，ABE 为等边三角形，AB=AE ， EAB=60 ，BAO=30 ，作 OA 的垂直平分线MN 交 AB 的垂线 AD 于点 D，DAO=60 EAO= NAB 又DO=DA ，ADO 为等边三角形DA=AO 在ABD 与 AEO 中， AB=AE ，EAO= NAB ，DA=AO ABD AEO BD=OE （3）证明：作EH AB 于 H AE=BE ，AH=21AB， BO=21AB，AH=BO ，在 RtAEH 与 RtBAO 中，AH=BO ，AE=AB Rt AEH RtBAO ， EH=AO=AD 又 EHF= DAF=90 ，在 HFE 与AFD 中， EHF= DAF ，EFH= DFA ，EH=AD 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 20 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载 HFE AFD ，EF=DF F 为 DE 的中点点评：本题主要考查全等三角形与等边三角形的巧妙结合，来证明角相等和线段相等10.如图，直线y=31x+1 分别与坐标轴交于A、B 两点，在y 轴的负半轴上截取OC=OB. (1)求直线 AC 的解析式；(2)在 x 轴上取一点D（-1，0），过点D 做 AB 的垂线，垂足为E，交 AC 于点 F，交 y 轴于点 G，求 F 点的坐标；(3 过点 B 作 AC 的平行线BM ， 过点 O 作直线 y=kx（k0） ， 分别交直线AC 、 BM 于点 H、 I， 试求ABBIAH的值。解 ： (1)直 线y=31x+1分 别 与坐标轴交于 A、B两点可得点 A 坐标为（ -3，0），点 B 坐标为（ 0，1） OC=OB 可得点 C 坐标为（ 0，-1）设直线 AC 的解析式为y=kx+b 将 A（-3，0）， C（0， -1）代入解析式-3k+b=0 且 b=-1 可得 k=-31，b=-1 直线 AC 的解析式为y=31x-1 (2)在 x 轴上取一点D（-1，0），过点D 做 AB 的垂线，垂足为E，交 AC 于点 F，交 y 轴于点 G，求 F 点的坐标；解：GEAB kk1E GA B131k=3GE设直线 GE 的解析式为y=-3x+b将点 D 坐标（ -1，0）代入，得y=-3b0名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 20 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载b3 直线 GE 的解析式为y=-3x-3 联立 y=31x-1 与 y=-3x-3 ，可求出34x，将其代入方程可得y=34， F 点的坐标为（34，34）(3)过点 B 作 AC 的平行线 BM ，过点 O 作直线 y=kx （k0），分别交直线 AC、BM 于点 H、I，试求ABBIAH的值。解：过点O 作 AC 的平行线 ON 交 AB 于点 N BM/AC OIOBOHOCOB=OC OI=OH O 为 IH 的中点BM/AC =NBOINAOH OI=OH NB=NA N 为 AB 中点 ON 是四边形ABIH 的中位线 AH+BI=2ON N 是 AB 的中点，AOB 是直角三角形 AB=2ON （直接三角形斜边的中线等于斜边的一半） AH+BI=AB ABBIAH=1 11.如图，直线AB：y=-x-b 分别与 x、y 轴交于 A（6，0）、 B 两点，过点B 的直线交x 轴负半轴于C，且OB：OC=3：1. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 20 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载（1）求直线BC 的解析式；（2） 直线 EF： y=kx-k （k0 ） 交 AB 于 E， 交 BC 于点 F， 交 x轴于 D， 是否存在这样的直线EF， 使得 SEBD=S FBD？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由？（3）如图， P 为 A 点右侧 x 轴上的一动点，以P为直角顶点， BP 为腰在第一象限内作等腰直角BPQ，连接 QA 并延长交 y 轴于点 K，当 P点运动时， K 点的位置是否发生变化？若不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由。考点：一次函数综合题；一次函数的定义；正比例函数的图象；待定系数法求一次函数解析式专题：计算题名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 20 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载分析：代入点的坐标求出解析式y=3x+6 ，利用坐标相等求出k 的值，用三角形全等的相等关系求出点的坐标解答：解：（ 1）由已知： 0=-6-b ，b=-6 ，AB：y=-x+6 B（0，6）OB=6 OB ：OC=3 ：1，OC=3OB=2，C（-2，0）设 BC 的解析式是Y=ax+c ，代入得； 6=0?a+c , 0=-2a+c ，解得： a=3, c=6 ，BC ：y=3x+6 直线 BC 的解析式是： y=3x+6 ；（2）过 E、 F 分别作 EM x 轴， FN x 轴，则 EMD= FND=90 SEBD=SFBD，DE=DF 又 NDF= EDM ， NFD EDM ，FN=ME 联立 y=kx-k, y=-x+6得 yE=1k5k，联立 y=kx-k ，y=3x+6 得 yF=3-k9kFN=-yF，ME=yE，1k5k=3-k9k-k0 ，k=73；5（k-3 ）=-9（k+1 ），（3）不变化K（0， -6）过 Q 作 QH x 轴于 H， BPQ 是等腰直角三角形， BPQ=90 ，PB=PQ ， BOA= QHA=90 ， BPO= PQH ， BOP HPQ ，PH=BO ，OP=QH ，PH+PO=BO+QH，即 OA+AH=BO+QH，又 OA=OB ，AH=QH ， AHQ 是等腰直角三角形， QAH=45 ，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 20 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载 OAK=45 ， AOK 为等腰直角三角形，OK=OA=6 ，K（0，-6）点评：此题是一个综合运用的题，关键是正确求解析式和灵活运用解析式去解名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 20 页 - - - - - - - - -