2022年2021广东高考数学理科试题及答案 .pdf

2012 广东高考数学理科试题信参考答案第1页 共10页2012 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题： （本大题共8 小题，每小题5 分，满分40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设i为虚数单位，则复数56iiA65i B65i C65i D65i2.设集合1,2,3,4,5,6,1,2,4UM，则UC MAU B1,3,5 C3,5,6 D2,4,63.若向量(2,3),(4,7)BACAuu u ruu u r，则BCuu u rA( 2, 4) B(2, 4) C(6,10) D( 6,10)4.下列函数中，在区间(0,)上为增函数的是Aln(2)yx B 1yx C12xy D1yxx5.已知变量, x y满足约束条件211yxyxy，则3zxy的最大值为A12 B11 C3 D16.某几何体的三视图如图1 所示，它的体积为A12 B45C57 D817.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0 的概率是A49 B13C29 D198.对任意两个非零向量 ,， 定义o = , 若向量a,b满足| | 0ab，a,b的夹角(0,)4，且oa b和ob a都在集合|2nnZ中，则oa b =名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - 2012 广东高考数学理科试题信参考答案第2页 共10页A12 B1 C32 D52二、填空题：本大题共7 小题，考生作答6 小题，每小题5 分，满分 30 分。（一）必做题（913 题）9.不等式|2 | 1xx的解集为。10.261()xx的展开式中3x的系数为。 （用数字作答）11. 已 知 递 增的 等 差数 列na满 足21321,4aaa， 则na。12. 曲线33yxx在点(1,3)处的切线方程为。13. 执行如图 2 所示的程序框图，若输入n的值为 8，则输出s的值为。（二）选做题（1415 题，考生只能从中选做一题）14. （ 坐 标 系 与 参 数 方程 选做 题 ） 在 平 面 直 角坐 标系xOy中 ， 曲 线1C和2C参 数 方 程分 别 为()xttyt为参数和2 cos()2 sinxy为参数， 则曲线1C和2C的交点坐标为。15. （几何证明选讲选做题）如图3，圆O的半径为1，,A B C为圆周上的三点，满足30ABC，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA。三、解答题：本大题共6 小题，满分80 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。16. （本小题满分12 分）已知函数( )2cos()6f xx（其中0, xR）的最小正周期为101）求的值；2）设56516,0,(5),(5)235617ff，求cos()的值。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - 2012 广东高考数学理科试题信参考答案第3页 共10页17. （本小题满分13 分）某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4 所示，其中成绩分组区间是：40,50 , 50,60 , 60,70 , 70,80 , 80,90 , 90,100。1）求图中x 的值；2）从成绩不低于80 分的学生中随机选取2 人，该 2 人中成绩在 90 分以上（含90 分）的人数记为，求的数学期望。18. （本小题满分13 分）如图5，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PAABCD平面，点E在线段PC上，PCBDE平面（1）证明：BDPAC平面（2）若1,2PAAD，求二面角BPCA的正切值。19 （本小题满分14 分）设数列na的前n项和为nS，满足1*1221,nnnSanN，且123,5,a aa成等差数列。（1）求1a的值；（2）求数列na的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有1211132naaaL。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - 2012 广东高考数学理科试题信参考答案第4页 共10页20. （本小题满分14 分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为23e，且椭圆C上的点到(0,2)Q的距离的最大值为3. （1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点(, )M m n，使得直线:1lmxny与圆22:1Oxy相交于不同的两点,A B，且AOB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的AOB的面积；若不存在，请说明理由。21. （本小题满分14 分）设1a，集合2|0 ,|23(1)60AxR xBxRxa xax，DABI（1）求集合D（用区间表示） ；（2）求函数32( )23(1)6f xxa xax在D内的极值点。2012 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考答案：18: DCAAB CDB 注：第 8 题解析： 因为|2coscos|2oa baa bb bb，|coscos1|ob abb aa aa且a bo和b ao都在集合|2nnZ中，所以，|1cos|2obb aa，|1|2cosba，所以2|cos2cos2|oaa bb所以222oab，故有1oa b名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - 2012 广东高考数学理科试题信参考答案第5页 共10页9. 21,(（写成集合形式也给分1|2x x） 10. 20 11. 21n12. 210 xy 13. 8 14. (1,1) 15. 3第 9 题注解：|2 | 1xx|x-(-2)|-|x-0|1即数轴上到 -2 的点与到0 点距离只差小于1 的点的集合。三、解答题：本大题共6 小题，满分80 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。16. （本小题满分12 分）已知函数( )2cos()6f xx（其中0, xR）的最小正周期为10（1）求的值；（2）设56516,0,(5),(5)235617ff，求cos()的值。解： （1）由题意210，解得15。（2）由题62cos()25162cos17，即3sin58cos17，又,0,2，可得4cos515sin17，所以48315cos()coscossinsin5175171385。17. （本小题满分13 分）某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4 所示，其中成绩分组区间是：40,50 , 50,60 , 60,70 , 70,80 , 80,90 , 90,100。（1）求图中x 的值；（2）从成绩不低于80 分的学生中随机选取2 人，该 2 人中成绩在 90 分以上（含90 分）的人数记为，求的数学期望。解： （1）由题意：(0.0540.010.0063) 101x，解得0.018x；（ 2 ） 8090分 有50 0.018 109人 ； 90100分 有50 0.006 103人。所有可能的取值为0, 1, 2 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - 2012 广东高考数学理科试题信参考答案第6页 共10页211299332221212121291(0); (1); (0)222222CC CCPPPCCC故129101222222212E。18. （本小题满分13 分）如图5，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PAABCD平面，点E在线段PC上，PCBDE平面（1）证明：BDPAC平面（2）若1,2PAAD，求二面角BPCA的正切值。（1）证明：PAABCD平面，PABD；PCBDE平面，PCBD。又PAPCPI，BDPAC平面。（ 2）解：设,AC BD交于O，连结OE，由题,PCBEPCOE，所以BEO即为二面角BPCA的平面角。由（ 1）知，BDAC，所以四边形ABCD为正方形，易得2212,1832OCACPCPAAC。由（ 1）知90OECPAC又OCEPCA，有OECPAC:，故OEOCPAPC，23OCOEPAPC。在Rt BOE中，tan3OBBEOOE。所以二面角BPCA的正切值为319 （本小题满分14 分）设数列na的前n项和为nS，满足1*1221,nnnSanN，且123,5,a aa成等差数列。（1）求1a的值；（2）求数列na的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有1211132naaaL。解： （1）由题21231232132212()212(5)aaaaaaaa，解得1231519aaa，故11.a名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - 2012 广东高考数学理科试题信参考答案第7页 共10页（2）当1n时，11a；当2n时，11221nnnSa1221nnnSa由 - 得：122nnnnaaa，整理得111332 ,1(1)22 2nnnnnnnaaaa，故1 (2)2nnan为公比为32的等比数列，首项为229124a，故29331( )( )2422nnnna，32nnna，经验证当1n时，1132a综上*32 ()nnnanN。（3）当3n时32(12)2nnnnna12211122222nnnnnnnCCCL122111222nnnnnCCCL2222 (1)nCn n又因为2522 (21)a，所以，2 (1),2nan nn。所以，11111()2 (1)21nan nnn所以，12311111111111131(1)1(1).2234122naaaannnLL20. （本小题满分14 分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为23e，且椭圆C上的点到(0, 2)Q的距离的最大值为3. （1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点(, )M m n，使得直线:1lmxny与圆22:1Oxy相交于不同的两点,A B，且AOB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的AOB的面积；若不存在，请说明理由。解： （1）由222233cecaa，所以222213baca名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - 2012 广东高考数学理科试题信参考答案第8页 共10页设( , )P x y是椭圆C上任意一点，则22221xyab，所以222222(1)3yxaayb222222233|(2)3(2)2(1)6()33PQxyayyyaaya 当33133aa，即3a时，1y时，|PQ有最大值263a，可得3a，所以1,2bc；当313a，即03a时，33ya时，|PQ有最大值23(2)33a，可得3a，舍去。所以1,2bc故椭圆C的方程为：221.32xy（2）因为(, )M m n在椭圆C上，所以22132mn，22332mn设11(,)A x y，22(,)B xy，由2211mxnyxy，得2222()210mnxmxn所以，222222222144()(1)4(1)4(2)02mmnnnmnnn，可得24n并且：12222mxxmn，212221nx xmn所以，2212121212222111()1mxmxm xxm x xmy ynnnmn所以，222222121211221212|()()2()ABxxyyxyxyx xy y2222222211122()2 1nmmnmnmn（亦可22|ABrd，其中d为圆心到直线1mxny的距离）设点 O到直线 AB的距离为h，则221hmn名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - 2012 广东高考数学理科试题信参考答案第9页 共10页所以2222111|(1)2OABSABhmnmnV设221tmn，由204n，得22213(1,3)2mnn，所以，1(,1)3t211(1)()24OABStttV，1(,1)3t所以，当12t时，OABSV面积最大，最大为12。此时，(0,2)M21. （本小题满分14 分）设1a，集合2|0 ,|23(1)60AxR xBxRxa xax，DABI（1）求集合D（用区间表示） ；（2）求函数32( )23(1)6f xxa xax在D内的极值点。解： （1）对于方程223(1)60 xa xa判别式29(1)483(3)(31)aaaa因为1a，所以30a当113a时，0，此时BR，所以(0,)D；当13a时，0，此时|1 Bx x，所以(0,1)(1,)DU；当13a时，0，设方程223(1)60 xa xa的两根为12,x x且12xx，则13(1)3(3)(31)4aaax，23(1)3(3)(31)4aaax12|Bx xxxx或当103a时，123(1)02xxa，1230 x xa，所以120,0 xx此时，12( ,)(,)Dx xxU3(1)3(3)(31)3(1)3(3)(31)(0,)(,)44aaaaaaU当0a时，1230 x xa，所以120,0 xx名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - 2012 广东高考数学理科试题信参考答案第10页 共10页此时，23(1)3(3)(31)(,)(,)4aaaDx（2）2( )66(1)66(1)()fxxa xaxxa，1a所以函数( )f x在区间 ,1a上为减函数，在区间(, a和1,)上为增函数当113a时，因为D，所以( )f x在 D内没有极值点；当13a时，(0,1)(1,)DU，所以( )f x在 D内有极大值点13a；当103a时，3(1)3(3)(31)3(1)3(3)(31)(0,)(,)44aaaaaaDU由103a，很容易得到3(1)3(3)(31)3(1)3(3)(31)144aaaaaaa（可以用作差法，也可以用分析法）所以，( )fx在 D内有极大值点a；当0a时，3(1)3(3)(31)(,)4aaaD由0a，很容易得到3(1)3(3)(31)14aaa此时，( )fx在 D内没有极值点。综上所述：当103a时，( )f x在 D内有极大值点a。当113a或0a时，( )f x在 D内没有极值点。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -